2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义-圆

专题06圆

【知识点梳理】

知识点1：直线与圆的位置关系

设有直线/和圆心为。且半径为厂的圆，怎样判断直线/和圆o的位置关系？

观察图1,不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离d>厂时，直线和圆相离，如圆。与

直线《；当圆心到直线的距离d=r时，直线和圆相切，如圆O与直线4；当圆心到直线的距离d<r时，直

线和圆相交，如圆O与直线小

在直线与圆相交时，设两个交点分别为A、A若直线经过圆心，则AB为直径；若直线不经过圆心，如

图2,连结圆心。和弦AB的中点”的线段垂直于这条弦AB.且在应0M4中，Q4为圆的半径r,OM

为圆心到直线的距离d,%1为弦长AB的一半，根据勾股定理，有=（*）2.

当直线与圆相切时，如图3,上45PB为圆。的切线，可得尸A=PB,OA±PA,且在中,

PO2=PA2+OA2.

B

A

图4

如图4,PT为圆。的切线，B钻为圆。的割线，我们可以证得.R4TPTB,因而.尸瓦

知识点2：点的轨迹

在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条件的所有点组成的.例如，

把长度为r的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到

定点的距离都等于r;同时，到定点的距离等于r的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于

定长r的点的轨迹.

我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思：（1）图

形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条件；（2）图形包含了符合条件的所有

的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上.

下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹.

从上面对圆的讨论，可以得出：

到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆.

我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距

离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上.所以有下面的轨迹：

和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线.

由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹：

到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线.

【题型归纳目录】

题型一：直线与圆的位置关系

题型二：点的轨迹

【典例例题】

题型一：直线与圆的位置关系

例1.（2023•安徽宿州•校考一模）如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,以AB为直径作O,在O上取一

点。，使CO=BC，过点C作EFSAD,交AO的延长线于点E,交AB的延长线于点

A

D

ECF

(1)求证：直线所是.。的切线；

⑵若AB=10,AD=6,求AC的长.

【解析】(1)证明：连接0C,如图，

*•'CD=BC，

：.ZEAC=ZCAB,

'：EF±AD,

ZEAC+ZACE=90°,

OC=OA,

ZCAB^ZOCA,

：.ZEAC=ZOCA,

：.ZACO+ZACE=90°,即半径OC_LEF,

，EF是。。的切线；

(2)连接3。，交OC于点G,如图，

VAE±EF,OCLEF,

AE//OC,

TO为AB为中点，

・•・0G为中位线,

AOG=-AD=3,DG=BG,

2

ADG=BG=CE,DBLOC,GC=OC-OG=2,

9：AB=1Q,

OB=5,

・•・BG=YIOB2-OG2=4^

:.DG=BG=4,

VAE.LEF,OC.LEF,DBLOC,

・・・四边形DECG是矩形，

:・DE=CG=2,EC=DG=4,

AE=8,

在△AEC中，AC=\lAE2+EC2=4石.

例2.（2023•浙江湖州•模拟预测）如图，A3是。的直径，C,。都是。上的点，AD平分/C4B,过点。

作AC的垂线交AC的延长线于点E,交的延长线于点儿

⑵若AB=10,AC=6,求tan/DAB的值.

【解析】（1）如图1,连接。。，

图1

AD平分

ZOAD=ZEAD.

'：OD=OA,

・•・ZODA=ZOAD.

：.ZODA=ZEAD.

：.OD//AE.

：.NODF=ZAEF=90。,

：.OD'DF,

TOD是:。的半径，

・•・石产是C。的切线；

(2)连接BC,交OD于H,

图2

TAB是。的直径，

・•・ZACB=90°,

VAB=10,AC=6,

•*-BC=[AB2-AC2='102—62=8,

・「ZE=ZACB=9Q°,

：.BC//EF,

：.ZOHB=ZODF=9Q0,

：.ODLBC,

：.CH=-BC=4,

2

■:CH=BH,OA=OB,

二•OH是A5C的中位线，

OH=-AC=3,

2

：.DH=5-3=2f

・・・ZE=ZHCE=ZEDH=90°,

・・・四边形ECHD是矩形，

工ED=CH=4,CE=DH=2,

AE=6+2=8,

ZDAB=ZDAE,

r）p4i

tanZDAB=tanZDAE=——.

AE82

例3.（2023•新疆喀什・统考三模）如图，A5是：。的直径，。是。上一点，过点C作O的切线CD,BDVCD

于点延长。5交。于点石，连接CE.

⑴求证：ZABE=2ZA；

（2）若tan/3EC=g,AC=6,求。的半径长.

【解析】（1）连接OC,如图所示：

;OC=OAf

：.ZOCA=ZAf

ZBOC=ZOCA+ZA,

:.ZBOC=2ZA,

・・・8是C。的切线，

:.OC±CD,

丁BD工CD,

：.OC//DE,

：.ZABE=ZBOC=2ZA；

(2)连接3C,如图所示：

E

•・•A3为直径，

・•・ZACB=90°,

'•*BC=BC，

:・ZA=NBEC,

*.*tan/BEC=—,

3

,BC1

•.tanA=---=一,

AC3

AC=6,

/.BC=ACx-=6x-=2,

33

；•AB=VAC2+BC2=V62+22=2函，

Z.OA=-AB^^/10,

2

即的半径为质.

变式1.(2023•陕西西安・陕西师大附中校考模拟预测)如图，ABC内接于。，AC是。的直径，过Q4上

的点尸作「DLAC,交CB的延长线于点O,交A3于点E,过点B作，。的切线交。P于点f.

⑴求证：ZA=NFBD；

(2)若O的半径为括，cosZFBD=^-,BD=4,求。P的长.

【解析】⑴证明：连接08,

：AC是］。的直径,

・•・ABC=90

/.ABD=180ABC=90

・•・NABF+NFBD=9。

•・・8尸与|。相切

OB±BF,即NOBF=90=NOBA+NABF

：.NABO=NFBD

;OA=OB,

：.ZABO=ZA,

:.ZA=ZFBD；

(2)由(1)/A=/BD.

Jcos/FBD=cos/A=拽=—,

5AC

设A5=2后,AC=5Q,

JBC=ylAC2-AB2=y[5a

..BC45

••sinAA---------,

AC5

・・・。0的半径为百，

AC=2小,

在RtABC中，sin^A=—=—

AC5

・・・BC=2,

CD=2+4=6

■:PD1AC

；・NEPA=90,

/.ZC+ZD=90

又,:NA+"=90，

：.ZA=ZD

在RtCDP中，cos^D=—=—.

CD5

."诬

5

变式2.(2023•河南商丘・统考三模)如图，RtAABC中，ZC=90°,点。为AB上一点，以点。为圆心，以Q4

为半径的；。切BC于点P,连接AP.

r

p

一

工

(1)求证：ZCAP=ZBAP

(2)若04=4,AP^6,求CP的长.

【解析】(1)(1)证明：连3接OP,

€

。切BC于P,

:.OP±BC,

AC1BC,

:.AC//OP,

.\ZCAP=ZAPO,

OA=OP,

.\ZOAP^ZAPO,

.\ZOAP=ZCAP,

即ZCAP=ZBAP；

⑵如图所示，设54交C。于点。，连接尸£),

c

AD是直径，

・•・ZAP。=90。,

・•・ZAPD=/C,

又「ZCAP=ZBAP,

：.CAP^^PAD,

・PC_AP

••而一茄’

VOA=4,AP=6,ZAPD=9Q°,贝ijAD=2AQ=8,

•**PD='AI"AP2=旧-6=2万

.”APxPD6x2近3币

..PC=----------=---------=------•

AD82

变式3.（2023・广东珠海・珠海市紫荆中学校考三模）如图，在Rt^ABC中，NB4c=90。，点。为5C边的中

点，以AD为直径作O,分别与AB、AC交于点及F,过点E作EG,5C于G.

【解析】（1）证明：如图，连接。£,

中，D为BC边中点,

AD=BD,

:.NBAD=NB,

OE=OA,

：.ZOAE=ZOEA,

：.NOEA=/B,

：.OE//BD,

又•：EG1BC,

：.EGAOE,

；・EG是O的切线.

(2)如图，连接。石，

〈AD是。的直径，

ZAED=ZBED=90°,

■:EG1BC,

：.ZB=90°-ZBEG=AGED,

3

又,：/BAD=NB,sinB=-9

3

.・・sinB=sinNEAD=sinAGED=

5

3

在RtZkAED中，AD=2OA=10,sinZEAD=~,

3

・・・DE=10x-=6,

3

在RtGEZ）中，DE=6,sinZGED=-

•-DG=6xry

Z.EG=y/DE2-DG2=y

变式4.(2023•广西贵港・统考三模)如图，要把残缺的圆片复原，可通过找到圆心的方法进行复原，已知弧上

的三点A,B,C.

A

(1)用尺规作图法，找出弧BC所在圆的圆心Q(保留作图痕迹，不写作法)

⑵在ABC中，连接A0交8c于点E,连接。8,当AB=AC=10cm,BC=16cm时，求图片的半径R；

(3)若直线/到圆心的距离等于1，则直线/与圆_______(填“相交”“相切”或“相离”)

【解析】(1)如图所示，点。即为所求；

(2)VAB=AC,

：.AEA.BC,

：.BE=CE=-BC=Scm,

2

在RtAABE中，由勾股定理得AE=^AB2-BE2=6cm，

OE=OA-AE=(^R-6)cm,

在RtOBE中,由勾股定理得052=5石2+0£2,

?.R2=82+(/?-6)2,

解得R=亍25，

•••所求圆的半径为2寸5cm；

⑶•••直线I到圆心的距离等于胃，且圆的半径为整，

，直线/与圆相切，

故答案为：相切.

变式5.（2023•辽宁营口・统考二模）如图，ABC内接于1。，是一。的直径，弦AD交BC于点E,连接

CD.过点8作（。的切线MN,交AD延长线于点N.过点。作少G,A3于点G,交CB于点F.

(1)^ZACD=ZCED,求证：AC=2OG；

(2)在(1)的条件下，若tan/DCB=：,DN=^H,求。的半径.

25

【解析】（1）证明：连接OD,过。作于〃,

・・・AC=2AH,

DG.LAB,

：.NAHO=/DGO=90。,

•:Z\CD=NCED,ZADC=ZADC,

JADCE^ADAC,

:・NDCE=NDAC,

•；NDCE=NDAB,

：.ZDAC=ZDAB,

•；NDOB=2NDAB,

：.ZCAB=2ZDAB,

:・NCAB=NDOB,

;OA=ODf

...4HAz)OG(AAS),

：.AH=OG,

AC=2OG；

(2)连接2£),

「AB是。直径,

/AD3=90°,

ZDAB+ZDBA=9Q°,

,:BN切。于B,

—ABN=90。，

/ABD+NDBN=90°,

/DBN=/DAB,

tan—DAB=tan/DBN=tan/DCB=—,

2

DNBD

BD~AD~2"

BD=2DN=—

5

AD=2BD=/

AB=VA£>2+BD2=8，

OA=-AB=4,

2

•••0。的半径为4.

变式6.(2023•浙江舟山・统考三模)如图1,在。中，直径AB_LCD于点尸，点E为。上一点，点C为弧

AE的中点，连接AE,交CO于点G.

⑴求证：AE=CD；

(2)如图2,过点C作：。的切线交8A的延长线于点0,若AF=2,AE=8,求。。的长度;

PF

(3)在(2)的基础上，点、P为,。上任一点，连接尸足PQ,花的比值是否发生改变？若不变，求出比值;

若变化，说明变化规律.

【解析】⑴：直径"LCD于点F,

■■AC=AD-

•..点C为弧AE的中点，

AC=CE-

AE=CD-

：.AE=CD.

(2)如图2,连接OC交AE于点M,设」。的半径为「，贝IJO/=/一2,

由(1)知CD=AE=8

:直径AB,CD于点凡

Z.CF=FD」CD=4.

2

在Rt^CFO中，

,/CO2=CF2+OF2,

：.产=42+(―2)、

解得：r=5,

••,点C为弧AE的中点，

OC_LAE,AM=EM=—AE=4.

2

OM=y/o^-AM2=3•

•••c。是。的切线，

Z.OC±CQ.

：.CQ//AM.

OAOM53

---=----,即----=——.

OQOCOQ5

PFPF3

(3)而■的比值不会发生改变，-z-T=-,理由如下:

由(2)知AF=2,OF=3,Og=y,AQ=y,

PFAF23

①当点尸与点A重合时，诟=。=五=三；

A。-y。

PF_BFOB+OF5+3_3

②当点尸与点B重合时

TQ~~BQ~OB+OQ~5+f-5:

③当点P与点A、B不重合时，如图3,连接。尸、PF、PQ,

..OF_3OP5=3

,OP_5OQf二’

OFOP

"~OP~~OQ'

又：ZFOP=ZPOQ,

：.丛FOPs丛POQ.

.PFOF_3

*'P2"0P-5,

PF

；•拓的比值不会发生改变.

题型二：点的轨迹

例4.(2023•河南郑州•河南省实验中学校考三模)综合与实践课上，老师让同学们以“矩形与垂直”为主题开展

数学活动.

(1)操作判断

如图1,正方形纸片ABCD,在边BC上任意取一点E,连接AE,过点B作班于点G,与边8交于

点尸.

根据以上操作，请直接写出图1中8E与CF的数量关系：.

(2)迁移探究

小华将正方形纸片换成矩形纸片，继续探究，过程如下：

如图2,在矩形纸片ABCD中，AB-.AD^m.n,在边BC上任意取一点E,连接AE,过点B作防，AE于

RF

点G,与边8交于点尸，请求出笔的值，并说明理由；

CF

(3)拓展应用

如图3,已知正方形纸片ABCD的边长为2,动点E由点A向终点。做匀速运动，动点歹由点。向终点C做

匀速运动，动点E、尸同时开始运动，且速度相同，连接AT、BE,交于点G,连接G。，则线段GD长度

的最小值为，点G的运动轨迹的长为.(直接写出答案不必说明理由)

【解析】(1)：四边形ABC。是正方形，

ZABC=ZBCD=90°,AB=BC,

又AE1.BF,

：.ZAGB=90°,

：.NBAE+ZABG=ZABG+NFBC=90°,

ZBAE=ZFBC,

在,ABE■和△3C5中，

VAB=BC,ZBAE=ZFBC,ZABE=NBCF

：.AABE^ABCF,

BE=CF；

故答案为：BE=CF；

rn

(2)-,理由如下：

n

•・•四边形ABC。是矩形,

AZABC=ZBCF=90°,AD=BC,

又尸，

・・.ZAGB=90°,

：./BAE+ZABG=ZABG+ZFBC=90°,

:.ZBAE=ZFBCf

：.ABEBCF

.BEAB

^~CF~~BC

..AB_AB_m

•AD~BC~n

.BEm

9，~CF~~n

(3)如图，取AB的中点M,连接。M,GM,

由题意知，AE=DF9AB=AD,ZBAE=ZADF

RtABE=P1DAF,

:.ZFAD=ZABE

：.ZAGB=NFAD+ZAEB=ZABE+ZAEB=90。

・・・M是A5的中点，AB=2,

：.AM=MB=MG=1,

在RtZXADM中，MD=d^+?=5

在，MG£＞中，

,/GDNMD-MG=非-1,

GD的最小值是yfi—1,

ZAGB=90°,

；.A、G、B三点共圆，

...点G在以点"为圆心，在以半径为1的!圆上运动,

4

TT

.•.点G的运动轨迹的长为：2*4=5，

2

故答案为：#-1;—■

例5.(2023•河北邯郸•校考三模)数学兴趣小组探究平面内横、纵坐标满足特定关系的动点的运动轨迹问题：

(1)组长提出问题：动点G(f-l,r+l)随着/的变化形成的运动轨迹是什么？

甲同学的思考：f取3个特殊值得到3个点坐标，发现3点在一条直线上，可以利用待定系数法求出该直线

的表达式；乙同学的思考：令x=r-l,y=t+l,通过消去f得到y与x的函数关系式.

(填甲或乙)同学的方法更严谨，点G(r-11+1)运动轨迹的函数表达式为；

(2)如图，在平面直角坐标系中，已知点48,0),B(0,-2),。为坐标系内一点且BQ=L5,点M从点A出发

以每秒8个单位的速度沿x轴向左运动，同时点N从点。出发以每秒6个单位的速度沿y轴向上运动，点P

是MV的中点，设运动时间为f.求点尸的运动轨迹的函数表达式，并计算当1=2时尸。的最小值；

(3)老师给出坐标平面内两个动点：T(m-l,m2+1),+

丙学说：点八K的运动轨迹都是直线；丁同学说：点八K在运动过程中不可能重合；请你判断两人结论

是否正确并说明理由.

【解析】(1)乙的方法更严谨，

令x=r-l,y=t+l,

t=x+1,

/.y=x+l+l=x+2,

.•.点G(-l,r+1)运动轨迹的函数表达式为y=尤+2；

故答案为：乙，y=x+2；

(2)VA(8,0),5(0-2),

04=8,05=2,

/./移动到点0的位置需要的时间为：8+8=1秒，

①当0<0时，OM=OA-AM=8-8r,ON=6r,

M(8-8r,0),N(0&),

则:尸(4-4⑶;

②当f>l时，OM=AM-OM=8t—8,ON=6f,

/.M[-(8?-8),0],N(0,6t),即：M(8-8r,0)

则：尸(4一牝3。；

综上：P(4-4r3),

3

令x=4-4t,y=3t,消去r,得P的运动轨迹的函数表达式为y=-1+3，

当f=2时，5(0,—2),P(T,6),

/.BP="4)2+(6+2)2=4非,

•：BQ=1.5

.••点Q在以3为圆心，1.5为半径的圆上，

的值最小值为PB-1.5=4占--,

2

(3)①•；—+1),

2

x=m-l9y=m+1,贝!J：机=尤+1；

/.y=(尤+1)2+1,

・,•点T的轨迹为抛物线；

VK(n+l,n-3),令％=〃+l,y=〃一3,贝ij：n=x-l,

y=x—\—=x—A-；

・,•点K的轨迹为直线；则丙同学的结论错误

联立卜=(x+l)+1,整理，得：/+》+6=0,

y=x-4

*.*A=1—4x6=—23<0,

.•.方程没有实数根，即抛物线和直线没有交点，

即点T,K在运动过程中不可能重合，丁同学的说法正确.

例6.(2023・河南・河南省实验中学校考三模)综合与实践课上，老师让同学们以“矩形与垂直”为主题开展数学

活动.

(1)操作判断

如图1,正方形纸片A5cD,在边8C上任意取一点E,连接AE,过点B作3产，AE于点G,与边交于

点产.根据以上操作，请直接写出图1中BE与CP的数量关系：.

B

图1

(2)迁移探究

小华将正方形纸片换成矩形纸片，继续探究，过程如下：

如图2,在矩形纸片ABCD中，AB:AD^m:n,在边3c上任意取一点E,连接AE,过点B作所，AE于

点G,与边8交于点请求出三三的值，并说明理由.

图2

(3)拓展应用

如图3,已知正方形纸片ABCD的边长为2,动点E由点A向终点。做匀速运动，动点P由点。向终点C做

匀速运动，动点E、歹同时开始运动，且速度相同，连接AF、BE,交于点G,连接GO,则线段GO长度

的最小值为，点G的运动轨迹的长为.(直接写出答案不必说明理由)

图3

【解析】（1）：四边形45co是正方形，

:.NABC=NBCD=90。,AB=BC,

又AELBF,

：.ZAGB=9Q°,

：.NBAE+ZABG=NABG+NFBC=90°,

ZBAE=ZFBC,

在，ABE和△BCF中，

VAB=BC,ZBAE=ZFBC,ZABE=NBCF

：.AABE=ABCF,

：.BE=CF；

故答案为：BE=CF

(2),・,四边形ABCD是矩形，

AZABC=ZBCF=90°,AD=BC,

又AE工BF,

：.ZAGB=90°9

；./BAE+ZABG=ZABG+NFBC=90°,

:.ZBAE=NFBC,

：.、ABEBCF

.BE_AB

^~CF~~BC

..AB_AB_m

•AD-BC-^

.BE_m

,•正

(3)如图，取AB的中点M,连接。M,GM,

由题意知，AE=DF,

由(1)可得RtABE=RtDAF,

同理可得：ZAGB=90°,

TM是A5的中点，AB=2,

：.AM=MB=MG=1,

在Rtamw中，MD=dW+f=5

在，MGZ)中，

•/GD>MD-MG=y/5-1,

的最小值是石-1,

ZAGB=90°,

:.A、G、B三点共圆，

...点G在以点/为圆心，在以半径为1的!圆上运动,

4

TT

.••点G的运动轨迹的长为：2万+4=W，

2

故答案为：A/5-1;—.

变式7.(2023•山东临沂・统考二模)“垃圾入桶，保护环境从我做起”，如图所示的是某款垃圾桶侧面展示图,

AD=DC^40cm,G£>=30cm,GF=20cm,ZA=Z.GDC=ZDGF=90°,桶盖GFEC可以绕点G逆时针方向

旋转，当旋转角为40。时，桶盖GEEC落在G尸EC的位置.

(1)求在桶盖旋转过程中，点C运动轨迹的长度.

(2)求点P到地面A3的距离.(参考数据：sin40~0.64,cos40®0.77,tan40~0.84)

【解析】(1)如图，连接CG,由旋转知点C,C'都在以G为圆心，CG为半径的圆上，则点C运动轨的长度

为弧C'的长.

在RtVSDC中，DC=40cm,GD=30cm,

•*-GC=yjGD2+DC2=V302+402=50cm，

40XKX5010071

...弧CC的长度为=cm

1809

故点C运动轨迹的长度为四台cm；

(2)如图，过点尸作尸A3,垂足为点M,交G产于点N,

/.ZF'MA=90.

,/ZA=ZDGF=90,

四边形AVCVG为矩形，

F'NG=ZMNG=90,MN=AG=GD+DA=70cm,

在RtF'NG中,：.F'N=F'G-sinXF'GN=F'G-sin40»20x0.64=12.8cm,

Z.尸加=FN+MV=12.8+70=82.8cm

答：点尸到地面A8的距离约为82.8cm.

变式8.（2023・广东广州•九年级统考期末）如图，抛物线>=加+法+。的图象与x轴交于点A（TO）、B（3,0）

与y轴交于点C,顶点为D以A8为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E,圆心为/,尸是半圆上一动点,

连接。尸，点。为尸D的中点.

（1）试用含a的代数式表示c；

（2）若/。，尸。恒成立，求出此时该抛物线解析式；

（3）在（2）的条件下，当点P沿半圆从点8运动至点A时，点。的运动轨迹是什么，试求出它的路径长.

【解析】（1）：抛物线产加+桁+c的图象与x轴交于点4（-1,0）、8（3,0）,

.,.该函数的解析式为V=4（尤+1）（》-3）=G?-2<ix-3a,

••c——3a.

⑵连接W,

•.•尸是半圆上一点，点。为尸£）的中点，且/。，如，

...点D在/上，

•"/=*=9卜-（肛=2

••.该抛物线的对称轴为直线=L

・•・0（1,-2）,

把。。,-2）代入y=♦一2〃%一3〃得：-2=〃-2々-3〃,

解得：a=g,

13

该抛物线解析式为：y=|x2-x-j；

（3）VIQLPD,

：.ZIQD=W°,

二点。在以D/为直径的圆上运动,

3(3,0),0(1-2),

二当点P与点2重合时，。（爰,9），即2（Z,-7）,

当点尸与点A重合时，2，即。2（。，-1），

...0Q〃尤轴，。。2=2,

，点。在以/5/中点为圆心的半圆上运动,

点。的路径长为：gx2»=7.

变式9.（2023・全国•九年级专题练习）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具.明朝科学家徐光启在《农

政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理.如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心。为圆心的圆，已

知圆心。始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下

方部分圆上一点距离水面的最大距离）.

c

(2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米?

【解析】(1)如图，作于点E,交圆于点£),

设圆的半径为「米，

在RtAAOE中，AE2+OE2=OA2，

32+(r-l)2=r2,

解得r=5,

该圆的半径为5米；

(2)如图，当至=8米时，AE=^AB=4,

在RtAAOE中，AE2+OE2=OA2,

:.42+OE2=52,

;.OE=3米，

；.r)E=5_3=2(米)，

答：水面下盛水筒的最大深度为2米.

变式10.(2023・广东广州•九年级广州市第八十九中学校考期末)如图：在平面直角坐标系中，点A、B、C都

在格点上

(1)画出.ABC关于原点对称的△AB|G，并写出A、B、C三点关于原点对称的坐标4、耳、G.

(2)画出.ABC绕原点。顺时针方向旋转90。得到的△AAQ.并求点4运动到A的轨迹的弧长.

【解析】(1)..ABC关于原点。的中心对称图形AA与C如图所示：

二4的坐标为(—2,1)、耳的坐标为(-3,3)、G的坐标为(。，4)；

(2)ABC绕原点。顺时针方向旋转90。得到的AAB2c-如图所以:

I•■一I----I---I•-I'-«5---I'--'I--'I--4I

由图可知，

0人=业+2。=5/4。4=90。，

.•.点A运动到4的轨迹的弧长为：90x兀乂小=叵兀.

1802

变式11.(2023・重庆梁平・九年级校联考期中)已知：40,2),点B为x轴上的一动点，过点8作x轴的垂线

交AB的垂直平分线于点P.

⑴请利用图⑴进行探讨：若点8(2,0),则点P的坐标为；若点8(-2,0),则点P的坐标为

；若点8(0,0)时，点尸的坐标为；

⑵设尸(无,丁)，请列出y关于x函数关系式，并在图2中画出点P的运动轨迹/.

⑶图2中，点。(0,5),有动点G,DG=1；按下列要求作图，轨迹/与直线＞=2相交于点A,8(4点在左),

点Q为线段AG的中点，连接Q2,直接写出线段C。的长度范围.

【解析】⑴设尸(x,y),

当点8(2,0)时，由于轴，则x=2,

所以点尸(2,y),

•••点P在线段AB的垂直平分线上，

:•PA=PB,BPPA2=PB2，

：.22+(y-2)2=y2,

y=2,

即点尸的坐标为(2,2)；

当点B(-2,0)时,则点P(-2,y),

由上4=P3,得22+0-2)2=y2,

y=2,

即点尸的坐标为(-2,2)；

当点6(0,0)时，则点是线段AB的中点，

,/AB=2

,PB=1,

即点P的坐标为(0,1)；

综上，点尸的坐标为：(2,2),(-2,2),(0,1)

(2)VPBLx轴，

.•.点B(x,0),

•.•点尸在线段AB的垂直平分线上，

/.PA=PB,BPPA2=PB2,

：.x2+(y-2)2=y2,

图2

(3汝口图2,连接AD,取AD的中点E,连接QE、CE、GD,

为线段AG的中点，

：•由三角形中位线定理得QE=；OG=；,

.♦•点。的运动路径是以点£为圆心，；为半径的圆，

，当点E在线段C。上时，CQ最大为CE+E。；当点。在线段CE上时，CQ最小为CE-EQ,

•.•点。（0,5）及直线y=2,

/.CD=OD—OC=5—2=3,

•.•当y=2时，-X2+1=2,

4

x=±2,

即A(-2,2),

:.AC=2f

：.由勾股定理得CE=-AD=-yjAC2+CD2=-722+32=—,

2222

CQ的最大值为CE+EQ=勺+g="+1,最小值为CE一£0=手一g=3T,

所以CQ的取值范围为：^hl<CQ<^±L.

22

【过关测试】

一、单选题

1.（2023•江苏无锡・九年级统考期中）已知线段A8的中点为动点尸满足=则点尸的轨迹是（）

A.以A2为直径的圆B.A2的延长线C.的垂直平分线D.平行的直线

【答案】A

【解析】•••线段A8的中点为加，

：.MA=MB=-AB,

2

AB=2PM,

：.PM=MA=MB=-AB,

2

.••点P在以点”为圆心，AB为直径的圆上，

故选：A.

2.（2023•甘肃兰州•九年级校考阶段练习）如图，在矩形ABC。中，BC=2,将边8c绕点C按顺时针方向旋转

一定角度，点B刚好落在边的中点E上，则点8的运动轨迹长为（）

A.—B.-y-C.7iD.无法确定

【答案】B

【解析】在矩形ABC。中，BC=2,将边5C绕点C按顺时针方向旋转一定角度，点3刚好落在边AD的中

点E上，

.•・5。弧就是点B的运动轨迹，

:.DE=^BC,BC=CE,

DE=~CE,

在应CDE中，/CDE=90。,

:.ZDCE=30°f

..ZBCE=60°,

.♦.点B的运动轨迹长为2万x2x2=多，

3603

故选:B.

3.（2023•陕西西安・陕西师大附中校考模拟预测）如图，点A、3、C、£）在。上，ZD=120°,AB=AC=6,

则点。到8c的距离是（）

【答案】B

【解析】：点A、B、C、。在上，ZD=120°,

ZA=60°,

AB=AC=6,

：..ABC是等边三角形，

连接。B,过点。作OEL3c于点E,

BE=-BC=3,ZBOE=-ZBOC=ZA=60°,

22

...点。到BC的距离是g,

故选：B.

4.（2023.贵州黔东南・统考二模）如图，点A,B,（?在＜O上，若NC=110。，则/AC®等于（）

A.100°B.110°C.120°D.140°

【答案】D

【解析】在优弧AB上取点。，连接AD,BD

•..四边形ABCO是圆内接四边形，ZC=110°

ZD=180°-110o=70°

,//D与/A03是同弧所对的圆周角与圆心角

ZAOB=2ZD=140°

故选：D.

5.（2023•新疆乌鲁木齐・校考二模）如图，四边形ABC。内接于O.连接OB,OD,BD,若NC=110。，则

A.150°B.140°C.130°D.120°

【答案】B

【解析】,・•四边形ABC。内接于iO,ZC=110°,

JZA+ZC=180°,

ZA=180°-ZC=70°,

­BD=BD，

：.ZBOD=2ZA=140°,

故选：B.

6.（2023・河北石家庄・统考二模）如图，点。是4钻厂的内心，过点。作5。〃砂分别交钻，AT于点BC,

已知△钻下的周长为8,EF=x,ABC的周长为y,则表示y与X的函数图象大致是（）

【解析】如图所示，连接£O、FO,

点。是AAE尸的内心,

.\ZBEO=ZFEO,ZCFO=ZEFO,

BC//EF,

.\ZBOE=ZOEF,ZCOF=ZOFEf

:.ABOE=ZBEO,ZCOF=ZOFC,

/.BO=BE,CO=CF,

：.ABC的周长=AB+5O+OC+AC=AB+5石+CF+AC=AE+AF,

.ZkAE下的周长为8,EF=x,

y=8-x,

AE+AF>EF,

:.8—x>x,

/.0<x<4,

y与x的函数关系式为：y=-x+8（0<x<4）,

故选：A.

7.（2023•河北石家庄・统考二模）如图，ABC的两条角平分线相交于。点，NC=56。，AC<BC,点P,Q

分别为AC,BC上的点，且NPOQ=124。，甲、乙、丙三人有如下判断：甲：0P=。2；乙：四边形0PCQ

的面积是定值；丙：当OQLBC时，△POQ的周长和面积均取得最小值.则下列说法正确的是（）

A.甲正确，乙、丙错误B.甲、乙正确，丙错误C.甲错误，乙、丙正确D.甲、

乙、丙都正确

【答案】D

【解析】如图，过点。作ODLAC于点。，OELBC于点、E,则NODC=NOEC=90。

,/ABC的两条角平分线相交于。点

...点。为.的内心，

.:OC是/ACB的平分线，

OD=OE,

ZACB=56°,

.•.ZDOE=360°-ZODC-ZOEC-ZACB=124°,

NPOQ=NDOE=124°,

ZDOP=ZEOQ,

在△DO尸和△EO。中，

ZDOP=ZEOQ

，OD=OE,

ZPDO=ZQEO=90°

DOP^EOe(ASA),

OP^OQ,

所以甲的判断正确；

连接oc,

DOP^EOQ,

••四边形OQBP的面积=2s△coo，

:点。的位置固定，

•••是定值，

.••四边形OQ8尸的面积是定值，

所以乙的判断正确；

如图，过点。作。尸，PQ于点尸,

OP=OQ,ZPOQ=124°,

NOQP=NOPQ=28。，

QF^OQcosZOQP=OQ•cos28°,OF=OQ-sinZOQP=OQ-sin28°

PQ=2QF=20。•cosNOP。=20。•cos28°,

POQ的周长=尸。+20。=20。・cos28°+2OQ=2OQ-(cos280+1),

△尸。。的面积=-PQ-OF=OQ2sin28°cos28°

2一

.••当OQ最小时，即当OQ^BC时，△PO。的周长和面积均取得最小值；

综上所述：甲、乙、丙正确.

故选：D.

8.(2023•重庆九龙坡•重庆市育才中学校联考二模)在ABC中，NACB=90。，以AC为直径的。与AB边

交于点。，点E在BC上，且=若EC=4,BD=2不，则。的半径为（）

「1277

D.—

77

【答案】C

【解析】如图，连接8,

AC为。的直径，

.\ZADC=ZCDB=90°f

BE=DE,

:.ZB=ZBDE,

ZB+ZBCD=90°,ZBDE+ZCDE=90°,

:./CDE=NBCD,

/.CE=DE=BE=4,BC=8,

在RtBDC中，CD=yjBC2-BD2=,8?-（2夕『=6,

NB=ZB,ZBDC=NBCA,

BDCsBCA,

BDCD2A/76

-BC-AC'_S--AC'

：.AC=—S/I,即的半径为Uv7.

77

故选：C.

9.（2023・广东深圳・深圳市福田区北环中学校考二模）如图，在.ABC中，AB=AC,点。在AC边上,过△45。

的内心/作于点E.若BD=10,CD=4,则BE的长为（）

A

C.8D.9

【答案】B

【解析】如图,过点/作/G，AB,3,AC,垂足分别为G,F,

•.,点/为△ABZ）的内心，

.••以出为半径的圆/是△ABD的内切圆，

AG=AF,BG=BE,DE=DF,

T^AG=AF^a,DE=DF=b,

'：BD=10,

：.BE=BG=10-b,

AB=AG+BG=tz+10—Z?,AC=AD+DC=a+6+4,

•：AB=AC,

***ci+10—Z?=〃+/7+4,

解得：b=3,

・•・BE=10-b=l.

故选：B

10.（2023•陕西宝鸡・统考一模）如图所示，，ABC内接于O,点M为二ABC的内心，若NC=80。，则/M4N

的度数是（）

A.50°B.55°C.60°D.80°

【答案】A

【解析】ZABC+ZBAC+ZC=180°,且NC=80°,

ZABC+ABAC=180。一NC=180。-80。=100°,

•.•点M为AfiC的内心，

ZABM=-ZABC,ZBAM=-ABAC,

22

ZABM+ZBAM=；(ZABC+ABAC)=1xl00°=50°,

ZAMN=ZABM+ZBAM=50°,

ZAMN+NN+AMAN=180°,且NN=NC=80°,

ZMAN=180°-AAMN-ZA^=180°-50°-80°=50°,

故选：A.

二、填空题

11.（2023•浙江温州•校联考二模）如图，直线与：。相切于点A,过圆上一点C作AB的垂线，垂足为8,

垂线段CB交,：。于另一点D,已知半径为3,AB=6,则弦8的长为—.

【答案】276

【解析】作OHLCD于H,连接Q4,OC,

;.CH=DH,

3A切圆于A,

•••半径OA_LAB,

CB±AB,

四边形ABHO是矩形，

：.OH=AB=g,

OC=3,

;.CH=y]0C2-0H2=A/6，

:.CD=2CH=2yj6.

故答案为：26.

12.（2023•宁夏固原•校考二模）如图，直线A3是。的切线，C为切点，交CO于点。，点E在。

上，连接OC,EC,ED,则NCED的度数为.

【答案】45。/45度

【解析】.直线A3是-O的切线,

OCLAB,

：.ZBCO=90°,

OD//AB,

：.Z.COD=180°-90°=90°,

：.ZCED=-ZCOD^45°.

2

故答案为：45°.

13.（2023・贵州遵义・统考二模）已知ABC内接于（O,它的内心为点连接AD交弦8c于点E,交，。于

点尸，已知BE=5,CE=4,EF=3,则线段DE的长为.

【解析】连接8。，BF,

V?C$，BEF=2AEC,

/\BEFsAAEC,

.EF_BE

**EC~~AE"

・3_5

**4-AE5

；.AE=型,

3

丁点。为A5C的内心，

：.AF,6。分别为/BAC,/ABC的平分线，

AZBAF=Z.CAF,ZABD=ZCBD,

•:ZFBC=NFAC,

：.?FBC?BAF,

•.*ZF=ZF,

:•一FBES_FAB，

,BFEF

**AF-BF?

BF-=EF1AF3?