2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义-函数的应用(一)（学生版）

专题21函数的应用(一)

【知识点梳理】

知识点一用函数模型解决实际问题的一般步骤

(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型.

⑵建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型.

(3)求模：求解数学模型，得到数学结论.

(4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中.

可将这些步骤用框图表示如下：

”、联金迪象、转之后函数模型

实际问题

数

问

学

题

解

解

答

决

转

译

实际问题结论数学问题结论

知识点二常见的函数模型

(1)一次函数模型：即直线模型，其特点是随着自变量的增大，函数值匀速增大或减小.现实生活中很

多事例可以用该模型来表示，例如：匀速直线运动的时间和位移的关系，弹簧的伸长量与拉力的关系等.

(2)二次函数模型：二次函数为生活中最常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，

故最优、最省等问题常常是二次函数的模型.

(3)分段函数模型：由于分段函数在不同的区间中具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化的

实际问题，或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用.

【题型归纳目录】

题型一：分式型函数模型的应用

题型二：二次函数模型的应用

题型三：分段函数模型的应用

题型四：函数图象与实际问题的交汇

【典例例题】

题型一：分式型函数模型的应用

例1.(2023・广东深圳•高一深圳外国语学校校考期中)生命在于运动，运动在于锻炼.其中，游泳就是一个非

常好的锻炼方式.游泳有众多好处，强身健体、保障生命安全、增强心肺功能、锻炼意志、培养勇敢顽强精

神、休闲娱乐.近几年，游泳池成了新小区建设的标配家门口的“游泳池”，成了市民休闲娱乐的好去处，如

图，某小区规划一个深度为2m,底面积为400m2的矩形游泳池，按规划要求：在游泳池的四周安排4m宽

的休闲区，休闲区造价为200元/„?，游泳池的底面与墙面铺设瓷砖，瓷砖造价为100元/n?.其他设施等支

出约为1万元，设游泳池的长为加.

4

44

4

⑴试将总造价y(元)表示为长度x(m)的函数；

(2)当x取何值时，总造价最低，并求出最低总造价.

例2.(2023•高一课时练习)“垃圾分一分，环境美十分”.某校为积极响应有关垃圾分类的号召，从百货商

场购进了A,8两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶.已知8品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每

个贵50元，用4000元购买A品牌垃圾桶的数量是用3000元购买B品牌垃圾桶数量的2倍.

(1)求购买一个A品牌、一个8品牌的垃圾桶各需多少元？

(2)若该中学决定再次准备用不超过6000元购进A,8两种品牌垃圾桶共50个，恰逢百货商场对两种品牌

垃圾桶的售价进行调整：A品牌按第一次购买时售价的九折出售，8品牌比第一次购买时售价提高了

20%,那么该学校此次最多可购买多少个8品牌垃圾桶？

例3.(2023・江苏盐城•高一盐城市伍佑中学校考阶段练习)因新冠疫情零星散发，某实验中学为了保障师生

安全，同时考虑到节省费用，拟借助校门口一侧原有墙体建造一间高为4米、底面积为24平方米、背面

靠墙体的长方体形状的隔离室.隔离室的正面需开一扇安全门，此门高为2米，且此门高为此门底的g.因

此室的后背面靠墙，故无需建墙费用，但需粉饰.现学校面向社会公开招标，甲工程队给出的报价：正面

为每平方米360元，左右两侧面为每平方米300元，已有墙体粉饰为每平方米100元，屋顶和地面以及安

全门报价共计1200元.设隔离室的左右两侧面的底边长度均为x米。WxW5).

(1)记y为甲工程队整体报价，求y=/(x)的解析式；

(2)现有乙工程队也要参与此隔离室建造的竞标，其给出的整体报价为480S.+1)元,问是否存在实数

X

使得无论左右两侧底边长为多少，乙工程队都能竞标成功(注：整体报价小者竞标成功)，若存在，求出f满

足的条件；若不存在，请说明理由.

题型二：二次函数模型的应用

例4.（2023•高一课时练习）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券类产品的年收益

人尤）（单位：万元）与投资额x（单位：万元）成正比，其关系如图1；投资股票类产品的年收益g（尤）（单位：万

元）与投资额H单位：万元）的算术平方根成正比，其关系如图2.

（1）分别写出两种产品的年收益大x）和g（x）的函数关系式；

（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年

收益是多少万元？

例5.（2023•高一课时练习）小明同学想知道自家煤气灶旋钮放到什么位置时，烧开一壶水最省燃气，于是

例6.（2023・江苏•高一专题练习）鱼卷是泉州十大名小吃之一，不但本地人喜欢，而且深受外来游客的赞赏.

小张从事鱼卷生产和批发多年，有着不少来自零售商和酒店的客户当地的习俗是农历正月不生产鱼卷，客

户正月所需要的鱼卷都会在上一年农历十二月底进行一次性采购，小张把去年年底采购鱼卷的数量M单

位：箱）在［100,200）的客户称为“熟客”，并把他们去年采购的数量制成下表：

采购数X[100,120)[120,140)[140,160)[160,180)[180,200)

客户数10105205

（1）根据表中的数据作出频率分布直方图，并估计采购数在168箱以上（含168箱）的“熟客”人数；

（2）若去年年底“熟客”们采购的鱼卷数量占小张去年年底总的销售量的羡，估算小张去年年底总的销售量（同

O

一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（3）由于鱼卷受到游客们的青睐，小张做了一份市场调查，决定今年年底是否在网上出售鱼卷，若不在网上

出售鱼卷，则按去年的价格出售，每箱利润为20元，预计销售量与去年持平；若在网上出售鱼卷，则需

把每箱售价下调2至5元，且每下调加元（24机45）销售量可增加1000加箱，求小张今年年底收入y（单

位：元）的最大值.

变式1.（2023・高一单元测试）甲、乙两城相距100km,在两城之间距甲城xkm处的丙地建一核电站给甲、

乙两城供电，为保证城市安全，核电站距两地的距离不少于10km.已知各城供电费用（元）与供电距离（km）

的平方和供电量（亿千瓦时）之积都成正比，比例系数均是4=0.25,若甲城供电量为20亿千瓦时/月，乙城

供电量为10亿千瓦时/月，

（1）把月供电总费用y（元）表示成尤（km）的函数，并求其定义域；

（2）求核电站建在距甲城多远处，才能使月供电总费用最小.

变式2.（2023•高一课时练习）某工厂去年1月，2月，3月生产某产品分别为1万件，1.2万件，L3万件,

为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产量数据为依据，用一个函数模拟产品的月产量》与月份数x

b

的关系，模拟函数可以选择二次函数或函数y=“x+±+c（其中。力,。为常数）.已知4月份该产品产量为

X

L37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数更好，并说明理由.

题型三：分段函数模型的应用

例7.（2023•高一课时练习）某厂生产某种零件，每个零件的成本为4元，出厂单价6元，该厂为鼓励销售

商订购，决定当一次订购超过100个时，每多订购一个，零件的出厂单价就降低0.01元，但实际出厂价不

低于5元.

（1）当一次订购量为多少时，零件的实际出厂单价降为5元？

（2）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，求函数0=/（幻的表达式；

（3）销售商一次订购150个零件时，该厂获得的利润是多少元？若订购500个呢？

例8.（2023.高一平湖市当湖高级中学校联考期中）在中国很多乡村，燃放烟花爆竹仍然是庆祝新年来临的

一种方式，烟花爆竹带来的空气污染非常严重，可喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算，每喷洒一个单位

的去污剂，空气中释放的去污剂浓度，（单位：毫克/立方米）随着时间双单位：天）变化的函数关系式近似为

V

1+-Q,0<%<4

y=,若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释

——,4<x<10

2

放的浓度之和，由试验知，当空气中去污剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用.

（1）若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？

（2）若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒。44）个单位的去污剂，要使接下来的3天能够持

续有效去污，求。的最小值.

例9.（2023・云南昆明•高一统考期末）目前，我国汽车工业迎来了巨大的革命时代，确保汽车产业可持续发

展，国内汽车市场正由传统燃油车向新能源、智能网联汽车升级转型.某汽车企业决定生产一种智能网联新

型汽车，生产这种新型汽车的月成本为400（万元），每生产无台这种汽车，另需投入成本p（x）（万元），当月

产量不足40台时，p（x）=4x（万元）；当月产量不小于40台时，0（x）=21尤+日圆一900（万元）.若每台汽

X

车售价为20（万元），且该车型供不应求.

（1）求月利润y（万元）关于月产量M台）的函数关系式；

（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润?并求出最大月利润.

变式3.（2023•福建福州•高一福建省福州第一中学校考期末）某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔f（单

位：分钟）满足5VY20,reN,经测算.该路无人驾驶公交车载客量与发车时间间隔，满足：

60-(r-10)2,5</<10

其中rGN.

60,10</<20

（1）求P（5）,并说明P（5）的实际意义：

（2）若该路公交车每分钟的净收益安60⑺+24_10（元），问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟

't

的净收益最大？并求每分钟的最大净收益.

题型四：函数图象与实际问题的交汇

例10.（2023•北京昌平•高一统考期末）某校航模小组进行无人机飞行测试，从某时刻开始15分钟内的速度

v（x）（单位：米/分钟）与飞行时间尤（单位：分钟）的关系如图所示.若定义“速度差函数”"（劝（单位：米/分钟）

为无人机在［0,可这个时间段内的最大速度与最小速度的差，则"⑴的图像为（）

例11.（2023・高一单元测试）列车从A地出发直达500km外的3地，途中要经过离A地300km的C地，假设

列车匀速前进，5h后从A地到达B地，则列车与C地距离y（单位：km）与行驶时间”单位：h）的函数图象

例12.（2023・全国•高一专题练习）点P从。点出发，按逆时针方向沿周长为/的图形运动一周，。、尸两点的

距离y与点尸所走路程x的函数关系如图所示，那么点尸所走的图形是（）

变式4.（2023・全国•高一专题练习）小明去上学，先步行，后跑步，如果y表示小明离学校的距离，x表示

出发后的时间，那么下列图象中符合小明走法的是（）

变式5.（2023•云南红河•高一校考阶段练习）如图，Q4B是边长为2的正三角形，记位于直线

x=r（r>0）左侧的图形的面积为了⑺，则y=/（r）的函数图象是（）.

【过关测试】

一、单选题

1.（2023・全国•高一专题练习）某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C（x）=犬+4X+16（万元）,

每件商品售价为28元，假设每月所生产的产品能全部售完.当月所获得的总利润用何外（万元）表示，用

以“表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正确的是（）

X

A.当生产12万件时，当月能获得最大总利润144万元

B.当生产12万件时，当月能获得最大总利润160万元

C.当生产4万件时，当月能获得单件平均利润最大为24元

D.当生产4万件时，当月能获得单件平均利润最大为16元

2.（2023・四川资阳•高一四川省安岳实验中学校考期末）某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得

知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工

资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位

+元（试剂的总产量为x单位，50<x<200）,则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量

应为（）

A.60单位B.70单位C.80单位D.90单位

3.（2023广东广州.高一广州大学附属中学校联考期末）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实

行“阶梯水价”，计费方法如下表：

每户每月用水量水价

不超过12m3的部分3元/n?

超过12m3但不超过18m3的部分6TC/m3

超过18m3的部分97C/m3

若某户居民本月交纳的水费为54元，则此户居民的用水量为（）

A.6m3B.9m3C.15m3D.18m3

4.（2023•河南周口•高一统考期末）某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为

4x,l<x<10,xeN

2x+10,10<x<100,xeN.其中x代表拟录用人数，y代表面试人数.若面试人数为60,则该公司拟

1.5X,X>100,XGN

录用人数为

A.15B.25C.40D.130

5.（2023•北京•高一校考阶段练习）某产品的总成本y万元与产量尤（台）之间的关系是y=30+2x-x2,

,若每台产品的售价为9万元，则生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量是（）

A.3台B.5台C.6台D.10台

6.（2023•高一课时练习）把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面

积之和的最小值是（）

A.—y/3cm~B.4cm2C.3应cm2D.26cm,

7.（2023•高一课时练习）某市为打击出租车无证运营、漫天要价等不良风气，出台两套出租车计价方案，方

案一：2公里以内收费8元（起步价），超过2公里的部分每公里收费3元，不足1公里按1公里计算：方案

二：3公里以内收费12元（起步价），超过3公里不超过10公里的部分每公里收费2.5元，超过10公里的

部分每公里收费3.5元，不足1公里按1公里计算.以下说法正确的是（）

A.方案二比方案一更优惠

B.乘客甲打车行驶4公里，他应该选择方案二

C.乘客乙打车行驶12公里，他应该选择方案二

D.乘客丙打车行驶16公里，他应该选择方案二

8.（2023・高一课时练习）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经市场调查了解到下列信息：每月土地

占地费外（单位：万元）与仓库到车站的距离内单位：协?）成反比，每月库存货物费力（单位：万元）与x成正

比，若在距离车站10km处建仓库，则%为1万元，%为4万元，下列结论正确的是（）

A.yj=~B.%=4x

X

c.%+%有最大值4D.乂-%无最小值

二、多选题

9.（2023・高一单元测试）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为V,观影人数记为x,

y关于x的函数图像如图（1）所示.由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图

（2）、图（3）中的实线分别为调整后、关于X的函数图像.给出下列四种说法，其中正确的说法是（）

A.图（2）对应的方案是：提高票价，并提高固定成本

B.图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低固定成本

C.图（3）对应的方案是：提高票价，并保持固定成本不变

D.图（3）对应的方案是：提高票价，并降低固定成本

10.（2023•宁夏石嘴山・高一平罗中学期中）几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品，生产此产品获

得的月利润P（x）（单位：万元）与每月投入的研发经费外单位：万元）有关.已知每月投入的研发经费不高于

16万元，且。（幻=-2/+6》-20,利润率丫=型土现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是

5x

（）

A.此时获得最大利润率B.再投入6万元研发经费才能获得最大利润

C.再投入1万元研发经费可获得最大利润率D.再投入1万元研发经费才能获得最大利润

11.（2023•高一单元测试）（多选）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学

家到公园的距离都是2km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y（km）与时间x（min）的关

系，下列结论正确的是（）

A.甲同学从家出发到乙同学家走了60min

B.甲从家到公园的时间是30min

C.甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快

D.当0W烂30时，y与x的关系式为

12.（2023•高一单元测试）某工厂八年来某种产品总产量，（即前x年年产量之和）与时间x（年）的函数关系如

B.前三年中，年产量的增长速度越来越慢

C.第三年后，这种产品停止生产

D.第三年后，年产量保持不变

三、填空题

13.（2023•广西桂林•高一校考期中）将进货单价40元的商品按50元一个售出，能卖出500个；若此商品每

涨价1元，其销售量减少10个.为了赚到最大利润，售价应定为元.

14.（2023•重庆永川•高一重庆市永川北山中学校校考开学考试）如图，在半径为4cm的半圆形（。为圆心）铁

皮上截取一块矩形材料ABC。，其顶点A,2在直径上，顶点C,D在圆周上，则矩形ABC。面积的最大值

AB

15.（2023・广东汕头•高一汕头市第一中学校考期中）在一次数学实践课上，同学们进行节能住房设计，综合

分析后，设计出房屋的剖面图（如图所示），屋顶所在直线方程分别是y=gx+3和y=为保证采

光，竖直窗户的高度设计为1m,那么点A的横坐标为_.

屋顶

16.（2023•高一课时练习）某商人将每台彩电先按原价提高40%,然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，

结果是每台彩电比原价多了270元，则每台彩电原价是元.

四、解答题

17.（2023•上海静安・高一校考期中）国家为了加强对酒类生产的管理，现对酒类销售加征附加税.已知某种

酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年销售100万瓶.若征收附加税，规定税率为r%（即每销售100元

要征附加税『元），则每年的产销量将减少10厂万瓶.如果要保证每年在此项经营中所收取的附加税额不少

于112万元，那么附加税税率r%应定在什么范围？

18.（2023・上海•高一专题练习）某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件.据市场调查，若价格每提

高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？

19.（2023・河北保定•高一保定一中校考期中）我国是用水相对贫乏的国家，据统计，我国的人均水资源仅为

世界平均水平的:.因此我国在制定用水政策时明确提出“优先满足城乡居民生活用水”，同时为了更好地

提倡节约用水，对水资源使用进行合理配置，对居民自来水用水收费采用阶梯收费.某市经物价部门批

准，对居民生活用水收费如下：第一档，每户每月用水不超过20立方米，则水价为每立方米3元；第二

档，若每户每月用水超过20立方米，但不超过30立方米，则超过部分水价为每立方米4元；第三档，若

每户每月用水超过30立方米，则超过部分水价为每立方米7元，同时征收其全月水费20%的用水调节

税.设某户某月用水X立方米，水费为y元.

(1)试求y关于*的函数；

(2)若该用户当月水费为80元，试求该年度的用水量；

(3)设某月甲用户用水。立方米，乙用户用水b立方米，若。/之间符合函数关系：h=-«2+47a-530.则当

两户用水合计达到最大时，一共需要支付水费多少元？

20.(2023•河南南阳•高一统考阶段练习)某超市引进A,8两类有机蔬菜.在当天进货都售完的前提下，A

类有机蔬