函数的实际应用-抛物线型问题（训练）（解析版）-中考数学重难点题型

函数的实际应用-中考数学重难点题型专题汇总

抛物线型问题(专题训练)

1.现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐

标原点，以OE所在直线为x轴，以过点0垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系.根

据设计要求：OE=10m,该抛物线的顶点P到的距离为9m.

(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式;

(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装

照明灯.已知点A、B到OE的距离均为6m,求点A、B的坐标.

9

【答案】⑴>=-石。-5)2+9

⑵45一手,6),8(5+手,6)

【分析】(1)根据题意，设抛物线的函数表达式为y=“(x-5r+9,再代入(0,0),求出a

的值即可;

(2)根据题意知，A,B两点的纵坐标为6,代入函数解析式可求出两点的横坐标，从而可

解决问题.

(1)

依题意，顶点尸(5,9),

设抛物线的函数表达式为y=a(x-5y+9,

9

将(0,0)代入，得0=a(0-5『+9.解之，得。=垸

Q

...抛物线的函数表达式为y=-五(X-5P+9.

⑵

a

令)=6,(X-5)2+9=6.

解之，得项=+5,x=+5-

1323

・5-7356

••/(5——,6),5(5+^—,6)•

【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的

运用，解答时求出二次函数的解析式是关键.

2.甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片.如图①，甲秀楼的桥拱截面0A4可视为抛物线的一部分,

在某十寸刻，桥拱内的水面宽。4=8m,桥拱顶点B到水面的距离是4m.

(1)按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式;

(2)一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距。点0.4m时，桥下水

位刚好在OA处.有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会

触碰到桥拱，请说明理由(假设船底与水面齐平)；

(3)如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线尸=奴2+加+。(。=0),该抛物线在x轴下方部分

与桥拱/在平静水面中的倒影组成一个新函数图象.将新函数图象向右平移机(m>0)个

单位长度，平移后的函数图象在84x49时，>的值随x值的增大而减小，结合函数图象,

求m的取值范围.

【答案】(1)y=-：x2+2x(0WxW8)；(2)他的头顶不会触碰到桥拱，理由见详解；(3)

5<m<8

【分析】

(1)设二次函数的解析式为：y=a(x-8)x,根据待定系数法，即可求解；

(2)把：x=l,代入y=-；x2+2x,得到对应的y值，进而即可得到结论；

(3)根据题意得到新函数解析式，并画出函数图像，进而即可得到m的范围.

【详解】

(1)根据题意得：A(8,0),B(4,4),

设二次函数的解析式为：y=a(x-8)x,

把(4,4)代入上式，得：4=a«4-8)x4,解得:

二二次函数的解析式为：y=-；(X-8)X=-；X2+2X(0<X<8)；

_117

(2)由题意得：x=0.4+l.2+2=1,代入y=—x2+2x,得y=—xi2+2xi=—>1.68,

444

答：他的头顶不会触碰到桥拱；

(3)由题意得：当gxS8时，新函数表达式为：y=-^-x2-2x,

当x<。或x>8时，新函数表达式为：y，*+2x,

1,

尤48)

•••新函数表达式为:

一;x?+2x(x(0或x)8)

..•将新函数图象向右平移加>0)个单位长度,

.,.O'(m,0),4(m+8,0),B'(m+4,-4),如图所示,

根据图像可知：当m+4N9且m$8时，即：5<m<8Ht,平移后的函数图象在8WxV9时，了的

值随充值的增大而减小.

【点睛】

本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的待定系数法，二次函数的图像和性质，

二次函数图像平移和轴对称变换规律，是解题的关键.

3.2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情.如图是某跳台滑雪训练

场的横截面示意图，取某一位置的水平线为无轴，过跳台终点A作水平线的垂线为歹轴，建

17

立平面直角坐标系.图中的抛物线C|：y=-上'2+,尤+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡,

126

某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线：y=-：/+法+c运动.

O

y/米

(1)当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C2的

函数解析式(不要求写出自变量x的取值范围)；

(2)在(1)的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖

直距离为1米？

(3)当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求6的取值范围.

1335

【答案】(1)y=-x2+-x+4；(2)12米；(3)b>—.

8224

【分析】

2

(1)根据题意可知：点A(0,4)点B(4,8),利用待定系数法代入抛物线C2-.y=-^x+bx+c

8

即可求解；

(2)高度差为1米可得G-G=i可得方程，由此即可求解；

(3)由抛物线©1：^=-5/+^^+1可知坡顶坐标为(7,2)，此时即当X=7时，运动员

运动到坡顶正上方，若与坡顶距离超过3米，即〉=-』*72+76+。22+3,由此即可求出b

812

的取值范围.

【详解】

解：（1）根据题意可知：点A（0,4）,点B（4,8）代入抛物线C2:y=+6x+c得，

8

c=4

,17，

——X42+4/J+C=8

[8

c=4

解得：L3,

b=—

[2

i?

・・・抛物线。2的函数解析式>=-三/+9+4；

o2

（2）•・•运动员与小山坡的竖直距离为1米，

（--x2+-x+4）-（-—x2+-x+l）=l,

82126

解得：再=-4（不合题意，舍去），％=12,

故当运动员运动水平线的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米；

（3）•.•点A（0,4）,

抛物线C:y=—x2+bx+4,

28

;抛物线。:y=+1工+1=-7^（、-7）2+—,

1261212

・・・坡顶坐标为（7,2），

・・•当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，

：.y=--x72+7b+4>—+3,

812

35

解得：b>—.

24

【点睛】

本题属二次函数应用中的难题.解决函数应用问题的一般步骤为：（1）审题：弄清题意，分

清条件和结论，理清数量关系；（2）建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立

相应的数学模型；（3）求模：求解数学模型，得到数学结论；（4）还原：将用数学方法得

到的结论还原为实际问题.

4.如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘48在无轴上，且/B=8dm,

外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为丁轴，高度。C=8dm.现计划将此余料进行切割:

(1)若切割成正方形，要求一边在底部边缘48上且面积最大，求此正方形的面积;

(2)若切割成矩形，要求一边在底部边缘N3上且周长最大，求此矩形的周长；

(3)若切割成圆，判断能否切得半径为3dm的圆，请说明理由.

【答案】⑴96-32逐4帝；

(2)20dm；

(3)能切得半径为3dm的圆.

【分析】(1)先把二次函数解析式求出来，设正方形的边长为2m,表示在二次函数上点的

坐标，代入即可得到关于m的方程进行求解；

(2)如详解2中图所示，设矩形落在AB上的边DE=2n,利用函数解析式求解F点坐标，

进而表示出矩形的周长求最大值即可；

(3)为了保证尽可能截取圆，应保证圆心H坐标为(0,3),表示出圆心H到二次函数上

个点之间的距离与半径3进行比较即可.

(1)

由题目可知A(-4,0),B(4,0),C(0,8)

设二次函数解析式为y=ax2+bx+c,

:对称轴为y轴，

b=0,将A、C代入得，a=--,c=8

2

则二次函数解析式为y=-1x2+8,

如下图所示,正方形MNPQ即为符合题意得正方形，设其边长为2m,

则P点坐标可以表示为（m,2m）

代入二次函数解析式得，

-^-m2+8=2m,解得町=2遥-2,机？=-2石-2（舍去），

2m=475-4,（2机『=（4右-4）?=96-32石

则正方形的面积为96-32右加♦

如下如所示矩形DEFG,设DE=2n,则E（n,0）

将x=n代入二次函数解析式，得

1,

y=~~n+8,

贝!JEF=—几2+8,

2

矩形DEFG的周长为：2(DE+EF)=2(2n+-1w2+8)=-n2+4n+16=-(n-2)2+20,

当n=2时，矩形的周长最大，最大周长为20dm；

如下图所示，为了保证尽可能截取圆，应保证圆心H坐标为（0,3）,

则圆心H到二次函数上个点之间的距离为

X2+(-1X2+8-3)2=^X4-4X2+25(X2-8)2+9>S

【点睛】本题考查了二次函数与几何结合，熟练掌握各图形的性质，能灵活运用坐标与线段

长度之间的转换是解题的关键.

5.跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物

线的一部分(如图中实线部分所示)，落地点在着陆坡(如图中虚线部分所示)上，着陆坡

上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高.2022年

北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度。4为66m,基准点K到起跳台的水平距离为

75m,高度为“m(h为定值).设运动员从起跳点A起跳后的高度了(m)与水平距离x(m)之

间的函数关系为>=a/+fcv+c(aw0).

(l)c的值为；

1Q

⑵①若运动员落地点恰好到达K点，且此时〃=-*/=・，求基准点K的高度h；

②若时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为；

(3)若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m,试判断他的落地点能否超

过K点，并说明理由.

【答案】(1)66

9

⑵①基准点K的高度h为21n1；②5>正；

⑶他的落地点能超过K点，理由见解析.

【分析】(1)根据起跳台的高度0A为66m,即可得c=66；

1919

(2)①由a=--,b=—,知y=-五x?+元x+66,根据基准点K到起跳台的水平距

离为75m,即得基准点K的高度h为21m；

②运动员落地点要超过K点，即是x=75时，y>21,故-点x75?+75b+66>21,即可解得

答案；

(3)运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m,即是抛物线的顶点为(25,

2

76),设抛物线解析式为y=a(x-25)2+76,可得抛物线解析式为y=(x-25)2+76,

当x=75时，y=36,从而可知他的落地点能超过K点.

(1)

解：；起跳台的高度0A为66m,

AA(0,66),

把A(0,66)代入y=ax?+bx+c得：

c=66,

故答案为：66；

⑵

19

解:®Va=---b=-,

19

.*.y=------X2H-----x+66,

5010

・・•基准点K到起跳台的水平距离为75m,

19

y=--X752HX75+66=21,

,5010

，基准点K的高度h为21m；

，y=------x2+bx+66,

’50

・・•运动员落地点要超过K点，

・••当x=75时，y>21,

BP--x752+75b+66>21,

50

9

解得b>—,

9

故答案为：b>—；

(3)

解：他的落地点能超过K点，理由如下：

:运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m,

...抛物线的顶点为(25,76),

设抛物线解析式为y=a(x-25)2+76,

把(0,66)代入得：

66=a(0-25)2+76,

2

解得a=--,

125

2

...抛物线解析式为y=-------(x-25)2+76,

125

2

当x=75时，y=-------x(75-25)2+76=36,

125

V36>21,

,他的落地点能超过K点.

【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为

数学问题.

6.根据以下素材，探索完成任务.

如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？

素材1

图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m,拱顶离水面

5m.据调查，该河段水位在此基础上再涨L8m达到最高.

为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距

离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为L6m；为了美观，要求

在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布.

问题解决

任务1

确定桥拱形状

在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式.

任务2

探究悬挂范围

在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值

范围.

任务3

拟定设计方案

给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬

挂点的横坐标.

【答案】任务一：见解析，＞任务二：悬挂点的纵坐标的最小值是-L8；-64x46；

任务三：两种方案，见解析

【分析】任务一：根据题意，以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，待定系数法求

解析式即可求解；

任务二：根据题意，求得悬挂点的纵坐标了2-5+1.8+1+0.4=-1.8,进而代入函数解析式

即可求得横坐标的范围；

任务三：有两种设计方案，分情况讨论，方案一：如图2(坐标系的横轴，图3同)，从顶

点处开始悬挂灯笼；方案二：如图3,从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的

距离均为0.8m,根据题意求得任意一种方案即可求解.

【详解】任务一：以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，

图1

则顶点为(0,0),且经过点(10,-5).

设该抛物线函数表达式为V=ax\a丰0),

则一5=100〃，

._1

..Q=-----,

20

该抛物线的函数表达式是了=-5/.

任务二：：水位再上涨1.8m达到最高，灯笼底部距离水面至少1m,灯笼长0.4m,

•••悬挂点的纵坐标V2—5+1.8+1+0.4=—1.8,

悬挂点的纵坐标的最小值是-L8.

当y=-1.8时,-1.8=-5尤:解得网=6或%=一6,

...悬挂点的横坐标的取值范围是-6WxW6.

任务三：有两种设计方案

方案一：如图2(坐标系的横轴，图3同)，从顶点处开始悬挂灯笼.

-6-4.8016

图2

■：-6<x<6,相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m,

二・若顶点一侧挂4盏灯笼，贝!J1.6义4>6,

若顶点一侧挂3盏灯笼，X01.6x3<6,

•••顶点一侧最多可挂3盏灯笼.

:挂满灯笼后成轴对称分布，

共可挂7盏灯笼.

最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是-4.8.

方案二：如图3,从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为0.8m,

-5.6

4016

图3

;若顶点一侧挂5盏灯笼，则0.8+1.6x(5-l)>6,

若顶点一侧挂4盏灯笼，则0.8+1.6x(4-1)<6,

二顶点一侧最多可挂4盏灯笼.

•••挂满灯笼后成轴对称分布，

共可挂8盏灯笼.

...最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是-5.6.

【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意建立坐标系，掌握二次函数的性质是解题的

关键.

7.公路上正在行驶的甲车，发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲

车行驶的路程s(单位：m)、速度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)的关系分别可以用

二次函数和一次函数表示，其图象如图所示.

(1)当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？

(2)若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？

【答案】(1)87.5m；(2)6秒时两车相距最近，最近距离是2米

【分析】

(1)根据图像分别求出一次函数和二次函数解析式，令v=9求出t,代入求出s即可;

(2)分析得出当v=10m/s时，两车之间距离最小，代入计算即可.

【详解】

解：(1)由图可知：二次函数图像经过原点，

设二次函数表达式为s=a产+从，一次函数表达式为v=〃+c,

:一次函数经过(0,16),(8,8),

8=8上+ck=-\

则16=c'解得:

c=16

二・一次函数表达式为v=f+16,

令v=9,则t=7,

・••当t=7时,速度为9m/s,

・・•二次函数经过(2,30),(4,56),

4。+26=30

解得:

16。+46=56

6二16

...二次函数表达式为5=-；/+1”,

令t=7,则s=-亏+16x7=87.5,

，当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是87.5m；

(2)•.•当t=0时，甲车的速度为16m/s,

...当10<v<16时，两车之间的距离逐渐变小，

当0<v<10时，两车之间的距离逐渐变大，

当v=10m/s时，两车之间距离最小，

将v=10代入v=f+16中，得t=6,

将t=6代入s=-gr+⑹中，得s=78,

此时两车之间的距离为：10x6+20-78=2m,

.•.6秒时两车相距最近，最近距离是2米.

【点睛】

本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，理解题意，读懂函数图像，求出表达式是解题

的基本前提.

8.如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟.小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜

大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体A处，另一端固

定在离地面高2米的墙体E处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系.已知大棚

上某处离地面的高度了（米）与其离墙体A的水平距离无（米）之间的关系满足

y=-Lx^+bx+c,现测得A,8两墙体之间的水平距离为6米.

6

（1）直接写出6,c的值；

（2）求大棚的最高处到地面的距离；

（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为3三7米的竹竿支架若干，已知大棚内可以

24

搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？

773

【答案】（1）b=—,c=1：（2）—米；（3）352

624

【分析】

（1）根据题意，可直接写出点A点B坐标，代入了=-：，+/+。，求出L。即可；

6

（2）根据（1）中函数解析式直接求顶点坐标即可；

（3根据夕=-：1/+；7》+1=弓47，先求得大棚内可以搭建支架的土地的宽，再求得需搭建支

架的面积，最后根据每平方米需要4根竹竿计算即可.

【详解】

解：（1）由题意知点A坐标为（0,1）,点B坐标为（6,2）,

将A、B坐标代入y=」x2+foc+c得:

6

l=c

b=—

1解得：6

2=——x629+6b+c

6c=l

7

故6=一,c=l；

6

可得当％=:7时，歹有最大值7三3，

224

即大棚最高处到地面的距离为三73米；

24

.127[37&刀,曰113

(z3x)由y=+—x+1=—,解传西=7，xi=~

66242」

又因为0«x(6,