2024年中考数学复习直角三角形过关检测（解析版）

专题18直角三角形过关检测

（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）.

1.在△48C中，乙/=40。,乙C=90。,则乙B的度数为（)

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】3

【解答】解：在△/BC中，ZC=90°,

贝1]4/+42=90°,

•・24=40°,

...48=90°-40°=50°,

故选：B.

2.一直角三角形的两直角边长为6和8,则斜边长为（）

A.10B.13C.7D.14

【答案】/

【解答】解：由勾股定理可得,

22

斜边长为：^5+g=10,

故选：A.

3.如图，在△48C中，已知ZC=90°,AC=5cm,BC=12cm,则斜边上的高为（）

A<7

C----------------------------—

A.95B.韭5C.30cmD.皎cm

13n12cir13

【答案】。

【解答】解：过。作于〃,

,乙C=90°,AC=5cm,BC=12cm,

'-AB=VAC2+BC2=13(cm),

•­-4ABe的面积=LB・CH=lAC'BC,

22

13CZ7=5x12,

13

r.斜边48上的高为更L

13

4.如图，在RtZ\48C中，4c=90。，CO为48边上中线，过点。作。石_1/2,连接BE,若/£=1

0,CD=8,则DE的长为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】。

【解答】解：在RtZ\4BC中，AACB=90°,CD为边上中线，0)=8,

贝I]NZ)=CD=8,

■.■DELAB,AE=10,

DE=VAE2-AD2=7102-82=6，

故选：D.

5.如图，在△48C中，448C为直角，4/=30。，ADL/C于。，若CD=2,则/C的长为()

【答案】N

【解答】解：,.・△/8C中，AABC=90°,AA=30°,

ABCD=60°,

,:BDLAC于D,

ADBC=AA=30°,

■.CD=2,

.'.BC=4,

，/C=8,

故选：A.

6.如图，若要用“印/'证明RtZ\48C/RtZUAD,则还需补充条件()

A.ABAC=ABADB.AC=AD或BC=BD

C.2ABC=乙ABDD.以上都不正确

【答案】8

【解答】解：若要用“HL”证明RS/BC式RQNAD,则还需补充条件NC=/D或BC=8D,

故选：B.

7.如图，AA=AD=90°,AC=DB,则△/BC式ADCB的依据是（）

【答案】/

【解答】解：HL,

理由是：・・.△/=乙£)=90°,

在RtAylSC和RtADCB中

(AC=BD

IBC=BC,

RtA^5C^RtA£>C5(HL),

故选：A.

8.下列各组数是勾股数的是（）

A.1,A/2,MB.0.6,0.8,1C.5,11,12D.8,15,17

【答案】。

【解答】解：4F+（&）2=（百）2,V2,正不是正整数，因此不是勾股数，不符合题意；

B、0.62+0.82=12,0.6、0.8不是正整数，因此不是勾股数，不符合题意；

C、52+112/因此不是勾股数，不符合题意；

D、82+152=172都是正整数，符合题意，因此是勾股数，符合题意.

故选：D.

9.如图，长为8c机的橡皮筋放置在数轴上，固定两端/和3,然后把中点。垂直向上拉升3c加到。点,

则橡皮筋被拉长了（）

【答案】/

【解答】解：•.•点C为线段的中点,

.'.AC=^AB=4cm,

2

在RtZ\/C£>中，CD=3cm；

根据勾股定理，得：

AD=VAC2<D2=5(cm);

CDX.AB,

ADCA=ADCB=90°,

在△/QC和中，

rDC=DC

<NACD=/BCD，

,AC=BC

/XADC^ABDC(SAS\

-"-AD=BD=5cm,

：.AD+BD-AB=2AD-^5=10-8=2(cm);

二橡皮筋被拉长了2cm.

故选：A.

10.勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的

记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理.图2是

由图1放入长方形内得到的，4A4c=90。，48=6,3C=10,点。，E,F.G,X,/都在长方形KLM

J的边上，则长方形立⑷的面积为()

图1图2

A.420B.440C.430D.410

【答案】8

【解答】解：如图，延长交4于P,延长/。交于°,

AABC+AACB=90°=APBF+AABC,

乙ACB=APBF,

△ABgAPFB(AAS),

同理可证△NBC”MCG(44S),

:.PB=AC=8,CQ=AB=6,

•・•图2是由图1放入长方形内得到，

「"=8+6+8=22,00=6+8+6=20,

长方形KLMJ的面积=22x20=440.

故选：B.

二、填空题(本题共6题，每小题2分，共12分)。

11.直角三角形的一个锐角为25°,则它的另一个锐角为65度.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：,・・直角三角形的一个锐角为25°,

它的另一个锐角为90°-25°=65°.

故答案为：65.

12.如图，在中，乙4cB=90：以/C为边向外作正方形4DEC,若图中阴影部分的面积为9c

【答案】5.

【解答】解：正方形ADEC的面积为9,

.'.AC2=9,

在中，由勾股定理得，

AB=7AC2+BC2=49+16=5(cm),

故答案为：5.

13.如图，CD是Rt448C的中线，AACB=90°,ACDA=12O°,则LB的度数为60°.

［答案】60°.

【解答】解：24C8=90°,CD是△NBC斜边N8的中线,

.,.AD=CD=BD,

•••2DCB=乙DBC.

ACDA是△CD8的一个外角,

ACDA=120°,

ADCB+ADBC=120°.

ADBC=60°.

故答案为：60°.

14.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树

的树梢，问小鸟至少飞行10米.

［答案】见试题解答内容

【解答】解：如图，设大树高为/8=10米，

小树高为CD=4米，

过C点作CE1AB于E,则EBDC是矩形，

连接/C,

：.EB=4m,EC=8m,=-班=10-4=6（米）,

在RS4EC中，（米）,

^C=^AE2+EC2=IO

故答案为：10.

15.如图，△48C中，AB=AC,ABAC=120°,45的垂直平分线交48于点£,交3C于点色若BF=3.

5,贝UCF=7

A

E

BF\C

【答案】7.

【解答】解：连接NG如图,

-'-ZB=ZC=yX(180°-120°)=30°，

.•,£尸垂直平分线段NB,BF=35,

:.BF=AF=3.5,

:.乙B=LBAF=30°,

，AFAC=ABAC-ABAF=90°,

.,.在Rt△/尸C中，ZC=3O°,有FC=2AF=7,

故答案为：7.

16.如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，/,2是这个台阶上两个相

对的端点，/点有一只蚂蚁，想到8点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到8点最短路程是

—米.

［答案】见试题解答内容

【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为2,宽为(0.2+0.3)X3,

则蚂蚁沿台阶面爬行到2点最短路程是此长方形的对角线长.

可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x,

由勾股定理得：x2=22+[(0.2+0.3)X3]2=2.52,

解得x=2.5.

三、解答题（本题共7题，共58分）。

17.（6分）如图，在R3/2C中，乙4c2=90°,OE过点C且平行于若42CE=35°,求4”的度

数.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：〃43,

:.乙B=2BCE=35°,

4/=90°-35°=55°.

18.（8分）如图，在△Z8C和△DC5中，乙/=乙。=90°,AC=BD,/C与8。相交于点。

（1）求证：/XABgADCB；

（2）△O3C是何种三角形？证明你的结论.

（答案】见试题解答内容

【解答】证明：（1）在△43C和△OC3中，44=4。=90°,

在RtAABC和Rt/XDCB中，

（AC=BD

1BC=BC'

••.RtA^C^RtADC5（HL）；

（2）△O5C是等腰三角形，

由（1）得：RtAABgRtADCB,

乙ACB=ADBC,

：.OB=OC,

.•.△O2C是等腰三角形.

19.（8分）如图，Rtz\/8C中，ABAC=90°,ZC=30°,A"BC于D,BF平分乙ABC,交/。于E,

交AC于F.

（1）求证：△/£尸是等边三角形；

（2）求证：BE=EF.

【答案】(1)证明见解答过程；

(2)证明见解答过程.

【解答】证明：(1),•,48/C=90°,4c=30°,

AABC=60°,

平分乙4BC,

:.乙ABF=zLCBF=3Q°,

'.,ADLBC,

/.AADB=90°,

AAEF=ABED=90°-ACBF=60°,

VAAFB=90°-AABF=60°,

AAFE=AAEF=60°,

△/斯是等边三角形；

(2)AADB=90°,/LABC=6Q°,

；.乙BAE=乙ABF=30°,

-"-AE=BE,

由（1）知△/£尸是等边三角形,

：.AE=EF,

：.BE=EF.

20.（8分）如图，在△48C中，CD_LAB于点。，AC=6,BC=8,AB=10.求:

（1）△N8C的面积；

（2）线段CD的长.

【答案】（1）24；

（2）4.8.

【解答】解：⑴•••/C=6,SC=8,A5=10,

.-.AC2+BC2=AB2,

AAACB=90°,

△/2°的面积="1^，*8，=/乂6乂8=24；

（2）4ABC的面积=1-ACXBC=yABXCD'

.1.6x8=10CZ）,

.­.Cr>=4.8.

21.（8分）如图1,同学们想测量旗杆的高度/?（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出

了一段，但这条绳子的长度未知.小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下:

图1

小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余1米，如图1;

②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部4米，如图2.

小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图3点。处（2。=2C）.

（1）请你按小明的方案求出旗杆的高度h米;

（2）已知小亮举起绳结离旗杆4.5米远，此时绳结离地面多高?

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）如图2,设旗杆的长度为x米，则绳子的长度为（x+1）米,

在RS/2C中，由勾股定理得：f+42=（x+1/

解得：x=7.5,

故旗杆的高度为7.5米；

（2）由题可知，BD=BC=15米,。£=4.5米.

在RQADE中，由勾股定理得：5E2+4.52=7.52,

解得：BE=6,

：.EC=BC-BE=1.5-6=1.5（米），

：.DF=EC=1.5米.

故绳结离地面1.5米高.

22.（10分）【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，

通过证明可得中间也是一个正方形.其中四个直角三角形直角边长分别为。、b,斜边长为c.图中大正

方形的面积可表示为（。+6）2,也可表示为c2+4xLb,即（a+6）2=02+4XL6,所以片+庐、2.

22

【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一

个直角梯形其中△^◎之△4D£,乙C=4D=90。，根据拼图证明勾股定理.

【定理应用】在中，AC=90°,乙4、2B、4c所对的边长分别为。、6、c.

求证：a2c2+a~b~=c4-b4.

a

［定理应用】见解析.

【解答】证明：【尝试探究】梯形的面积为S=l(a+b)(b+a)=ab+X(a2+b2),

22

21

利用分割法，梯形的面积为S=S^ABC+SAABE+SADE=-^ab+.^c+^ab=ab+^c,

：-ab+1-(a2+b2)=ab+1^2,

22

a2+b2=c2;

［定理应用］/a2c2+a2Z>2=a2(c2+Z>2),c4-b4=(c^+b2)(c2-庐)=(c2+b2)a2,

4

02c2+02店=c,

23.(10分)如图，在△48。中，已知AB=/C,2C>/C,点尸在线段2C上运动(P不与3、C重合),

连接4P,作44PM=43,交/C于点