实数及其运算（原卷版）-2024年中考数学真题

主题一数与式

k_____________________________________________________________________

实数及其运算

目录一览

知识目标（新课程标版提炼）

I

（分析中考考察方向，厘清命题趋势，精准把握重难点）

考点回归（梳理基础考点，清晰明了，便于识记）

重点考向（以真题为例，探究中考命题方向）

A考向一正负数与具有相反意义的量

A考向二相反数、倒数、绝对值

A考向三有理数的加减运算

A考向四有理数的混合运算

A考向五科学记数法和有效数字

A考向六平方根与立方根

A考向七实数的相关性质与运算

最新真题荟萃（精选最新典型真题，强化知识运用，优化解题技巧）

知识目标

1.理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小.

2.借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内不含字母）.

3.理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）.

4.理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算.

5.能运用有理数的运算解决简单的问题.

6.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应.能求实数的相反数与绝对值.

7.能用有理数估计一个无理数的大致范围.

中考

1.实数与运算在历年中考中以考查基础为主，也是考查重点，年年考查，是广大考生的得分点，分值为14〜28

分。

2.预计2024年各地中考还将继续重视对正负数的意义、相反数、绝对值、倒数、数轴等实数的相关概念及

实数的分类的考查，也会对有理数的运算、科学记数法、数的开方、零次累、负整数指数累、二次根式及

运算等进行考查，且考查形式多样，为避免丢分，学生应扎实掌握。

考点回归

J_Y

基础概念定义

有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，是整数和分数的集合。

有理数整数也可看做是分母为一的分数。不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是

无限不循环的数。

正数大于零的数称为正数，绝对值是它本身，相反数在它前面加

在正数前面加上就是负数；

负数负数的绝对值就是把负号去掉，也就是她的相反数；

负数的绝对值等于它的相反数

00既不是正数也不是负数，0的相反数还是0,绝对值还是0

绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，用“『’来表示。四旬或丘6］表示数轴上

表示a的点和表示b的点的距离。

绝对值在数学中，绝对值或模数恸的非负值，而不考虑其符号，即|x|=x表示正x,|x|=-x表示负X

（在这种情况下-x为正），|0|=0。

例如，3的绝对值为3,-3的绝对值也为3。数字的绝对值可以被认为是与零的距离。

相反数是一个数学术语，指绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数。相反数的性质

是他们的绝对值相同。

相反数例如：-2与+2互为相反数。用字母表示a与-a是相反数，0的相反数是0。这里a便是任

意一个数，可以是正数、负数，也可以是0。

a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-（a+b）；

倒数是指设一个数X与其相乘的积为1的数，记为，除了。以外的数都存在倒数，分子

倒数X

和分母相倒并且两个乘积是1的数互为倒数，。没有倒数。

有理数比较大小有三种情况：

比较大小①正数与正数比较大小：这一类是我们小学学过了，不在赘述；

②正数与负数比较大小：任意一个正数大于任意一个负数；

③负数与负数比较大小：负数与负数比较大小，绝对值大的反而小，绝对值小的反而大；

例如：-这一类也是错误较多类型；

24

用一条规定了原点、正方向和单位长度的直线来表示有理数，规定右边为正方向。数轴上

的数有以下几个特点：

①正数在原点右边，负数在原点左侧；

②在数轴上任意两个有理数，只要确定了位置，右边数减去左边的数一定大于零；左边的

数轴

数减去右边的数小于零；

【例】在数轴上点A代表a,点B代表b,那么

@a-b<0；②b-a>0；③|a-b|=b-a；(4)b-a=b-a；

AB

具有相反意义的量必须满足两个条件：

①：他们是同一属性的量如上升9米与向东运动了7米,表示的运动方式不同，所以不是同

一属性.

相反意义②：他们的意义相反如收入与支出，零上与零下，向东与向西，存入与支出，上升与下降，增加与

的量减少，运进与运出，盈利与亏损等都表示相反的意义.

相反意义的量只要求是同一属性的具有相反意义的量而对于量的大小不做要求,如上升9

米与下降3米是相反意义的量,而上升9米与下降7米也是一对相反意义的量，也就是说，具

有相反意义的量有无数多个.

定义

把一个数表示成a、的形式，其中：三a<10,门是整数

确定

n①当原数绝对值之10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1或者原数变

为a时小数点向左移动的位数。

②当原数的绝对值在0-1之间时，n为负整数，n的绝对值等于原数左起第一个

科学记数法

非零数前所有零的个数(包括小数点前的零)，或者原数变为a时小数点向右

移动的位数。

小技巧熟记常用的计数单位：1千=91万」吟1亿」吟

lmm=1°7n1眄,°—叫lnm=10°m

有理数1、同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。

有理数的计算加法2、异号两数相加，若绝对值相等则互为相反数的两数和为0；若绝对值不相等，

取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

3、互为相反数的两数相加得0。

4、一个数同。相加仍得这个数。

5、互为相反数的两个数，可以先相加。

6、符号相同的数可以先相加。

7、分母相同的数可以先相加。

8、几个数相加能得整数的可以先相加。

有理数减去一个数，等于加上这个数的相反数，即把有理数的减法利用数的相反数变

减法成加法进行运算。

乘法运算

1、同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

2、任何数与零相乘，都得零。

有理数

3、几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数

乘法

个时，积为负，当负因数有偶数个时，积为正。

4、几个数相乘，有一个因数为零，积就为零。

5、几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后后把绝对值相乘。

1、除以一个不等于零的数，等于乘这个数的倒数。

2、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以任意一个不等

于零的数，都得零。

注意：

有理数

零不能做除数和分母。

除法

有理数的除法与乘法是互逆运算。

在做除法运算时，根据同号得正，异号得负的法则先确定符号，再把绝对值相

除。若在算式中带有带分数，一般先化成假分数进行计算。若不能整除，则除

法运算都转化为乘法运算。

正整数

有理数：有理数是整数

整数零

实数按定义分（正整数、0、负整数）

负整数有限小数或无限循环小数

类和分数的统称，是整数和

正分数

分数的集合。

分数

负分数

无理数：也称为无限不循

正无理数

环小数，不能写作两整数

之比。若将它写成小数形无限不循环小数

式，小数点之后的数字有负无理数

无限多个,并且不会循环。

正整数

正有理数

正实数正分数

正无理数

实数按性质分

零

类

负整数

负有理数

负实数负分数

负无理数

实数和有理数一样，可进行加、减、乘、除、乘方、开方运算；

实数运算

有理数范围内的运算律、运算法则在实数范围内仍适用.

士重点考向

A考向一正负数与具有相反意义的量

1.（2023•南充）如果向东走10加记作+10加，那么向西走8加记作（）

A.-10mB.+10mC.-8mD.+8m

2.（2023•吉林）月球表面的白天平均温度零上126。（3记作+126。（2,夜间平均温度零下15（TC应记作（）

A.+150℃B.-150℃C.+276℃D.-276℃

3.（2023•江西）下列各数中，正整数是（)

A.3B.2.1C.0D.-2

A考向二相反数、倒数、绝对值

更抻更旧

勿f曰勿/比

（1）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（重点）

（2）任何有理数都可以用数轴上的点表示，有理数与数轴上的点是一一对应的。

（3）数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数.

4.（2023•自贡）如图，数轴上点/表示的数是2023,OA=OB,则点3表示的数是（）

BOA

02023

A.2023B.-2023c1D.1

■20232023

」一的相反数是（

5.（2023•张家界）)

2023

A1B-1C.2023D.-2023

20232023

6.(2023•随州)-2023的绝对值是（)

A.2023B.-2023c1D._1

20232023

7.（2023•台湾）（新情境）业者贩售含咖啡因饮料时通常会以红、黄、绿三色来表示每杯饮料的咖啡因含

量，各颜色的意义如表（一）所示.

表（一）

咖啡因含量标示咖啡因含量

红色超过200毫克

黄色超过100毫克，但不超过200毫克

绿色不超过100毫克

表（二）

容量咖啡因含量标示

中杯360毫升黄色

大杯480毫升红色

中国建议每位成人一日的咖啡因摄取量不超过300毫克，欧盟则建议一日不超过400毫克.表（二）为

某商店美式咖啡的容量及咖啡因含量标示，已知该店美式咖啡每毫升的咖啡因含量相同，判断一位成人

一日喝2杯该店中杯的美式咖啡，其中咖啡因摄取量是否符合我国或欧盟的建议（）

A.符合中国也符合欧盟

B.不符合中国也不符合欧盟

C.符合中国，不符合欧盟

D.不符合中国，符合欧盟

A考向三有理数的加减运算

廨版技再身福易混……

规则：运用减法法则将加减混合运算统一为加法进行运算

步骤：（1）减法化加法；

（2）省略括号和加号；

（3）运用加法运算律使计算简便；

（4）运用有理数加法法则进行计算。

注：运用加法运算律时，可按如下几点进行：

（1）同号的先结合；

（2）同分母的分数或者比较容易通分的分数相结合；

（3）互为相反数的两数相结合；

（4）能凑成整数的两数相结合；

（5）带分数一般化为假分数或者分为整数和分数两部分，再分别相加

81一（-20行•瀛丽）一如囱「在教轴王百丁袤示的薮天一3一的函息一，—-j―

A

>

-2-1012

A.-1B.0C.1D.2

9.（2023•绍兴）计算2-3的结果是（）

A.-1B.-3C.1D.3

10.（2023•滨州）计算2-|-3|的结果为_-1.

A考向四有理数的混合运算

廨题技f弓一

多个有理数相乘的法则及规律：

（1）几个不是o的数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数；

负因数的个数是偶数时，积是正数。

确定符号后，把各个因数的绝对值相乘。

（2）几个数相乘，有一个因数为0,积为0；反之，如果积为0,那么至少有一个因数是0.

注：带分数与分数相乘时，通常把带分数化成假分数，再与分数相乘

11.（2023•台湾）有多少个正整数是18的倍数，同时也是216的因数（）

A.2B.6C.10D.12

12.（2023•西藏）已知〃，6都是实数，若（a+2）2+\b-1|=0,则（a+b）2。23的值是（）

A.-2023B.-1C.1D.2023

有下列四个算式：①（）（）；②（）；③（）（

13.（2023•营口）-5++3=-8--23=6+$+-A

66

2；④-3+（-工）=9,其中，正确的有（）

33

A.0个B.1个C.2个D.3个

14.（2023•广西）计算：（-1）x（-4）+22+（7-5）.

A考向五科学记数法和有效数字

15.（2023•青岛）中欧班列是共建“一带一路”的旗舰项目和明星品牌，是亚欧各国深化务实合作的重要载

体.中欧班列“青岛号”自胶州开往哈萨克斯坦，全程7900公里.将7900用科学记数法表示为（）

A.0.79x103B.7.9x102c.7.9xl03D.79x102

16.（2023•泰州）溶度积是化学中沉淀的溶解平衡常数.常温下CaCO3的溶度积约为00000000028,将数

据0.0000000028用科学记数法表示为.

17.（2023•东营）我国古代数学家祖冲之推算出兀的近似值为里它与兀的误差小于0.0000003.0.0000003

113

用科学记数法表示为.

A考向六平方根与立方根

18.（2023•淄博）若实数加，〃分别满足下列条件：

⑴2-1）2-7=-5；

（2）n-3>0.

试判断点P（2加-3,迎我）所在的象限.

2

5

19.（2023•云南）按一定规律排列的单项式0,近3MpFa"75a,•••>第〃个单项式是

A.VnB.[n-in1n1

aCVna"D.a

20.（2023•大连）下列计算正确的是（）

A.（V2）°=V2B-病=9

C.V8=4'/2D.V3（V3-V2）=3-V6

A考向七实数的相关性质与运算

21.（2023・淮安）实数°、6在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（）

ab

11.1111.1A

-3-2-10123

A.a<-2B.b<2C.a>bD.-a<b

22.（2023•徐州）如图，数轴上点/、B、。、。分别对应实数Q、b、c、d,下列各式的值最小的是（）

ABCD-

ab0cd

A.\a\B.\b\C・|c|D.\d\

23.（2023•青海）写出一个比-'历大且比加小的整数.

24.（2023•怀化）定义新运算：（a,b）•（c,d）=ac+bd,其中a,b,c,4为实数.例如：（1,2）•

(3,4)=1x3+2x4=11.如果(2x,3)•(3,-1)=3,那么x=

1.（2023•杭州）已知数轴上的点/,8分别表示数a,b,其中-l<a<0,0</?<l.若axb=c,数c在

数轴上用点C表示，则点B,C在数轴上的位置可能是（)

ABCACB

1、

A.—101B.—101

CAB

c.-io1D.一101

2.（2023•苏州）有理数2的相反数是（)

3

A.工B.3c.-3D.±—

3223

3.（2023•盘锦）1-3|的倒数是（）

A.-3B.」C.3D.-1

33

4.（2023•湘潭）已知实数a,6满足（a-2)2+|Z)+l=0,贝!!—

5.（2023•常德）下面算法正确的是（)

A.(-5)+9=-(9-5)B.7-(-10)=7-10

C.(-5)xo=-5D.(-8)+(-4)=8+4

6.（2023•随州）计算：（-2）2+（-2）x2=.

7.（2023•天津）据2023年5月21日《天津日报》报道，在天津举办的第七届世界智能大会通过“百网同

播、万人同屏、亿人同观”，全球网友得以共享高端思想盛宴，总浏览量达到935000000人次，将数据

935000000用科学记数法表示应为（）

A.0.935x109B.9.35x108c.93.5x107D.935xl0678

8.（2023•烟台）如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：

①亚©回⑷m按键的结果为生

②⑷田卬巳EDD因巨I㈢按键的结果为8；

③画□⑷巨巨ICE㈢按键的结果为0.5；

④（n（3j0h瓯©m区］©回目按键的结果为25.

以上说法正确的序号是

g

嚣Q。

a

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c

o

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0

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❶

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❶

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）实

•淄博

（2023

9.

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（

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无理

中，

3.14

A,

%，

1,

实数-

）在

•荆州

（2023

10.

2

14

D.3.

C.工

3

B.V

-1

A.

2

）

（

数是

，负

个数中

，2四

-愿

1,

0,-

）在

•雅安

（2023

11.

D.2

-73

C.

工

B.

A.0

2

）

的是（

有理数

，为

数中

列各

州）下

•凉山

（2023

12.

3...

3222

.2322

B.3

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A.

2

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