人教版八年级数学上册整式的乘法和因式分解《乘法公式（第1课时）》示范教学设计

乘法公式（第1课时）教学目标1．经历探索平方差公式的过程，进一步发展符号意识和推理能力．2．会推导平方差公式，并能用公式进行简单的计算和推理．3．了解平方差公式的几何背景，发展几何直观．教学重点平方差公式的探索和应用．教学难点平方差公式的探索和应用．教学过程知识回顾1．am÷an＝（a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n）．即同底数幂相除，底数不变，指数相减．2．a0＝1（a≠0）．这就是说，任何不等于0的数的0次幂都等于1．3．一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．4．一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．5．判断0次幂成立的条件是底数不等于0，进而转化为求解不等式即可．6．同底数幂的除法，找准底数再运算只有两个幂的底数相同时，才能运用此运算法则；如果底数是一个多项式，可以把这个多项式看成一个整体．7．依次计算不漏项，符号变化记心间将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式时，应注意逐项计算，不要漏项；并且要注意符号的变化，最后的结果按某一字母升幂或降幂的顺序排列．新知探究一、探究学习【问题】之前我们学习了整式的乘法，知道了多项式与多项式相乘的运算法则．根据所学知识计算下列多项式的积，你能发现什么规律？（1）＝_____；（2）＝______；（3）＝______．【师生活动】学生作答，教师给出正确答案．【答案】（1）；（2）；（3）．【设计意图】通过运用多项式与多项式相乘的运算法则得到结果，为下文探索平方差公式做铺垫．【问题】上述问题中，相乘的两个多项式有什么共同点？【师生活动】教师引导，学生作答，然后教师给出正确答案．【答案】都是形如a＋b的多项式与形如a－b的多项式相乘．【问题】等式左边相乘的两个多项式的各项与右边多项式中的各项有什么关系？你能将发现的规律用式子表示出来吗？【师生活动】教师引导，学生作答，然后教师给出正确答案．【答案】【设计意图】通过一步步追问，让学生思考并回答问题，逐渐推出平方差公式，锻炼学生的总结归纳和推理能力．【问题】你能对发现的规律进行推导吗？【师生活动】教师引导，学生作答，教师给出正确答案，然后进行归纳．【答案】【归纳】对于具有与此式相同形式的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果．【新知】两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做（乘法的）平方差公式．平方差公式中的a，b可以表示任意的代数式．【设计意图】通过运用多项式乘多项式的运算法则推导得出平方差公式，讲解平方差公式的定义和特点，让学生理解和掌握平方差公式．【问题】你能根据下面图形的面积说明平方差公式吗？【师生活动】教师让学生代表依次表示图形变换前后图形①和②的面积和，然后根据面积相等得到平方差公式．【答案】改变前：S①＋②＝(a＋b)(a－b)；改变后：S①＋②＝a2－b2；所以(a＋b)(a－b)＝a2－b2．【设计意图】通过图形变换前后图形①和②的面积和相等，让学生了解平方差公式的几何背景，发展几何直观．【问题】观察下列动图，验证平方差公式．【师生活动】学生观察并说出自己的疑问和理解，教师适当给出解释．【设计意图】运用几何图形验证平方差公式，让学生体会数形结合思想．【问题】计算下列各组算式，并观察它们的共同特点．7×9＝_____；11×13＝_____；79×81＝_____；8×8＝_____；12×12＝_____；80×80＝_____．【师生活动】学生作答，教师给出正确答案．【答案】63；143；6399；64；144；6400．特点：；；．【设计意图】通过由简到难的运算，让学生观察归纳出简化运算的技巧，认识到平方差公式在简化运算中的作用．【问题】计算下列各组算式，并观察它们的共同特点．6×10＝_____；9×15＝_____；76×84＝_____；8×8＝______；12×12＝____；80×80＝_____．【师生活动】学生作答，教师给出正确答案．【答案】60；135；6384；64；144；6400．特点：；；．【设计意图】提高难度，让学生观察归纳出简化运算的技巧，认识到平方差公式在简化运算中的作用．【问题】你能口算出18×22的值吗？【师生活动】学生作答，教师给出正确答案并进行归纳．【答案】18×22＝396．【归纳】利用平方差公式，可以使一些计算变得简单．【设计意图】让学生意识到，在运算过程中可以灵活运用公式，简化运算步骤．二、典例精讲【例1】计算：（1）(3x＋2)(3x－2)； （2）(－x＋2y)(－x－2y)．【答案】解：（1）(3x＋2)(3x－2)＝(3x)2－22＝9x2－4；（2）(－x＋2y)(－x－2y)＝(－x)2－(2y)2＝x2－4y2．【注意】在运算时，一定要分清楚哪个是相同项，哪个是相反项，并不是带负号的就是相反项．【设计意图】检验学生对平方差公式的理解和掌握情况．【例2】计算：（1）(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5)； （2）102×98．【答案】解：（1）(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5)＝y2－22－(y2＋4y－5)＝y2－4－y2－4y＋5＝－4y＋1；（2）102×98＝(100＋2)(100－2)＝1002－22＝10000－4＝9996．【注意】只有符合公式条件的乘法，才能运用公式简化运算，其余的运算仍按乘法法则进行．【设计意图】检验学生有无灵活运用平方差公式简化运算的意识．【例3】先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2．【答案】解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2．当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15．【设计意图】通过让学生解决涉及平方差公式的化