导数的概念及其几何意义第二课时教学设计 高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

普通高中新课程新教材优质课评选第五章一元函数的导数及其应用第一单元导数的概念及其意义单元分讲2：导数的概念及其几何意义第二课时导数的几何意义（人民教育出版社选择性必修第二册）教学设计一.教学内容解析（一）内容结构图1.章内容结构图第五章 一元函数的导数及其应用★第一单元第二单元第三单元导数在研导数的概念导数的运究函数中及其意义算的应用2.单元内容结构图★第一单元导数的概念及其意义（共4课时）分讲1（2课时）分讲2（第1课分讲2（第2课章引言与时）时）两个变化率问题导数的概念导数的几何意义（二）教学内容解析1.本章内容解析本章内容——导数及其应用是众多知识的交汇，是研究函数性质，解决不等式、数列、几何等相关问题的重要工具.为了描述现实世界中的运动变化现象，在数学中引入了函数.在对函数的深入研究中，数学家创立了微积分，这是具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑.微积分的创立与处理四类科学问题直接相关：一是已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度，反之，已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程；二是求曲线的切线；三是求函数的最大值与最小值；四是求长度、面积、体积和重心等.导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；它定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等性质的基本方法.因而也是解决诸如增长率、膨胀率、效率、密度、加速度等实际问题的基本工具.2.本单元内容解析在本单元——导数的概念及其意义中，学生将通过实际情境，经历用平均变化率和瞬时变化率刻画实例的过程，感受数学的极限思想，抽象生成导数的概念，并通过函数图像直观感受导数的几何意义，感受“以直代曲”的极限思想.能够用导数的概念解释生活中的现象，体会用导数的知识研究函数的思想方法.通过具体实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的意义.本单元设计了两个分讲，共计4课时，分别是章引言与两个变化率问题（2课时），导数的概念及其几何意义（2课时）.课时内容解析本课时内容选自人教社A版选择性必修二第五章一元函数的导数及其应用中第一单元导数的概念及其意义中的单元分讲2——导数的概念及其几何意义第2课时.本课时内容是在学生已经学习了分讲1——章引言和两个变化率问题，即：已经研究了物理学中的平均速度和瞬时速度，几何学中的割线斜率和切线斜率的基础上，通过数学抽象，生成导数的概念及其表达.从“数”的角度理解导数概念的本质就是瞬时变化率后,再从“形”的角度，类比分讲1中曲线f(x)=x2在点（1,1）处的切线的斜率就是函数f(x)=x2在x=1处的导数的几何意义，借助信息技术，抽象生成一般曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线定义.进一步抽象生成一般曲线y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义.通过信息技术，直观感受“以直代曲”的极限思想，感受“数”与“形”的相辅相成.用导数的几何意义解决运动员“高台跳水”不同时刻的变化情况，以及血管中药物浓度的瞬时变化率问题，感受数学源于生活，用于生活的价值.培养学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界，提升分析问题、解决问题的能力，提升直观想象素养.基于以上分析，确定本课时的教学重点：对导数的几何意义的探究，直观感受导数的几何意义，体会“以直代曲”的极限思想，及其在数学、实际问题中的应用.二.教学目标设置（一）本章教学目标1.通过实例分析，经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想，体会极限思想.通过函数图像直观理解导数的几何意义，体会“以直代曲”的极限思想.2.能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=1x,y=x的导数.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数（限于形如f(ax+b)）的导数.3.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间.借助函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值；体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系.4.知道微积分创立过程，以及微积分对数学发展的作用.提升数学抽象、数学运算、直观想象、数学建模和逻辑推理的核心素养.（二）本单元教学目标1.了解微积分的创立背景，感受引入导数的必要性.经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，理解导数的本质就是瞬时变化率，体会极限思想.经历由形到数的关系，理解导数的几何意义，体会“以直代曲”的思想.2.经历抽象概括不同领域变化率问题的数学共性，体会微积分的重要思想——用运动变化的观点解决问题.经历探究具体实例和知识的形成过程，感受导数在研究函数和解决问题中的作用，体会导数的意义.3.经历提出问题——分析问题——解决问题的过程，体会从特殊到一般、从具体到抽象的研究方法的一般性和有效性.发展学生观察、类比、概括的数学能力,提升学生数学抽象、直观想象、逻辑推理的数学核心素养.4.经历从实际情境抽象出数学概念，培养学生敢于质疑、勇于探索的学习习惯，激发学生的学习兴趣与求知欲，让学生感受数学源于生活，用于生活.引导学生会用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界，让学生体验成功，提高课堂参与度与成就感.（三）课时教学目标(1)通过函数图象直观理解导数的几何意义；(2)通过经历导数几何意义的抽象概括过程，体会数形结合、以直代曲、极限思想；(3)会应用导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程.达成上述目标的标志：(1)通过研究从曲线的割线过渡到切线，从割线斜率过渡到切线斜率的过程，得到导数的几何意义；(2)利用信息技术演示P0P的动态变化效果，体会数形结合、以直代曲、极限思想；(3)给定一个具体函数上某个已知点P(x0,y0），会应用导数的概念得到f'(x0)，进一步用导数的几何意义得到该点处的切线方程.三.课时教学问题诊断分析1.已具备的认知基础从知识储备上看，学生通过了对实例的分析，经历了由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解了导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，从数上体会了“逼近”的思想；同时，学生已经学习了直线的斜率与直线方程的相关知识.从学习能力上看，教学对象是高二理科班的学生，思维活跃，具有一定的想象能力和研究问题的能力.经过半年多的训练，学生逐步形成小组合作探究，代表上台解释概括总结的学习模式.2.可能存在的认知困难在研究导数的几何意义与一般曲线在某一点处的切线定义时，要引导学生通过类比上一分讲中特殊的函数和特殊的曲线的探究方式，进行抽象概括.需要运用微积分中的重要思想——运动变化的观点解决问题.这是突破了学生的“惯性思维”.因此，探究导数的几何意义与一般曲线的切线定义是本节课的难点.基于以上分析，本节课的教学难点确定为：用运动变化、极限的观点理解导数的几何意义..突破难点的关键：问题链引导教学及应用信息技术辅助教学.四.教学策略分析1.教法分析结合本课时的内容特点和学情分析，采用PBL（Problem-basedLearning）的教学模式，即：基于问题链的教学模式.本课时以提升学生的直观想象核心素养为根本出发点，以直观感受导数的几何意义为明线，以感受“用运动变化的观点研究问题”、感受“以直代曲”的极限思想、体会“类比概括”、“数形结合”的研究方法为暗线，用导数的几何意义研究“高台跳水运动员的瞬时变化率”和“血管中血液浓度的瞬时变化率”作为课堂反馈，以完成《课堂目标检测》与搜集微积分对人类的主要贡献作为课堂的延伸和拓展，充分体现数学发展过程中的新旧知识的结合，理论与实际的结合，为学生指引学习的方向，使课堂摆脱知识的束缚，成为学生学习能力成长的发源地.2.学法分析学生采取小组合作探究的学习模式.在课堂教学中鼓励学生独立思考、敢于质疑，通过小组合作、交流分享，突破难点，提升学生的合作探究意识，提高分析问题、解决问题的能力.在课堂教学中始终以学生为核心，教师组织、适时引导，有效地提升学生的课堂参与度，使学生在开放的活动中获取直接的数学经验.学生经历思考、观察、分析、实践、归纳的认知过程，深刻体会知识的形成过程，提升知识迁移、解决问题的能力.3.教学支持条件本节课通过PPT演示的方式为学生导入情境.在课堂教学中，教师为学生精心设计了学习任务单，提升学生的学习效率，直观呈现出本节课的重点和知识的形成过程.在教学中教师应用GGB软件动态演示“逼近”与“放大”，巧妙突破难点.应用“畅言智慧课堂”软件，实时地展示学生的探究过程和结果，充分发挥生生互评、师生互评的评价效能，引发学生更加深入的思考，加深对新知的理解与应用.五.教学过程设计本节课设计了六个教学环节，逐步达成教学目标，完成教学任务.探究新知深化新知温故知新学以致用建构概念总结升华，布置分层作业温故知新教师引言：上节课，我们从搜集的变化率实例及两个问题情境的共性出发，抽象概括出导数的概念，请同学们回顾:我们从“数”的角度研究了导数，现在我们想从“形”的角度来研究导数，即导数的几何意义——引出课题.【设计意图】由旧知引出问题，既复习了旧知，又启发学生思考，引出本节课课题.回顾问题情境2，抛物线f(x）=x2在点（1,1）处的切线斜率就是函数f(x）=x2在x1处的导数f'(1)，这就是导数f'(1)的几何意义.请类比探究，一般曲线y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)的几何意义?2.探索新知教师引言：导数是平均变化率的极限，不妨先来探究平均变化率的几何意义？学情预设：平均变化率的几何意义是割线P0P的斜率.【设计意图】从平均变化率的几何意义入手，为探索导数的几何意义奠定基础.教师引言：当∆x变化，点P在变化，割线P0P以及切线随之变化，接下来借助信息技术探究这个变化过程.【设计意图】让学生在获得直观感知的基础上，通过合作探索，亲身经历一般曲线切线的发生、发展过程，上升理性思维，形成切线定义，体会“逼近”思想.3.深化新知追问1：初中时，我们怎样定义圆的切线？追问2：圆的切线定义适合于任意曲线吗？活动1：小组合作列举必修一中基本初等函数的图象，探究圆的切线定义是否适合以上函数曲线？追问3：今天对切线的定义符合初中圆的切线定义吗？多媒体演示【动画2】：演示点P从右边沿着圆逼近点P0,然后再从左边沿着圆逼近点P0,，即∆x→0，割线P0P的变化趋势.【设计意图】：带着问题观察动画，借助熟悉的圆中的某点处的割线和切线，学生更易感知当∆x→0，割线的变化趋势.问题5：你能发现导数的几何意义吗？活动2：小组讨论利用导数的几何意义能帮助我们解决哪些函数问题？以 f(x）=x2为例.【设计意图】：体会导数的几何意义，抓住求导数的点与切点的联系.教师引言：下面，老师展示图片，请同学们观察在点P0处哪条直线最接近P0点附近的曲线？老师借助信息技术将图像放大，你能否发现P0点处的切线与曲线的位置关系？【师生活动】教师引导学生直观感受P0点处的切线最接近P0点附近的曲线.感受当图像逐渐放大时，P0点处的切线越来越贴近P0点附近的曲线，感受“以直代曲”的极限思想.教师用GGB演示“割线逼近切线”，并将图像不断放大，学生观察、思考、回答.教师小结提升.放大 放大【设计意图】GGB动态演示，能够让学生直观感受“以直代曲”的必要，巧妙突破难点.引导学生再次感受极限思想，体会微积分的重要思想——以直代曲.4.学以致用例4.如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像.h根据图像，描述运动员在t=t0，t1，t2附近的变化情况.活动3：小组合作根据图像，请描述、比较曲线h(t)在=t0，t1，t2附近的变化情况Ot1t t t【师生互动】教师着重引导学生用导数的几何意义研究问题.“曲线”描述的是运动员的高度变化，要描述运动员的瞬时变化率可以应用函数的导数,而导数的几何意义就是切线斜率.因此，应用“切线斜率”研究“曲线变化”是十分必要的，让学生感悟“以直代曲”的意义.引导学生感知：因为可以“局部以直代曲”，所以可以用切线的上升、下降近似替代曲线的上升、下降.而切线的上升、下降可以用斜率反映.引导学生应用切线的斜率解释运动员的瞬时变化率.体会“数”与“形”的结合，深刻体会导数几何意义的应用价值.教师提问，学生独立思考、作答在学习任务单，教师将学生答案同屏在大屏幕上分享.【设计意图】学以致用，应用导数的几何意义解释情境中的瞬时变化率问题.体会导数的几何意义就是切线斜率，感受“以直代曲”重要思想的应用价值.将“高台跳水”情境贯穿本单元、本课时教学，让学生感知数学源于生活、用于生活.既可以从“数”的角度解释瞬时变化率，也可以从“形”的角度解释瞬时变化率.深化对导数几何意义的理解.通过切线斜率的正、负、零，为下个单元分讲——用导数研究函数的性质埋下伏笔，使学生的思维延伸到课堂之外.例5：图5.1-7表示人体血管中的药物浓度c=f(t)（单位：mg/mL）随时间t（单位：min）变化的函数图像，根据图像，估计t=0.2,0.4,0.6,0.8min时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1).追问1：血管中药物浓度的瞬时变化率与函数的图象有什么关系？追问2：如何计算这条切线的斜率？5活动4：小组合作利用网格估t=0.2,0.4,0.6min时，血管中药物浓