空间直角坐标系同步练习 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

课时精练6空间直角坐标系一、基础巩固选择题每小题5分，共25分1.点A(－2，3，－4)关于坐标平面Oxz对称点A′的坐标为()(－2，－3，－4) (2，－3，4)(－2，－3，4) (2，3，－4)2.已知i，j，k分别是空间直角坐标系Oxyz中x轴、y轴、z轴的正方向上的单位向量，且eq\o(OB,\s\up6(→))＝－i＋j－k，则点B的坐标是()(－1，1，－1) (－i，j，－k)(1，－1，－1) 不确定3.如图，在长方体OABC－O1A1B1C1中，OA＝3，OC＝5，OO1＝4，点P是B1C1的中点，则点P的坐标为()(3，5，4) eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3，4))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，5，4)) eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(3,2)，2))4.已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝8a＋6b＋4c，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，则点A的坐标为()(12，14，10) (10，12，14)(14，10，12) (4，2，3)5.已知点B的坐标是(－1，2，1)，则|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝()eq\r(6) 6 eq\r(5) 56.在空间直角坐标系中，已知点P(1，eq\r(2)，eq\r(3))，过点P作平面Oyz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为________.7.已知三棱锥P－ABC中，∠ABC＝90°，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M，N分别是PC，AC的中点，建立如图所示的坐标系Bxyz，则向量eq\o(MN,\s\up6(→))的坐标为________.8.已知点A的坐标为(－1，3，0)，点B的坐标为(0，1，1)，则cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))〉＝________.9.(10分)已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为2的正方体，E，F分别为BB1和DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出eq\o(DB1,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))的坐标.10.(10分)如图所示，过正方形ABCD的中心O作OP⊥平面ABCD，已知正方形的边长为2，OP＝2，连接AP，BP，CP，DP，M，N分别是AB，BC的中点，以O为原点，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\o(OM,\s\up6(→))，\o(ON,\s\up6(→))，\f(1,2)\o(OP,\s\up6(→))))为单位正交基底建立空间直角坐标系.若E，F分别为PA，PB的中点，求点A，B，C，D，E，F的坐标.二、综合运用选择题每小题5分，共10分11.若p＝xa＋yb＋zc，则称(x，y，z)为p在基底{a，b，c}下的坐标.若一向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(1，2，3)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为()eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)，3)) eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(1,2)，3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－\f(1,2)，\f(3,2))) eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2)，3))12.(多选)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴、建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是()点B1的坐标为(4，5，3)点C1关于点B对称的点为(5，8，－3)点A关于直线BD1对称的点为(0，5，3)点C关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0)13.(15分)已知PA垂直于正方形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AD＝1，试建立适当的空间直角坐标系并写出向量eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))的坐标.三、创新拓展14.(15分)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，DE⊥AC，垂足为E，求点E的坐标.参考答案1.A[点A的坐标中横、竖坐标不变，纵坐标变为原来的相反数即得A′的坐标为(－2，－3，－4).]2.A[由空间直角坐标系中点的坐标的定义可知点B的坐标为(－1，1，－1).]3.C[由题图知，点P在x轴、y轴、z轴上的射影分别为P1，P2，P3，它们在坐标轴上的坐标分别是eq\f(3,2)，5，4，故点P的坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，5，4)).]4.A[eq\o(OA,\s\up6(→))＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k＝(12，14，10).]5.A[由B点坐标是(－1，2，1)，得eq\o(OB,\s\up6(→))＝－i＋2j＋k，故|eq\o(OB,\s\up6(→))|2＝1＋4＋1＝6，故|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(6).]6.(0，eq\r(2)，eq\r(3))[由于垂足在平面Oyz上，所以纵坐标、竖坐标不变，横坐标为0.]7.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，－\f(1,2)))[eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(BP,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)i－eq\f(1,2)k＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，－\f(1,2))).]8.eq\f(3\r(5),10)[由题设知eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－1，3，0)＝－i＋3j，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(0，1，1)＝j＋k，故|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝eq\r(（－i＋3j）2)＝eq\r(10)，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(（j＋k）2)＝eq\r(2)，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－i＋3j)·(j＋k)＝3.所以cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))〉＝eq\f(3,\r(10)×\r(2))＝eq\f(3\r(5),10).]9.解eq\o(DB1,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝2i＋2j＋2k＝(2，2，2)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DD1,\s\up6(→))＝2i＋2j＋eq\f(1,2)×2k＝2i＋2j＋k＝(2，2，1)，eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)×2j＝j＝(0，1，0).10.解由题意知，点B的坐标为(1，1，0).由点A与点B关于x轴对称，得A(1，－1，0)，由点C与点B关于y轴对称，得C(－1，1，0)，由点D与点C关于x轴对称，得D(－1，－1，0).又P(0，0，2)，E为AP的中点，F为PB的中点，所以由中点坐标公式可得Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)，1))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，1)).11.B[设p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则p＝a＋2b＋3c＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x－y＝2，,z＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2)，,y＝－\f(1,2)，,z＝3，))故p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(1,2)，3)).]12.ACD[根据题意知，点B1的坐标为(4，5，3)，选项A正确；B的坐标为(4，5，0)，C1的坐标为(0，5，3)，故点C1关于点B对称的点为(8，5，－3)，选项B错误；在长方体中AD1＝BC1＝eq\r(AD2＋AAeq\o\al(2,1))＝5＝AB，所以四边形ABC1D1为正方形，AC1与BD1垂直且平分，即点A关于直线BD1对称的点为C1(0，5，3)，选项C正确；点C关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0)，选项D正确.]13.解如图所示，因为PA＝AD＝AB＝1，且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，所以可设eq\o(DA,\s\up6(→))＝e1，eq\o(AB,\s\up6(→))＝e2，eq\o(AP,\s\up6(→))＝e3，以{e1，e2，e3}为基底建立空间直角坐标系Axyz.因为eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)e2＋e3＋eq\f(1,2)(－e3－e1＋e2)＝－eq\f(1,2)e1＋eq\f(1,2)e3，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝e2，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，\f(1,2)))，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(0，1，0).14.解如图，以点D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B1(2，4，2)，A(2，0，0)，C(0，4，0).设点E的坐标