空间中直线、平面的平行同步练习 高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

课时精练9空间中直线、平面的平行一、基础巩固选择题每小题5分，共25分1.已知平面α的一个法向量为(1，2，－2)，平面β的一个法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于()2 －4 4 －22.若直线l的一个方向向量为a＝(2，5，7)，平面α的一个法向量为u＝(1，1，－1)，则()l∥α或l⊂α l⊥αl⊂α l与α斜交3.在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是()垂直 平行异面 相交但不垂直4.已知两平行直线的方向向量分别为a＝(4－2m，m－1，m－1)，b＝(4，2－2m，2－2m)，则实数m的值为()1 31或3 以上答案都不正确5.如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝eq\f(\r(2),3)a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()相交 平行垂直 不能确定6.若两不重合平面α，β的法向量分别为u＝(2，－3，5)，ν＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2)，－\f(5,2)))，则α与β的位置关系是______.7.已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，3，z)，向量v＝(3，－2，1)与平面α平行，则z＝________.8.设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n＝(2，2，4)，若a＝(1，1，2)，则直线l与平面α的位置关系为________；若a＝(－1，－1，1)，则直线l与平面α的位置关系为________.9.(10分)如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，点M，N分别是面对角线A′B与面对角线A′C′的中点.求证：MN∥侧面AD′；MN∥AD′，并且MN＝eq\f(1,2)AD′.10.(10分)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点.证明：EF∥平面SAD.二、综合运用选择题每小题5分，共5分11.(多选)在如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱BB1，AD，AA1的中点，则下列说法错误的是()D1F⊥B1CFG∥D1EFG⊥平面AD1EBF∥平面AD1E12.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，P是DD1的中点，则OP与BD1的位置关系是________________.13.(15分)如图所示，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝eq\f(1,2)AP＝2，D是AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD.试用向量方法证明AP∥平面EFG.三、创新拓展14.(15分)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?参考答案1.C[因为α∥β，所以eq\f(－2,1)＝eq\f(－4,2)＝eq\f(k,－2)，所以k＝4.]2.A[由条件知a·u＝2×1＋5×1＋7×(－1)＝0，所以a⊥u，故l∥α或l⊂α.故选A.]3.B[由题意得，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，－3，3)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(1，1，－1)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝－3eq\o(CD,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))共线，又AB与CD没有公共点，∴AB∥CD.]4.C[由题意知a∥b.因为b＝(4，2－2m，2－2m)≠0，所以“a∥b的充要条件是a＝λb”，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－2m＝4λ，,m－1＝λ（2－2m），,m－1＝λ（2－2m），))显然m＝1符合题意，当m≠1时，由m－1＝λ(2－2m)，得λ＝－eq\f(1,2)，代入4－2m＝4λ，得m＝3.综上，m的值为1或3.]5.B[如图，分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.因为A1M＝AN＝eq\f(\r(2),3)a，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(2,3)a，\f(a,3)))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a，\f(2,3)a，a))，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,3)，0，\f(2,3)a)).又C1(0，0，0)，D1(0，a，0)，所以eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝(0，a，0)，所以eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(MN,\s\up6(→))⊥eq\o(C1D1,\s\up6(→)).因为C1D1是平面BB1C1C的一个法向量，且MN⊄平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.]6.平行[∵u＝－2ν，∴α与β平行.]7.3[∵l⊥α，v∥α，∴u⊥v.∴(1，3，z)·(3，－2，1)＝0，即3－6＋z＝0，z＝3.]8.l⊥αl∥α或l⊂α[当a＝(1，1，2)时，a＝eq\f(1,2)n，则l⊥α；当a＝(－1，－1，1)时，a·n＝(－1，－1，1)·(2，2，4)＝0，则l∥α或l⊂α.]9.证明设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA′,\s\up6(→))＝c，则eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋c)，eq\o(AN,\s\up6(→))＝c＋eq\f(1,2)(a＋b)，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(b＋c)，即eq\o(MN,\s\up6(→))与b，c共面.因为MN不在平面AD′内，所以MN∥平面AD′.又因为b＋c＝eq\o(AD′,\s\up6(→))，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD′,\s\up6(→))，所以MN∥AD′，MN＝eq\f(1,2)AD′.10.证明如图所示，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz.设AB＝a，SD＝b，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，S(0，0，b)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(a,2)，0))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)，\f(b,2))).所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a，0，\f(b,2))).显然eq\o(DC,\s\up6(→))＝(0，a，0)为平面SAD的一个法向量.∵eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(EF,\s\up6(→))⊥eq\o(DC,\s\up6(→))，又EF⊄平面SAD，所以EF∥平面SAD.11.ABC[以D为原点，以eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))为方向向量建立空间直角坐标系Dxyz(图略)，设AD＝2，则有关点及向量的坐标为：A(2，0，0)，C(0，2，0)，E(2，2，1)，F(1，0，0)，G(2，0，1)，B1(2，2，2)，D1(0，0，2)，eq\o(D1F,\s\up6(→))＝(1，0，－2)，eq\o(B1C,\s\up6(→))＝(－2，0，－2)，eq\o(FG,\s\up6(→))＝(1，0，1)，eq\o(D1E,\s\up6(→))＝(2，2，－1)，eq\o(D1A,\s\up6(→))＝(2，0，－2).设平面AD1E的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(D1A,\s\up6(→))＝0，,n·\o(D1E,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－2z＝0，,2x＋2y－z＝0，))取x＝2，则z＝2，y＝－1，n＝(2，－1，2).eq\o(D1F,\s\up6(→))·eq\o(B1C,\s\up6(→))＝(1，0，－2)·(－2，0，－2)＝2≠0，故A不正确；因为eq\f(1,2)≠eq\f(0,2)，故FG∥D1E不成立，故B不正确；eq\o(FG,\s\up6(→))·eq\o(D1E,\s\up6(→))＝(1，0，1)·(2，2，－1)＝1≠0，故eq\o(FG,\s\up6(→))⊥平面AD1E不成立，故C不正确；eq\o(BF,\s\up6(→))·n＝(－1，－2，0)·(2，－1，2)＝0，又BF⊄平面AD1E，故BF∥平面AD1E，故D正确.故选ABC.]12.平行[如图所示，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1，则Oeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2)))，B(1，1，0)，D1(0，0，1).则eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,2)，\f(1,2)))，eq\o(BD1,\s\up6(→))＝(－1，－1，1)，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD1,\s\up6(→))，eq\o(OP,\s\up6(→))∥eq\o(BD1,\s\up6(→))，∴OP∥BD1.]13.证明如图，以D为原点，以eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DP,\s\up6(→))为方向向量建立空间直角坐标系Dxyz，则有关点及向量的坐标为：P(0，0，2)，C(0，2，0)，G(1，2，0)，E(0，1，1)，F(0，0，1)，A(2，0，0)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－2，0，2)，eq\o(EF,\s\up6(→))＝(0，－1，0)，eq\o(EG,\s\up6(→))＝(1，1，－1).设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(EF,\s\up6(→))＝0，,n·\o(EG,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－y＝0，,x＋y－z＝0，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝z，,y＝0.))令x＝1，则z＝1，∴n＝(1，0，1).∵n·eq\o(AP,\s\up6(→))＝1×(－2)＋0×0＋1×2＝0，∴n⊥eq\o(AP,\s\up6(→)).又AP⊄平面EFG，∴AP∥平面EFG.14.解如图所示，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，在CC1上任取一点Q，连接BQ，D1Q.设正方体的棱长为1，则Oeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2)))，A(1，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，则Q(0，1，m)(0≤m≤1).法一因为eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,2)，\f(1,2)))，eq\o(BD1,\s\up6(→))＝(－1，－1，1)，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD1,\s\up6(→))，所以eq\o(OP,\s\up6(→))∥eq\o(BD1,\s\up6(→))，于是OP∥BD1.eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0，\f(1,2)))，eq\o(BQ,\s\up6(→))＝(－1，0，m)，当m＝eq\f(1,2)时，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(BQ,\s\up6(→))，即AP∥BQ，有平面PAO∥平面D1BQ，故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.法二eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)，0))，eq