等比数列的前n项和公式 高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

1【解】由an＋1＝2an2，a1＝2可知an>0(n∈N*)，两边同时取以2为底的对数得log2an＋1＝log2(2an2)＝log22＋log2an2＝1＋2log2an.令bn＝log2an，则bn＋1＝2bn＋1.令bn＋1＋t＝2(bn＋t)，则bn＋1＝2bn＋t，则t＝1.∴bn＋1＋1＝2(bn＋1)，∴{bn＋1}为等比数列，且首项为b1＋1＝log2a1＋1＝2，公比为2，∴bn＋1＝2·2n－1＝2n，即bn＝2n－1，∴log2an＝2n－1，∴an＝.微专题

求数列通项公式的方法（3）构造法④对数型：anp＝man－1q(其中m，p，q为常数)

已知数列{an}的首项a1＝2，且满足an＋1＝2an2，求数列{an}的通项公式．2⑤倒数型：an＝(其中k，b为常数)[天津红桥区2019期中]已知正项数列{an}满足a1＝1，an＋1＝

，则a5的值为__________．微专题

求数列通项公式的方法（3）构造法【解析】由递推关系可得anan＋1＋2an＋1＝2an，即anan＋1＝2an－2an＋1，据此有

－

＝

，又

＝1，故数列

是首项为1，公差为

的等差数列，则

＝1＋×(5－1)＝3，故a5＝.4.3.2等比数列的前n项和公式

第一课时等比数列的前n项和公式1．掌握等比数列的前n项和公式及其应用．(重点)2．会用错位相减法求数列的和．(重点)3．能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题．学习目标情境导入国际象棋起源于古印度，相传国王要赏赐国际象棋的发明者，问问他想要什么？宰相开口说道：请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒，第三个格子上放4粒，第四个格子上放8粒……依次，每一个格子里都必须是前一个格子麦粒数目的两倍，直到最后一个格子第64格。“好吧！”国王哈哈大笑，慷慨地答应了宰相的这个谦卑的请求。这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢？问题1

若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，如何求该等比数列的前n项的和？提示思路一：因为Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an，则有，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1，乘q有，qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn，两式相减可得Sn－qSn＝a1－a1qn，上述等比数列求前n项和的方法,称为“错位相减法”.思路三：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋q(a1＋a2＋…＋an－1)，⇒Sn＝a1＋q(Sn－an)⇒(1－q)Sn＝a1－anq，已知量首项、公比与项数首项、公比与末项求和公式公式一Sn＝________________公式二Sn＝________________一、等比数列的前n项和公式

问题2

你能发现等比数列前n项和公式Sn的函数特征吗？1.当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝

，Sn是n的正比例函数.2.当公比q≠1时，设A＝

，等比数列的前n项和公式是Sn＝

.即Sn是n的指数型函数.注意点：等比数列前n项和公式的结构特点即qn的系数与常数项互为相反数.A(qn－1)na1试一试1.数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝3n＋1－2k，则实数k＝____.解析∵Sn＝3n＋1－2k＝3·3n－2k，且{an}为等比数列，已知量首项、公比与项数首项、公比与末项求和公式公式一Sn＝________________公式二Sn＝________________一、等比数列的前n项和公式

公式三例1

例1

错位相减法等差等比二、错位相减法

本课小结：本节课我们学习了：1.数列的前n项和公式；2.利用等比数列前n项和公式判断等比数列；3.错位相减法.问题2

同学们，现在你能帮国王算一下他需要付出多少颗麦粒吗？如果他无法实现他的诺言，你能帮他解决吗？

＝18446