方程求根问题探索讲义 高三数学一轮复习

中外历史上方程求根问题探索材料发散方向：1.求根公式（卡尔丹公式）2.伽罗瓦理论（群论）3.一类特殊的四次方程问题应用举例1．（多选题）群的概念由法国天才数学家伽罗瓦（1811-1832）在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学､晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.设是一个非空集合，“”是一个适用于中元素的运算，若同时满足以下四个条件，则称对“”构成一个群：（1）封闭性，即若，则存在唯一确定的，使得；（2）结合律成立，即对中任意元素都有；（3）单位元存在，即存在，对任意，满足，则称为单位元；（4）逆元存在，即任意，存在，使得，则称与互为逆元，记作.一般地，可简记作可简记作可简记作，以此类推.正八边形的中心为.以表示恒等变换，即不对正八边形作任何变换；以表示以点为中心，将正八边形逆时针旋转的旋转变换；以表示以所在直线为轴，将正八边形进行轴对称变换.定义运算“”表示复合变换，即表示将正八边形先进行变换再进行变换的变换.以形如，并规定的变换为元素，可组成集合，则对运算“”可构成群，称之为“正八边形的对称变换群”，记作.则以下关于及其元素的说法中，正确的有（

）A．，且B．与互为逆元C．中有无穷多个元素D．中至少存在三个不同的元素，它们的逆元都是其本身解析：我们有：由于两次轴对称等价与不变换，故；由于旋转施行8次等价于旋转也就是不变，故；由于先旋转再关于对称和先关于对称再旋转等效，故.一共是16个元素，变换后逆时针排列的有8个，顺时针排列的有8个.这就说明：，A正确；，B正确；一共是16个元素，C错误；中，，D正确.故选：ABD2．（多选题）群的概念由数学家伽罗瓦在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学、晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.设是一个非空集合，“”是一个适用于中元素的运算，若同时满足以下四个条件，则称对“”构成一个群：（1）封闭性，即若，，则存在唯一确定的，使得；（2）结合律成立，即对中任意元素，，都有；（3）单位元存在，即存在，对任意，满足，则称为单位元；（4）逆元存在，即任意，存在，使得，则称与互为逆元.根据以上信息，下列说法中错误的是（

）A．关于数的乘法构成群B．和均关于数的加法构成群C．关于数的乘法构成群D．平面向量集关于向量的数量积构成群解析：对于A，、，有，且满足（乘法结合律）；，使得，有；，，有，即关于数的乘法构成群，故A正确；对于B，若，即为所有偶数组成的集合，、，有，且满足（加法结合律），，使得，有；，，有，故关于数的加法构成群；若，设、，，则，且对满足，当时，，满足，，，使，故关于数的加法构成群，故B正确；对于C，因为，且，但，故C错误；对于D，设为平面向量集，、，但是为实数，即可，不满足封闭性故平面向量集关于向量的数量积不构成群，故D错误；故选：CD3．（多选题）群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中．有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“．”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：①对所有的a、，有；②、b、，有；③，使得，有，e称为单位元；④，，使，称a与b互为逆元．则称G关于“·”构成一个群．则下列说法正确的有（

）A．关于数的乘法构成群B．自然数集N关于数的加法构成群C．实数集R关于数的乘法构成群D．关于数的加法构成群解析：对于A选项，对所有的、，有，且满足①乘法结合律；②，使得，有；③，，有，故A正确；对于B选项，①自然数满足加法结合律；②，使得，有；但是对于，，不存在，使，故B错误；对于C选项，对所有的、，有，①实数满足加法结合律；②，使得，有；但对于，，不存在，使，故C错误；对于D选项，对所有的、，可设，，，，，，则，①满足加法结合律，即、、，有；②，使得，有；③，设，，，，使，故D正确．故选：AD．4．对一般的实系数一元三次方程，由于总可以通过代换消去其二次项，就可以变为方程．在一些数学工具书中，我们可以找到方程的求根公式，这一公式被称为卡尔丹公式，它是以16世纪意大利数学家卡尔丹（J.Cardan）的名字命名的．卡尔丹公式的获得过程如下：三次方程可以变形为，把未知数x写成两数之和，再把等式的右边展开，就得到，即．将上式与相对照，得到，把此方程组中的第一个方程两边同时作三次方，，并把与看成未知数，解得，于是，方程一个根可以写成．阅读以上材料，求解方程．解析：令，方程化为：，令，则有，于是得，即，是关于的方程的二根，解得，即或，而，因此或，于是得，方程化为，解得或，因此或，所以方程的解为或或.下面讨论一类特殊的四次方程问题：一个四次函数，把参数放在二次项上，即，做一次参数分离：，右边利用或者，整体换元为二次函数即可.5.若函数的图象恒在轴上方,则实数的取值范围是A. B. C. D.解析：恒成立，当时，，当时，，其中，因为，从而，因此实数的取值范围是，选A.6.已知曲线与无公共点,则实数的取值范围是A.B. C. D.解析:由于与无公共点，说明无实根，即无实数根..令则,由无实数根得无实数根，分别