浙教版九年级下册《2.3 三角形的内切圆》同步练习卷

浙教版九年级下册《2.3三角形的内切圆》同步练习卷一、选择题1．下列命题正确的是（）A．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 B．三角形的内心不一定在三角形的内部 C．等边三角形的内心，外心重合 D．一个圆一定有唯一一个外切三角形2．如图，⊙O是△ABC的内切圆，D，E是切点，∠A＝50°，∠C＝60°，则∠DOE的度数为（）A．70° B．110° C．120° D．130°3．圆I是三角形ABC的内切圆，D，E，F为3个切点，若∠DEF＝52°，则∠A的度数为（）A．68° B．52° C．76° D．38°4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，则它的内切圆与外接圆半径分别为（）A．2，6.5 B．2.5，6.5 C．2，13 D．6，6.55．将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB＝，则四边形AB1ED的内切圆半径为（）A． B． C． D．二、填空题6．如图，在△ABC中，∠A＝68°，若点O是△ABC的外心，则∠BOC＝；若点O是△ABC的内心，则∠BOC＝．7．如图，△ABC的三边分别切⊙O于点D，E，F．若AB＝7，BC＝8，AC＝9，则BE＝，CF＝．8．如图，已知⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的面积为．9．已知△ABC的面积为12cm2，周长为24cm，则△ABC内切圆的半径为cm．10．如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C＝90°，BO的延长线交AC于点D，若BC＝3，CD＝1，则⊙O的半径等于．三、解答题11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，△ABC的内切圆⊙O切AB于点D，切BC于点E，切AC于点F，AD＝4，BD＝6，求Rt△ABC的面积．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，⊙O为△ABC内切圆，与三边分别相切于D、E、F．（1）求⊙O半径；（2）若G为AB中点，求线段OG长度．13．如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于点D，交△ABC外接圆于点E．（1）求证：IE＝BE；（2）若DE＝1，AD＝3，求EI的长．14．如图，在锐角△ABC中，BC＝5，sin∠BAC＝，点I为三角形AEC的内心，AB＝BC，求AI的长．

参考答案与试题解析一、选择题1．【分析】根据三角形内心的定义和圆的外切三角形的定义判断即可．【解答】解：A、三角形的内心是三个内角平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等，错误；B、三角形的内心是三个内角平分线的交点，三角形的内心一定在三角形的内部，错误；C、等边三角形的内心，外心重合，正确；D、经过圆上的三点作圆的切线，三条切线相交，即可得到圆的一个外切三角形，所以一个圆有无数个外切三角形，错误；故选：C．2．【分析】先根据三角形的内角和定理求得∠B，再由切线的性质得∠BDO＝∠BEO＝90°，从而得出∠DOE．【解答】解：∵∠BAC＝50°，∠ACB＝60°，∴∠B＝180°﹣50°﹣60°＝70°，∵E，D是切点，∴∠BDO＝∠BEO＝90°，∴∠DOE＝180°﹣∠B，∴∠DOE＝∠A+∠C＝50°+60°＝110°．故选：B．3．【分析】先利用切线的性质得∠IDA＝∠IFA＝90°，则根据四边形的内角和得到∠A+∠DIF＝180°，再根据圆周角定理得到∠DIF＝2∠DEF＝104°，然后利用互补计算∠A的度数即可．【解答】解：∵圆I是三角形ABC的内切圆，∴ID⊥AB，IF⊥AC，∴∠IDA＝∠IFA＝90°，∴∠A+∠DIF＝180°，∵∠DIF＝2∠DEF＝2×52°＝104°，∴∠A＝180°﹣104°＝76°．故选：C．4．【分析】直角三角形的内切圆半径和其三边有特殊关系：三边中a、b为直角边，c为斜边，内切圆半径为r，则r＝（a+b﹣c）；外接圆的半径就是斜边的一半．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵AC＝5，AB＝13，∴BC＝＝12，∴外接圆半径＝AB＝6.5，∵四边形ODCE是正方形，且⊙O是△ABC的内切圆，∴内切圆半径＝（BC+AC﹣AB）＝2；故选：A．5．【分析】作∠DAF与∠AB1G的角平分线交于点O，则O即为该圆的圆心，过O作OF⊥AB1，AB＝，再根据直角三角形的性质便可求出OF的长，即该四边形内切圆的圆心．【解答】解：作∠DAF与∠AB1G的角平分线交于点O，过O作OF⊥AB1，则∠OAF＝30°，∠AB1O＝45°，故B1F＝OF＝OA，设B1F＝x，则AF＝﹣x，AO＝2x，在Rt△AOF中，∵AF2+OF2＝OA2，故（﹣x）2+x2＝（2x）2，解得x＝或x＝（舍去），∴四边形AB1ED的内切圆半径为：．故选：B．二、填空题6．【分析】若点O为△ABC的外心，则∠BOC和∠BAC是同弧所对的圆心角和圆周角，利用圆周角定理可求出∠BOC；若点O为△ABC的内心，利用结论∠BOC＝90°+∠BAC可计算出∠BOC．【解答】解：若点O是△ABC的外心，则∠BOC＝2∠BAC＝2×68°＝136°；若点O是△ABC的内心，则∠BOC＝90°+∠BAC＝90°+×68°＝124°；故答案为：136°；124°．7．【分析】设BE＝x，则CE＝BC﹣BE＝8﹣x，由于△ABC的三边分别切⊙O于点D，E，F，根据切线长定理得BD＝BE＝x，CF＝CE＝8﹣x，AD＝AF，则AD＝AB﹣BD＝7﹣x，所以AF＝7﹣x，则利用AF+FC＝AC＝9得到7﹣x+8﹣x＝9，解方程得到x＝3，于是CF＝5．【解答】解：设BE＝x，则CE＝BC﹣BE＝8﹣x，∵△ABC的三边分别切⊙O于点D，E，F，∴BD＝BE＝x，CF＝CE＝8﹣x，AD＝AF，∴AD＝AB﹣BD＝7﹣x，∴AF＝7﹣x，∵AF+FC＝AC＝9，∴7﹣x+8﹣x＝9，∴x＝3，∴CF＝8﹣3＝5．故答案为3，5．8．【分析】欲求⊙O的面积，需先求出⊙O的半径；可连接OC，由切线长定理可得到∠OCB＝∠OCA＝30°，再连接OD（设BC切⊙O于D），在Rt△OCD中通过解直角三角形即可求得⊙O的半径，进而可求出⊙O的面积．【解答】解：设BC切⊙O于点D，连接OC、OD；∵CA、CB都与⊙O相切，∴∠OCD＝∠OCA＝30°；Rt△OCD中，CD＝BC＝1，∠OCD＝30°；∴OD＝CD•tan30°＝；∴S⊙O＝π（OD）2＝．故答案为：．9．【分析】利用圆的内切圆的性质，以及三角形的面积公式：三角形的面积＝×三角形的周长×内切圆的半径即可求解．【解答】解：设内切圆的半径是r，则＝12，解得：r＝1．故答案为：1cm．10．【分析】假设半径为r过点O作OE⊥BC，垂足为E．再根据△BCD∽△BOE，然后对应边成比例，解出r即可．【解答】解：设半径为r过点O作OE⊥BC，垂足为E，∵OE∥AC，∴△BCD∽△BEO，由题意可得出：OE＝EC＝r，∴＝即＝，解得：r＝0.75．故答案为：0.75．三、解答题11．【分析】连接OE、OD、OC、OB、OF、OA，根据切线长定理和勾股定理可得r的长，进而可得Rt△ABC的面积．【解答】解：如图，连接OE、OD、OC、OB、OF、OA，设⊙O半径是r，则OE＝OD＝OF＝r，∵⊙O是△ACB的内切圆，∴OF⊥AB，OE⊥AC，OD⊥BC，根据切线长定理可知：AF＝AD＝4，BE＝BD＝6，CE＝CF，∴AC＝AF+FC＝4+r，BC＝BE+CE＝6+r，根据勾股定理，得（4+r）2+（6+r）2＝102，解得r＝2或r＝﹣12（舍去），∴AC＝6，BC＝8，∴Rt△ABC的面积＝×AC×BC＝6×8＝24．12．【分析】（1）连接OD、OE、OF，如图，设⊙O半径为r，在Rt△ABC中根据勾股定理计算出AB＝10，再证明四边形ODCE为正方形，则CD＝CE＝r，AD＝8﹣r，BE＝6﹣r，根据切线长定理得AF＝AD＝8﹣r，BF＝BE＝6﹣r，所以8﹣r+6﹣r＝10，解方程即可得到r的值；（2）由＝AB＝5，BF＝4得到GF＝BG﹣BF＝1，然后在Rt△OGF中根据勾股定理可计算出OG．【解答】解：（1）连接OD、OE、OF，如图，设⊙O半径为r，在Rt△ABC中，∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝10，∵⊙O为△ABC内切圆，与三边分别相切于D、E、F，∴OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB，∴四边形ODCE为矩形，∵OD＝OE，∴四边形ODCE为正方形，∴CD＝CE＝r，∴AD＝8﹣r，BE＝6﹣r，∵AF＝AD＝8﹣r，BF＝BE＝6﹣r，∴8﹣r+6﹣r＝10，∴r＝2，即⊙O半径为2；（2）∵G为AB中点，∴BG＝AB＝5，而BF＝6﹣r＝4，∴GF＝BG﹣BF＝5﹣4＝1，在Rt△OGF中，∵OF＝2，GF＝1，∴OG＝＝．13．【分析】（1）要证明IE＝BE，只要求得∠BIDE＝∠IBE即可；（2）根据已知及相似三角形的判定方法得到△ABE∽△BDE，由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出BE的长，即可得出答案．【解答】（1）证明：连接BI，∵点I是△ABC的内心，∴∠BAE＝∠CAE，∠ABI＝∠CBI，∵∠CBE＝∠CAE，∴∠BAE＝∠CBE，∴∠BIE＝∠ABI+∠BAE，∠IBE＝∠CBI+∠CBE，∴∠BIE＝∠IBE，∴IE＝BE；（2）解：∵∠BAD＝∠CAE＝∠CBE，∠E＝∠E，∴△ABE∽△BDE，∴BE：DE＝AE：BE，∵DE＝1，AD＝3，∴AE＝1+3＝4，∴BE：1＝4：BE，∴BE＝2，∵EI＝BE，∴EI＝2．14．【分析】连接IC、BI，且延长BI交AC于F，过I作IE⊥AB于E，求出BF⊥AC，AF＝CF，根据sin∠BAC求出AC，根据三角形的面积公式得出5×R+5×R+6×R＝6×4，求出R，在△AIF中，由勾股定理求出AI即可．【解答】解：如图，连接IC、BI，且延长BI交AC于F，过点I作IG⊥BC于点G，过I作IE⊥AB于E，∵AB＝BC＝5，I为△ABC内心，∴BF⊥AC，AF＝CF，∵sin∠BAC＝