辽宁省沈阳市五校协作体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省沈阳市五校协作体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求.1.已知为虚数单位，复数满足，则复数的虚部是（）A.1 B.-1 C. D.〖答案〗B〖解析〗由题得，所以，所以复数的虚部是.故选：B.2.已知向量，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，则，所以在方向上的投影向量为.故选：A.3.已知是不同的直线，是不重合的平面，则下列命题中，不正确的有（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则〖答案〗C〖解析〗对于A，因为，所以，因为，所以，所以A正确；对于B，过作平面，因为，所以，因为，，所以，因为，，所以，所以，所以B正确；对于C，当时，或，所以C错误；对于D，因为，所以，因，所以，所以D正确.故选：C.4.机械学家莱洛发现的莱洛三角形给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB长为1，则莱洛三角形的周长是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由已知，，得，则莱洛三角形的周长是.故选：A．5.已知圆锥的底面圆周在球的球面上，顶点为球心，圆锥的高为，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由已知得圆锥母线是球半径，设球半径为，圆锥底面圆半径为，由圆锥高为，得，由圆锥的侧面展开图是一个半圆得：，联立方程组，解得，所以球表面积为.故选：C.6.已知函数的定义域为，在定义域内存在唯一，使得，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意，，在定义域内存在唯一，使得，所以在上有唯一解，令，所以在上有唯一解，则由正弦函数图像性质可知.故选：D.7.如图，圆O内接边长为1的正方形是弧（包括端点）上一点，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗方法一：如图1，以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则，设，则．因为，所以，由题意知，圆O的半径，因为点P在弧（包括端点）上，所以，所以的取值范围是．方法二：如图2，连接，易知，设，则，由已知可得，所以，所以，因为，所以，所以，所以，即的取值范围是.故选：C．8.已知单调函数，若实数满足，且，则（）A.0 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为函数，所以，所以关于点中心对称，因为，，且为单调函数，所以，，则.故选：.二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对得6分，部分选对得部份分，有选错的得0分.9.已知函数的部分图象如图所示下列说法正确的是（）A.B.函数的图象的对称轴方程为直线C.函数的单调递减区间为D.若对于任意，都有成立，实数的取值范围为〖答案〗ABD〖解析〗对于A，函数周期，，解得，A正确；对于B，由，得，而，则，即，由，解得，函数的图象的对称轴方程为直线，B正确；对于C，由，得，因此函数的单调递减区间为，C错误；对于D，当时，，，即，由，显然，，因此，D正确.故选：ABD.10.已知复数均为虚数，且，则（）A.B.C.为纯虚数D.存在某个实系数二次方程，它的两个根为〖答案〗BC〖解析〗设，，，对于A，，故A错误；对于B，，，所以，故B正确；对于C，，，为纯虚数，故C正确；对于D，因为为虚数，为实数，所以实系数二次方程，要么，要么，不可能既有实数根，又有虚数根，故D错误.故选：BC.11.在棱长为2的正方体中，M为中点，N为四边形内一点（含边界），若平面，则下列结论正确的是（）A. B.三棱锥的体积为C.点N的轨迹长度为 D.的取值范围为〖答案〗BD〖解析〗在棱长为2的正方体中，为中点，为四边形内一点（含边界），平面，取、中点分别为、，连接、、、，，如图：为正方体，为中点，为中点，，，，，、平面，、平面，且，，平面平面，为四边形内一点（含边界），且平面，点在线段上（含端点），对于A：当在时，则与夹角为，此时，则与不垂直，故A不正确；对于B为四边形内一点（含边界），到平面的距离为2，三棱锥的体积为，故B正确；对于C：由于点在线段上（含端点），而，点的轨迹长度为，故C不正确；对于D为正方体，平面，平面，，△为直角三角形，且直角为，，点在线段上（含端点），则当最大时，即点为点时，此时，此时最小，为，当最小时，即，此时，此时最大，最大为，则的取值范围，故D正确．故选：BD．三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.12.已知锐角，且满足.则__________.〖答案〗〖解析〗，且为锐角，得，由为锐角，得，而，得，则.故〖答案〗为：.13.已知PC是三棱锥外接球的直径，且，，三棱锥体积的最大值为8，则其外接球的表面积为______．〖答案〗〖解析〗如图，因为是三棱锥外接球的直径，所以，又，故平面，因平面，则，又，所以面，因平面，故．于是，三棱锥的体积为．因（当且仅当时等号成立），所以体积的最大值为，依题意，解得，因，故，所以三棱锥的外接球的表面积为：．故〖答案〗为：.14.已知是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，若，则的取值范围是______.〖答案〗〖解析〗由正弦定理得：，又，即，可得，又是锐角三角形，可得，即，解得，令，则，则，开口向上，对称轴，即在上单调递增，所以，即即的取值范围是故〖答案〗为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出必要的文字、证明过程和步骤.15.在中，角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若为边的中点，求的长.解：（1）因为，根据正弦定理，得，化简得，因为，所以，因为，所以.（2）在中，由余弦定理得，所以，解得，因为为的中线，所以，所以，因为，所以，解得.16.如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的体积.解：（1）连接交于点，连接，由底面是正方形，故为中点，又点为线段的中点，故，又平面，平面，故平面.（2）由点为线段的中点，，易知，由平面，平面，故，又底面是正方形，故，而､平面，，故平面，又平面，故，又､平面，，故平面.（3）由点为线段的中点，故点与点到平面距离相等，故.17.已知，对任意都有，（1）求的值：（2）若当时方程有唯一实根，求的范围.（3）已知，若对任意都有恒成立，求实数的取值范围.解：（1）对任意都有，则函数的图象关于直线对称，所以，而，则，所以.（2），当时，设，在为增函数，在为减函数，所以方程有唯一实根，等价于与的图象有一个交点，由图象可知或，所以或，所以的范围是.（3）由（1）知，，则，，，当时，，，令，显然，不等式，依题意，，不等式恒成立，显然，，当且仅当，即时取等号，则，所以实数的取值范围是.18.如图，正三棱柱中，，点为的中点.（1）证明：平面平面（2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.（3）求二面角平面角的正切值.解：（1）在正三棱柱中，因为点为的中点，则，又平面，平面，则有，而，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）在平面内过点作交于点，因为平面平面，平面，所以平面，则点即为所要找的点，如下图所示，因为，，所以与相似，因此，即有，于是，，所以.（3）在平面上，过点作垂直垂足为，因为点为的中点，所以为的四等分点，即，过点作的垂线垂足为，连接，平面平面，平面平面，因此平面，所以有，由二面角定义可得为二面角的平面角，为直角三角形，边上的高为，则有，所以.19.在中，，点为的外心.（1）若，求的值；（2）若，求的最