广西壮族自治区柳州市2025届新高三摸底考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广西壮族自治区柳州市2025届新高三摸底考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，集合，所以．故选：C．2.设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则（）A. B.5 C. D.8〖答案〗A〖解析〗因为复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，且，所以，所以．故选：A．3.在等差数列中，若，则（）A.7 B.12 C.16 D.24〖答案〗B〖解析〗在等差数列中，若，则，所以，所以．故选：B．4.双曲线的一个顶点到渐近线的距离为（）A. B.4 C. D.〖答案〗C〖解析〗由双曲线的方程知两顶点，，渐近线方程为，由对称性，不妨求到直线的距离，．故选：C．5.已知向量与的夹角为，且，，则（）A. B. C.4 D.2〖答案〗D〖解析〗由得，，又，则．故选：D.6.的展开式中常数项的系数为（）A.70 B.56 C.28 D.8〖答案〗C〖解析〗的展开式的通项公式为，令，解得，故的展开式中常数项为．故选：C．7.有4名医学毕业生到甲、乙、丙三所学校去应聘校医工作，若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中1人，则所有不同的录用情况种数为（）A.40种 B.60种 C.80种 D.120种〖答案〗B〖解析〗根据题意，分2种情况讨论：①四人中有3人被录取，有种不同的录用情况；②四人都被录取，需要先将4人分为3组，再将分好的3组安排给3所学校，有种不同的录用情况；所以共有种不同的录用情况．故选：B．8.已知三棱锥的体积是，A，B，C是球O的球面上的三个点，且，，，则球O的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，，所以由正弦定理得，的外接圆半径为，在中，由余弦定理可得，所以，又因为，所以，所以，因为，∴，由球中的截面性质及勾股定理，可知球的半径，所以球O的表面积为：．故选：C．二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知随机事件A，B发生的概率分别为，，下列说法正确的是（）．A.若，则A，B相互独立 B.若A，B互斥，则A，B不相互独立C.若，则 D.若，则〖答案〗ABC〖解析〗A：因为事件A，B相互独立，，所以A，B相互独立，故A正确；B：因为A，B互斥，则，故A，B不可能相互独立，故B正确；C：∵，∴，故C正确；D：∵，∴，∴，故D错误．故选：ABC．10.已知函数的部分图象如图所示，令，则下列说法正确的有（）．A.的一个对称中心B.对称轴方程为C.在上的值域为D.的单调递减区间为〖答案〗BCD〖解析〗由题图可得，，解得．又，可得，解得．因为，所以，所以．所以．对于A，当，，所以不是的一个对称中心，故A错误；对于B，令，可得，故的对称轴方程为，故B正确；对于C，时，，所以，故在上的值域为，故C正确；对于D，令，解得，所以的单调递减区间为，故D正确．故选：BCD．11.已知函数的定义域为R，且，若，则（）．A. B.C.为减函数 D.为奇函数〖答案〗ABD〖解析〗，时，，，而，∴，，时，，∴，∴，故B正确；令，，，令，，故A正确；，是奇函数，故D正确．令，则，为增函数，故C错误．故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则在点处的切线斜率是__________．〖答案〗2〖解析〗∵，∴，∴时，，则在点处的切线斜率是2．13.已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则__________．〖答案〗〖解析〗因为，由正弦定理可得，可得，在三角形中，，且，所以，，所以，所以，因为，所以，所以．14.记实数最小数为，若，则函数的最大值为__________．〖答案〗〖解析〗如图所示，在同一个坐标系中，分别作出函数的图象，而的图象即是图中勾勒出的实红线部分，要求的函数的最大值即图中最高点的纵坐标.由联立解得，，故所求函数最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.如图，在棱长为1的正方体中，E为的中点，F为AB的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．（1）证明：以为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，，，，所以，，，，，．因为，所以，又平面，平面，所以平面．（2）解：设平面的法向量为，则，取，则，．所以，是平面的一个法向量，又因为平面，所以为平面的一个法向量，则，设平面与平面的夹角为，则，即平面与平面的夹角的余弦值为．16.某牧场今年年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8％，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为，，，…．（1）写出一个递推公式，表示与之间的关系；（2）求的值．（其中，，）解：（1）由题意，得，并且．（2）将化成．比较①②的系数，可得．解这个方程组，得．所以，所以数列是以为首项，1.08为公比的等比数列，则．所以（头）．17.如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，设移动次后质点位于位置．（1）求；（2）求；（3）指出质点最有可能位于哪个位置，并说明理由．解：（1）设质点n次移动中向右移动的次数为Y，显然每移动一次的概率为，则，所以．（2）设质点n次移动中向右移动的次数为Y，显然每移动一次的概率为，则，且，而，所以.（3）设质点n次移动中向右移动的次数为Y，显然每移动一次的概率为，则，所以，若n为偶数，中间的一项取得最大值，即概率最大，此时，所以质点最有可能位于位置0，若n为奇数，中间的两项，取得最大值，即或概率最大，此时或，所以质点最有可能位于位置1或．18.一动圆与圆外切，同时与圆内切，记动圆圆心的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程，并说明E是什么曲线；（2）若点P是曲线E上异于左右顶点的一个动点，点O为曲线E的中心，过E的左焦点F且平行于的直线与曲线E交于点M，N，求证：为一个定值．解：（1）设动圆的圆心，动圆半径为r，因为化为标准方程，故圆心，，因为化为标准方程，故圆心，，依题意得，，所以，故点Q是以、为焦点的椭圆，所以，，故，所以曲线，曲线E是焦点在x轴上，对称中心在原点，以、为焦点的椭圆.（2）由（1）得，当弦的斜率不存在时，此时弦为椭圆的短半轴，此时，此时直线为椭圆的通径，满足，从而，当弦斜率存在时，设为k，设直线的方程为，代入曲线E得，从而，设直线，代入曲线E得，设，，则，，又因为，所以，所以.综上所述，为一个定值.19.帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，．注：，，，，…；为的导数）．已知在处的阶帕德近似为．（1）求实数a，b的值；（2）比较与的大小；（3）若有3个不同的零点，求实数m的取值范围．解：（1）由，，知，，，，由题意，，所以，所以，．（2）由（1）知，，令，则，所以在其定义域内为增函数，又，∴时，；时，，所以时，；时，．（3）由（1）知，，注意到，则除1外还有2个零点，设为