江西省九江市2024届高三第三次高考模拟统一考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江西省九江市2024届高三第三次高考模拟统一考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.为深入学习党的二十大精神，某校开展“奋进新征程，强国伴我行”二十大主题知识竞赛，其中高三年级选派8名同学参赛，这8名同学的成绩（总分10分）依次如下：，则这组数据的分位数为（）A.8 B.9 C.9.5 D.10〖答案〗C〖解析〗8名同学成绩数据由小到大重新排列为：是整数，分位数是第6位数和第7位数的平均数，即.故选：C.2.在中，角所对的边分别为，已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，由正弦定理，因为，展开化简，又.故选:B.3.已知等差数列的公差为，是与的等比中项，则（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为是与的等比中项，所以.又因为数列为等差数列，公差为，所以，化简得，即，所以.故选：A.4.考古发现在金字塔内有一组神秘的数字“142857”，我们把它和自然数1到6依次相乘，得，，结果是同样的数字，只是调换了位置.若将这组神秘数字“142857”进行重新排序，其中偶数均相邻的排法种数为（）A.24 B.36 C.72 D.144〖答案〗D〖解析〗第一步：将三个偶数看成一个整体，与三个奇数进行全排列共种排法；第二步：将三个偶数进行全排列共；根据分步乘法计数原理可得：将这组神秘数字“142857”进行重新排序，其中偶数均相邻的排法种数为.故选：D.5.已知圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，则该圆锥的体积是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设圆锥底面圆半径为，母线为，高为.由题意得，解得，，该圆锥的体积是.故选：A.6.已知椭圆的左右焦点分别为,过且倾斜角为的直线交于第一象限内一点.若线段的中点在轴上,的面积为,则的方程为（）A B.C. D.〖答案〗D〖解析〗如图,为线段的中点,为线段的中点,,又轴,轴.在中,,设,则的面积为,,,则C的方程为.故选：D.7.若，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令，则，所以由，得，即，即，得，所以，故选：C.8.在平面直角坐标系中，已知直线与双曲线的左右两支分别交于两点，是线段的中点，是轴上一点(非原点)，且，则的离心率为（）A. B. C.2 D.3〖答案〗B〖解析〗设且，则，因为，所以，得，设直线的方程为，，由，得，由，得，所以，所以，①，因为，是线段的中点，所以，即，化简得，由①，得，所以，所以，所以离心率，故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知二项式，则（）A.展开式中的系数为45B.展开式中二项式系数最大的项是第5项C.展开式中各项系数之和为1D.展开式中系数最大的项是第5项或第7项〖答案〗AD〖解析〗，当时，，系数为，故A正确；由组合数性质可知，中间项系数最大，展开式中二项式系数最大的项是第6项，故B错误；令，得展开式中各项系数之和为，故C错误；当为奇数时，系数为负数，当为偶数时，系数为正数，当或时，系数最大，正确故选：AD.10.已知虚数满足，则下列结论正确的是（）A. B.C.的虚部为 D.〖答案〗ABD〖解析〗对于A，由，得正确；对于B，由，得，B正确；对于C，设，则，，解得，的虚部为或，C错误.对于D，又，D正确.故选：ABD.11.如图，正方体的棱长为1，点在截面内，且，则（）A.三棱锥的体积为 B.线段的长为C.点的轨迹长为 D.的最大值为〖答案〗ACD〖解析〗对于A，在正方体中，易证平面，平面平面，且两平面间距离为，又的面积，所以三棱锥的体积故A正确；对于B，如图①所示，设的中心为，则，故B错误；对于C，如图②所示，由知，，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆的一部分，由三段劣弧构成，其长度为圆周长的一半故C正确；对于D，，为在方向上的投影，由图①可知，当位于点或的位置时，最小，此时取得最大值，如图②所示，建立空间直角坐标系，则，，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.其中第14题第1问2分，第2问3分.12.若集合，则__________.〖答案〗〖解析〗.又或，故.13.已知函数在区间上有且仅有三个零点，则的取值范围是__________.〖答案〗〖解析〗令，，，问题转化为函数在区间上有且仅有三个零点，，解得.14.某儿童游乐场有一台打地鼠游戏机，共有9个洞.游戏开始后，每次有且仅有一只地鼠从某洞中冒出，地鼠第1次从1号洞冒出来.假设游戏过程中地鼠从上一个洞继续冒出的概率为，从其它洞冒出的可能性相等，则地鼠第3次从1号洞冒出的概率是__________.假设游戏结束时，地鼠一共冒出次，则地鼠从1号洞冒出的次数期望值为__________.〖答案〗〖解析〗令表示地鼠第次从1号洞冒出的概率，则.当地鼠第2次从1号洞冒出时，第3次从1号洞冒出的概率为；当地鼠第2次没有从1号洞冒出时，第3次从1号洞冒出的概率为.同理可得：，是以为首项，为公比的等比数列，，也适合；游戏结束时，地鼠一共冒出次，则地鼠从1号洞冒出的次数期望值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.15.车胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎胎面磨损.某实验室通过实验测得轿车行驶里程与某品牌轮胎凹槽深度的数据，如下表所示：行驶里程万0.00.41.01.62.42.83.44.4轮胎凹槽深度8.07.87.26.25.64.84.44.0（1）求该品牌轮胎凹槽深度与行驶里程的相关系数，并判断二者之间是否具有很强的线性相关性；（结果保留两位有效数字）（2）根据我国国家标准规定：轿车轮胎凹槽安全深度为（当凹槽深度低于时刹车距离增大，驾驶风险增加，必须更换新轮胎）.某人在保养汽车时将小轿车的轮胎全部更换成了该品牌的新轮胎，请问在正常行驶情况下，更换新轮胎后继续行驶约多少公里需对轮胎再次更换？附：变量与的样本相关系数；对于一组数据，，其线性回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为：.解：（1）计算得，，由公式知，，二者之间具有很强的线性关系.（2）设轮胎凹槽深度与行驶里程的线性回归方程为，则==，，线性回归方程为，令，得，即更换新轮胎后继续行驶约6.4万公里需要对轮胎再次更换.16.如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，，为等边三角形.（1）证明：；（2）若二面角的大小为，求二面角的正弦值.（1）证明：取的中点，连接线段，由，得，由，得为等边三角形，则，又平面，于平面，又平面，所以.（2）解：由（1）知为二面角的平面角，即，在平面内过作，显然直线两两垂直，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，不妨设，则，，由，得，，，设平面的法向量为，，，取，得，而，设平面的法向量为，则，取，得，设二面角的平面角为，则，因此，所以二面角的正弦值为.17.在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为是上第一象限内的动点.当直线的倾斜角为时，.（1）求的方程；（2）已知点是上不同两点.若四边形是平行四边形，证明：直线过定点.解：（1）由题意可知：抛物线的焦点，准线，过点A作轴的垂线，垂足为，作准线的垂线，垂足为，由抛物线定义可得，因为直线的倾斜角为，则，可得，解得，所以的方程为.（2）设直线方程为，，联立方程组，消去整理得，则，因为四边形是平行四边形，则，即，代入中得，整理得，则直线：，所以直线过定点.18.已知函数，且.（1）讨论的单调性；（2）若方程有三个不同的实数解，求的取值范围.解：（1）解法一：，令，则，在上单调递增.又当时，，即；当时，，即，在上单调递减，在上单调递增.解法二：，①当时，由得，由得，在上单调递减，在上单调递增，②当时，同理可得在上单调递减，在上单调递增.综上，当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）解法一：由，得，易得令，则又为偶函数，由（1）知在上单调递增，，即有三个不同的实数解.令，由，得由，得，在上单调递增，在上单调递减，且在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减当时，；当时，，故，解得或，故的取值范围是.解法二：由得，易得，令，则在上单调递减，在上单调递增.由，得或，两边同时取以为底的对数，得或，，即有三个不同的实数解下同解法一.19.已知数列共有项，且，若满足，则称为“约束数列”.记“约束数列”的所有项的和为.（1）当时，写出所有满足的“约束数列”；（2）当时，设“约束数列”为等差数列.请判断是的什么条件，并说明理由；（3）当时，求的最大值.解：（1）当时，所有满足的