江苏省南通市2024届模拟预测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省南通市2024届模拟预测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，即，所以，且，则.故选：A．2.某志愿者小组有5人，从中选3人到A、B两个社区开展活动，其中1人到社区，则不同的选法有（）A.12种 B.24种 C.30种 D.60种〖答案〗C〖解析〗求不同选法种数需2步，先从5人中选1人去社区，再从余下4人中选2人去社区，所以不同的选法有（种）.故选：C．3.已知两个非零向量满足，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，即，整理可得，所以在方向上的投影向量为.故选：B.．4.已知球的半径为1，其内接圆锥的高为，则该圆锥的侧面积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为球的半径，其内接圆锥的高为，所以圆锥的底面圆半径为，母线长为，所以侧面积为．故选：C．5.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，则，因为函数在区间上单调递减，且在定义域内递增，所以，解得，故选：B．6.下列函数中，以为周期，且其图象关于点对称的是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗对于A：的最小正周期为，对称中心为，故A错误；对于B：的图象是由将轴下方部分关于轴对称上去，轴上方及轴部分不变，所以的最小正周期为，没有对称中心，故B错误；对于C：，则最小正周期，且当时，所以函数图象关于点对称，故C正确；对于D：，最小正周期，故D错误.故选：C．7.已知椭圆：的左、右焦点分别为，为过点的弦，为的中点，，，则的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设，因为，为的中点，所以，，由椭圆定义可得，所以，又因为，为的中点，所以，，设椭圆的半焦距为，所以，，所以，，所以，所以，所以，所以椭圆C的离心率，故选：A.8.一个正八面体的八个面上分别标以数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为x1，x2，事件A=“x1=3”，事件B=“x2=6”，事件C=“x1+x2=9”，则（）A.AB=C B.A+B=C C.A，B互斥 D.B，C相互独立〖答案〗D〖解析〗对于A:事件发生时，事件不一定发生，所以A错；对于B:发生时，不一定发生，所以B错；对于C:时，同时发生，所以C错；对于D:，所以D正确.故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，是两条直线，是两个平面，下列结论不正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则〖答案〗ACD〖解析〗若，则平行或相交或异面，故A错误；若，则，故B正确；若，则平行或相交，故C错误；若，则平行或相交，故D错误；故选：ACD．10.设抛物线的焦点为，是上的一个动点，则下列结论正确的是（）A.点到的距离比到轴的距离大2B.点到直线的最小距离为C.以为直径的圆与轴相切D.记点在的准线上的射影为，则不可能是正三角形〖答案〗BC〖解析〗由抛物线，可得焦点，准线方程为，设，因为，因此不正确；因为，则点到直线的距离为，当时取等号，可得点到直线的最小距离为，因此正确；设的中点为，则，于是以为直径的圆与轴相切，因此正确；，令，则，，解得，此时，是正三角形，因此不正确．故选：BC．11.设是直线与曲线的两个交点的横坐标，则（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗由函数的定义域为，可得，令，可得，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，所以，当时，可得函数的极大值为，对于A中，知，所以，所以A正确；对于B中，构造函数，可得，当时，，在单调递增；所以，可得，可得，所以B错误；对于C中，由函数的极大值为，令，可得，,结合函数单调性可得图像如图所示.当且时，，又因为当时，,所以，，所以C正确；对于D中，因为，所以，所以等价于，为证，成立，即,因为,故只需证：，因为，只需证：且与均大于1，又因为在上单调递增，只需证：，即证：，令，可得，所以在上单调递增，且，所以成立，所以D正确.故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.复数与分别表示向量与，记表示向量的复数为，则______．〖答案〗25〖解析〗由题意可知，，则，所以.13.某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率约为10%，且每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起的十年内每年年初的计划存栏数依次为，则_______，数列的通项公式_______(1≤n≤10，)．〖答案〗〖解析〗由题意可知，，由得，所以，得，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，即.14.在梯形中，，则该梯形周长的最大值为_______．〖答案〗〖解析〗设，则，在中，由余弦定理得，所以，在中，由余弦定理得，所以，则，因为，所以，所以，则当时，取得最大值，所以梯形周长的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设，函数．（1）当时，求过点且与曲线相切的直线方程：（2）是函数的两个极值点，证明：为定值．（1）解：当时，，则导数．设切点为，则，所以切线方程为．又切线过点，则，整理得，，解得．所以过点且与曲线相切的直线方程为．（2）证明：依题意，，令，得．00极大值极小值不妨设，则．所以为定值．16.如图，在四棱台中，，，．（1）记平面与平面的交线为，证明：；（2）求平面与平面的夹角的余弦值．解：（1）因为平面，平面，所以平面.又平面，平面平面，所以.（2）在中，.由余弦定理得，，则，得.又，则.因为平面，所以，又，所以平面，以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，令，得，所以.又是平面的一个法向量.记平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面的夹角的余弦值为.17.某高校统计的连续5天入校参观的人数（单位：千人）如下：样本号12345第天12345参观人数2.42.74.16.47.9并计算得，．（1）求关于的回归直线方程，并预测第10天入校参观的人数；（2）已知该校开放1号，2号门供参观者进出，参观者从这两处门进校的概率相同，且从进校处的门离校的概率为，从另一处门离校的概率为．假设甲、乙两名参观者进出该校互不影响，已知甲、乙两名参观者从1号门离校，求他们从不同门进校的概率．附：回归直线方程，其中．解：（1）依题意，，，所以．当时，，答：第10天入校参观的人数约为14.99千人．（2）记“两名参观者从不同门进校”为事件，“两名参观者都从1号门离校”为事件，即求．则，，所以．答：他们从不同门进校的概率为．18.已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为4，上一点满足，且的面积为．（1）求的方程；（2）过的渐近线上一点作直线与相交于点，，求的最小值．解：（1）在中，因为，所以．所以的面积，解得．在中，由余弦定理，得，所以．因为在双曲线上，所以，得．所以的方程为．（2）法1：设，则，当直线轴时，设直线与交于点，所以，即，所以．当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，，利用对称性不妨设在直线上．联立，得．联立并消去，得，所以．则，同理，得．所以（当且仅当时，取等号，满足），综上，的最小值为1．法2：设，则，当垂直轴时，设的方程为：，则．因为两式相减，得，所以．当的斜率存在时，设的方程为：，由消去并化简，得．所以则，同理．所以．综上所述，当轴时，的最小值为1．19.设有穷数列的项数为，若正整数满足：，则称为数列的“点”．（1）若，求数列的“点”；（2）已知有穷等比数列的公比为，前项和为．若数列存在“点”，求正数的取值范围；（3）若，数列的“点”的个数为，证明：．解：（1）因为所以，所以数列的“点”为3，5，（2）依题意，，因为数列存在“点”，所以存在，使得，所以，即.因为，所以，所以，又随的增大而增大，所以当时，取最大值，所以，又，所以.当时，有，所以数列存在“点”，所以的取值