安徽省皖北协作区2023-2024学年高一下学期期末联考数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1安徽省皖北协作区2023-2024学年高一下学期期末联考数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若向量是两个单位向量，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由单位向量的定义可知，，即，且，故A正确，B错误；因为方向和夹角不确定，故CD错误.故选：A.2.已知直线与平面没有公共点，直线，则与的位置关系是（）A.平行 B.异面 C.相交 D.平行或异面〖答案〗D〖解析〗依题意可知，而，所以a，b没有公共点，a与b可能异面或平行.故选：D.3.（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故选：B.4.若向量，，则在上投影向量的坐标是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，，则，所以在上的投影向量.故选：B.5.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，再把函数的图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标保持不变），得到函数的图象，则函数的图象的一条对称轴的方程为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗首先将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数，再把函数的图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标保持不变），得到函数，最后令，解得，即的对称轴为.所以函数的图象的一条对称轴的方程为.故选：A.6.若，则（）A. B. C.或 D.〖答案〗A〖解析〗.故选：A.7.已知函数的一段图象过点，如图所示，则函数（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由图知，，则.由图知，在取得最大值，且图象经过，故，所以，故，又因为，所以，函数又经过，故，得.所以函数的表达式为．故选：D.8.在三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意如图所示：设为的中点，连接，设，分别为，的外接圆的圆心，过，分别作两个半平面的垂线，交于，则可得为该三棱锥的外接球的球心，连接，，则为外接球的半径，由与均为边长为2的等边三角形，则，又，则由余弦定理可得，所以，因为，分别为，的外接圆的圆心，所以，，可得，可得，而，所以，在中：，所以外接球的表面积.故选：C．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，则（）A.虚部为 B.是纯虚数C.的模是 D.在复平面内对应的点位于第四象限〖答案〗AC〖解析〗对A：由虚部定义知的虚部为，故A正确；对B：纯虚数要求实部为0，故B错误；对C：，故C正确；对D：在复平面内对应的点为，位于第一象限，故D错误.故选：AC.10.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则这些函数为“互为生成函数”.下列函数中，与构成“互为生成函数”的有（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗，由，则将的图象向左平移个单位长度后，即可与的图象重合；由，则图象无法经过平移与的图象重合；由，则将的图象向左平移个单位长度后，再向下平移1个单位长度后，即可与的图象重合；由，则的图象无法经过平移与的图象重合，故A，C中的函数与“互为生成函数”.故选：AC.11.已知函数在区间上有且仅有3个零点，则（）A.在区间上有且仅有4条对称轴B.的最小正周期可能是C.的取值范围是D.在区间上单调递增〖答案〗CD〖解析〗对C：由函数，令，，则，，函数在区间上有且仅有个零点，即有且仅有个整数符合，由，得，则，，，即，，故C正确；对于A：，，.当时，在区间上有且仅有3条对称轴；当时，在区间上有且仅有4条对称轴，故A错误；对于B：周期，由，则，，又，所以的最小正周期不可能是，故B错误；对于D：，，又，，所以在区间上单调递增，故D正确.故选：CD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知中，是线段上靠近的三等分点，若，则__________.〖答案〗〖解析〗因为是线段上靠近的三等分点，所以，所以，又，且与不共线，所以，所以.故〖答案〗为：.13.在正方体中，直线与所成角的大小为___________．（用角度表示）〖答案〗〖解析〗如图：连接，，易知，所以即为与所成的角或其补角，易知为等边三角形，所以.故〖答案〗为：.14.已知平面内三点不共线，且点满足，则是的__________心.（填“重”或“垂”或“内”或“外”）〖答案〗垂〖解析〗由，知，，故，，从而为的垂心.故〖答案〗为：垂.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知为坐标原点，，，.（1）若三点共线，求实数的值；（2）若点满足，求的最小值.解：（1）因为，，，所以，，又三点共线，所以，所以，解得.（2）因为，，所以，，所以，所以，所以当时.16.已知角的终边经过点，为第一象限角，.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）角的终边经过点，为第一象限角，，，，，.（2）由（1）得，，，.17.如图，四棱柱底面是正方形，．（1）证明：平面∥平面；（2）证明：平面平面．解：（1）由题意可知：∥，，可知为平行四边形，则∥，且平面，平面，可得∥平面，又因为∥，，可知为平行四边形，则∥，且平面，平面，可得∥平面，且，平面，所以平面∥平面.（2）因为为正方形，则，因为，则，可得，设，可知为的中点，则，且，平面，可得平面，由平面，所以平面平面.18.已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）在锐角中，角所对的边分别为，，且，求面积的取值范围.解：（1）因为，所以，即.令，解得，所以的单调递增区间为.（2）结合（1）问，因为，所以，即，所以，即.因为在锐角中，，所以.因为，所以.在中，由正弦定理可得，即，在中易得，，因为为锐角三角形，且，且易得，所以，得，所以，易得，即，所以.故面积取值范围为.19.若A，B，C是平面内不共线的三点，且同时满足以下两个条件：①；②存在异于点A的点G使得：与同向且，则称点A，B，C为可交换点组．已知点A，B，C是可交换点组．（1）求∠BAC；（2）若，，，求C的坐标；（3）记a，b，c中的最小值为，若，，点P满足，求的取值范围．解：（1）因为与同向，设，则，，又∠GAB，．因为，所以，所以，由，得，又，所以，．（2）由（1）