人教版初中数学同步讲义八年级下册第08讲 专题2 一次函数与几何图形（解析版）（淘宝店铺：夺魁文化）

第08讲专题2一次函数与几何图形类型一：一次函数与图形的平移类型二：一次函数与图形的对称类型三：一次函数与图形的旋转类型四：一次函数与三角形类型五：一次函数与四边形类型一：一次函数与图形的平移1．如图，点M的坐标为（3，4），将OM沿x轴正方向平移，使点M的对应点M′落在直线y＝x上，点O的对应点为O′．（1）则点M′的坐标为（8，4）；（2）连接MM′，四边形MOO′M′的形状为菱形．【分析】（1）把y＝4代入得到x＝8，即可得到点M′的坐标；（2）由平移可得OM＝OM′，OM∥OM′，证到四边形MOO′M′为平行四边形，由勾股定理得到OM＝5，再由M、M′的坐标得到OM＝MM′＝5，即可证明四边形MOO′M′为菱形；【解答】解：（1）把y＝4代入，得x＝8，∴点M′坐标为（8，4），故答案为：（8，4）；（2）四边形MOO′M′为菱形．理由如下：过点M作MA⊥x轴于点A，由平移得，OM＝OM′，OM∥OM′，∴四边形MOO′M′为平行四边形，∵点M的坐标为（3，4），∴OA＝3，AM＝4，∴，∵点M的坐标为（3，4），点M′坐标为（8，4），∴MM′＝8﹣3＝5，∴OM＝MM′，∴平行四边形MOO′M′为菱形，故答案为：菱形．2．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+3与x轴、y轴交点分别为点A和点B，直线l2过点B且与x轴交于点C，将直线l1向下平移4个单位长度得到直线l3，已知直线l3刚好过点C且与y轴交于点D．（1）求直线l2的解析式；（2）求四边形ABCD的面积．【分析】（1）根据直线l1的解析式求出A（﹣6，0），B（0，3）．根据上加下减的平移规律求出直线l3的解析式为y＝x﹣1，求出C（2，0），D（0，﹣1）．根据直线l2过点B、C，利用待定系数法求出直线l2的解析式；（2）根据S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC，即可求出四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）∵直线l1：y＝x+3与x轴、y轴交点分别为点A和点B，∴y＝0时，x+3＝0，解得x＝﹣6，x＝0时，y＝3，∴A（﹣6，0），B（0，3）．∵将直线l1：y＝x+3向下平移4个单位长度得到直线l3，∴直线l3的解析式为：y＝x+3﹣4，即y＝x﹣1，∵y＝0时，x﹣1＝0，解得x＝2，x＝0时，y＝﹣1，∴C（2，0），D（0，﹣1）．设直线l2的解析式为y＝kx+b，∵直线l2过点B（0，3）、点C（2，0），∴，解得，∴直线l2的解析式为y＝﹣x+3；（2）∵A（﹣6，0），B（0，3），C（2，0），D（0，﹣1），∴AC＝2﹣（﹣6）＝8，OB＝3，OD＝1，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝AC•OB+AC•OD＝×8×3+×8×1＝12+4＝16．3．综合应用如图1，直线l1：y＝2x+3与x轴交于点B，直线l2与x轴交于点，l1、l2交于y轴上一点A．（1）特征探究：求直线l2的表达式；（2）坐标探究：过x轴上一点D（﹣3，0），作DE⊥AC于点E，交y轴于点F，求E点坐标；（3）规律探究；将△ABC将向左平移m个单位长度得到图2，AC与y轴交于点P（点P不与A点和C点重合），在AB的延长线上取一点Q，使BQ＝CP，连接PQ交x轴于M点．请探究△ABC向左平移的过程中，线段MO的长度的变化情况？【分析】（1）把x＝0代入y＝2x+3求出点A的坐标，结合点C的坐标求出l2的表达式；（2）根据题意求出直线DE的解析式，从而求出点E和点F的坐标；（3）OM的长度不变，理由如下，过点Q作DQ⊥x轴，证明△BDQ≌△COP得到DB＝OC，DQ＝OP，再证明△MDQ≌△MOP，得到OM＝，从而求出OM的长度．【解答】解：（1）把x＝0代入y＝2x+3，得y＝3，∴点A的坐标为（0，3），设l2的表达式为y＝kx+b，把A（0，3），代入，得，解得，∴l2的表达式为y＝﹣2x+3；（2）由DE⊥AC，l2的表达式为y＝﹣2x+3，设直线DE的解析式为，把D（﹣3，0）代入，解得b＝，∴直线DE的解析式为，把x＝0代入，解得y＝，∴点F的坐标为，联立，解得，∴点E的坐标为；（3）OM的长度不变，理由如下：如图1，由，，∴OB＝OC，且BC＝3，∵∠BOA＝∠COA＝90°，OA＝OA，∴△AOB≌△AOC，∴AB＝AC，过点Q作DQ⊥x轴，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝∠DBQ，∵BQ＝CP，∠BDQ＝∠COP＝90°，∴△BDQ≌△COP（AAS），∴DB＝OC，DQ＝OP，∴OD＝DB+OB＝OC+OB＝BC＝3，∵∠MDQ＝∠MOP＝90°，∠DMQ＝∠OMP，DQ＝OP，∴△MDQ≌△MOP（AAS），∴DM＝OM，∴OM＝＝．4．如图，在直角坐标系中，一次函数的图象l1与y轴交于点A（0，2），与x轴交于点B（﹣，0），与一次函数y＝x﹣3的图象l2交于点E．（1）求l1的函数表达式；（2）直线l2与y轴交于点C，求△AEC的面积；（3）如图，已知长方形MNPQ，PQ＝2，NP＝1，M（a，1），矩形MNPQ的边PQ在x轴上平移，若矩形MNPQ与直线l1或l2有交点，直接写出a的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法求出l1的解析式；（2）根据点E是直线l1和直线l2的交点，求出E点坐标，利用面积计算公式即可求解；（3）分别求出矩形MNPQ在平移过程中，当点Q在l1上、点Q在l2上、点N在l1上、点N在l2上时a的值，即可得出结论．【解答】解：（1）设直线l1的表达式y＝kx+b，∵直线l1过点A（0，2）和点，代入得：，解得．∴直线l1的表达式为．（2）∵点E是直线l1和直线l2的交点，联立得：，解得，则点E的坐标为（﹣2，﹣5），；（3）当矩形MNPQ的顶点Q在l1上时，a的值为，矩形MNPQ向右平移，当点N在l1上时，，解得，即点，∴a的值为，矩形MNPQ继续向右平移，当点Q在l2上时，a的值为3，矩形MNPQ继续向右平移，当点N在l2上时，x﹣3＝1，解得x＝4，即点N（4，1），∴a的值4+2＝6，综上所述，当时，矩形MNPQ与直线l1有交点，当3≤a≤6时，矩形MNPQ与直线l2有交点．5．如图，直角三角板AOB如图所示在平面直角坐标系内，∠B＝30°，O为坐标原点，作AH⊥x轴，AO＝10，若∠AOH＝30°．（1）点A的坐标为（﹣5，5）；OB＝10；（2）求边AB所在直线的表达式；（3）直线y＝mx+n自与直线AB重合的位置向下平移，当其平分三角形AOB面积时，直接写出直线y＝mx+n的表达式．【分析】（1）在Rt△AOH中，∠AOH＝30°，则AH＝AO＝5，OH＝10cos30°＝5，进而求解；（2）用待定系数法即可求解；（3）由△HNO＝OH•OH＝OH2＝S△ABO＝25，即可求解．【解答】解：（1）在Rt△AOH中，∠AOH＝30°，则AH＝AO＝5，OH＝10cos30°＝5，故点A的坐标为：（﹣5，5），在Rt△AOB中，∠B＝30°，则BO＝AO＝10，故答案为：（﹣5，5），10；（2）过点B作BT⊥x轴于点T，则∠BOT＝60°，则OT＝BO＝5，同理可得：BT＝15，即点B（5，15），设直线AB的表达式为：y＝sx+t，则，解得：，故直线AB的表达式为：y＝x+10；（3）S△ABO＝AO•BO＝10×10＝50，设直线l：y＝mx+n交OB于点H，交OA于点N，由O、B坐标得，直线OB的表达式为：y＝x，设点H（r，r），在Rt△OHN中，∠HNO＝∠BAO＝60°，则ON＝OH，当直线l平分三角形AOB面积时，则△HNO＝OH•OH＝OH2＝S△ABO＝25，解得：OH2＝150，即r2+（r）2＝150，解得：r＝，则点H的坐标为：（，），则直线l的表达式为：y＝（x﹣）+＝x+5．6．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴于点C，且点C（4，0）．（1）求直线BC的解析式；（2）将直线BC向下平移3个单位长度得到直线L，此时直线L交于AB于点D，交x轴于点E，并且D的横坐标为﹣，请求出△ADE的面积；（3）点P为线段AB上一点，点Q为线段BC延长线上一点，且AP＝CQ，PQ交x轴于N，设点Q横坐标为m，△PBQ的面积为S，求S与m的函数关系式（不要求写出自变量m的取值范围）．【分析】（1）先求出点A，点B坐标，由等腰三角形的性质可求点C坐标，由待定系数法可求BC的解析式；（2）由直线的平移可得直线DE的解析式，进而可得点D，E的坐标，根据三角形的面积公式可得结论．（3）过点P作PG⊥AC，PE∥BC交AC于E，过点Q作HQ⊥AC，由“AAS”可证△AGP≌△CHQ，可得AG＝HC＝m﹣4，PG＝HQ＝2m﹣8，由“AAS”可证△PEF≌△QCF，可得S△PEF＝S△QCF，即可求解．【解答】解：（1）∵直线y＝2x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴点B（0，8），点A（﹣4，0）设直线BC解析式为：y＝kx+b，由题意可得：，解得：．∴直线BC解析式为：y＝﹣2x+8；（2）将直线BC向下平移3个单位长度得到直线L，∴L：y＝﹣2x+5，令y＝0，则x＝2.5，∴E（2.5，0），∵点D的横坐标为﹣，∴D（﹣，），∴S△ADE＝×（xE﹣xA）×yD＝×（+4）×＝；（3）如图，过点P作PG⊥AC，PE∥BC交AC于E，过点Q作HQ⊥AC，∵AB＝CB，∴∠BAC＝∠BCA，∵点Q横坐标为m，∴点Q（m，﹣2m+8）∴HQ＝2m﹣8，CH＝m﹣4，∵AP＝CQ，∠BAC＝∠BCA＝∠QCH，∠AGP＝∠QHC＝90°，∴△AGP≌△CHQ（AAS），∴AG＝HC＝m﹣4，PG＝HQ＝2m﹣8，∵PE∥BC，∴∠PEA＝∠ACB，∠EPF＝∠CQF，∴∠PEA＝∠PAE，∴AP＝PE，且AP＝CQ，∴PE＝CQ，且∠EPF＝∠CQF，∠PFE＝∠CFQ，∴△PEF≌△QCF（AAS）∴S△PEF＝S△QCF，∴△PBQ的面积＝四边形BCFP的面积+△CFQ的面积＝四边形BCFP的面积+△PEF的面积＝四边形PECB的面积，∴S＝S△ABC﹣S△PAE＝×8×8﹣×（2m﹣8）×（2m﹣8）＝16m﹣2m2．类型二：一次函数与图形的对称7．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点（0，2）．（1）若函数图象还经过点（﹣1，﹣4），求这个函数的表达式；（2）若点M（2m，m+3）关于x轴的对称点恰好落在该函数的图象上，求m的值．【分析】（1）用待定系数法即可解决问题．（2）先用m表示出点M关于x轴的对称点的坐标，再代入一次函数解析式即可．【解答】解：（1）由题知，因为点（0，2）和点（﹣1，﹣4）在一次函数的图象上，所以，解得．所以这个函数的表达式为y＝6x+2．（2）点M关于x轴的对称点的坐标为（2m，﹣m﹣3），又因为该对称点在一次函数的图象上，所以﹣m﹣3＝12m+2，解得m＝．故m的值为．8．如图，直线l：y＝3交x、y轴分别为A、B两点，C点与A点关于y轴对称．动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ＝∠BAO．（1）点A坐标是（﹣4，0），点B的坐标（0，3），BC＝5．（2）当点P在什么位置时，△APQ≌△CBP，说明理由．（3）当△PQB为等腰三角形时，求点P的坐标．【分析】（1）对于直线l解析式，分别令x与y为0求出y与x的值，确定出A与B的坐标，根据A与C关于y轴对称确定出C坐标，利用勾股定理求出BC的长即可；（2）由三角形APQ与三角形CBP全等，利用全等三角形对应边相等得到PQ＝BC＝5，由AP﹣OA＝OP，求出OP的长，确定出P坐标即可；（3）分三种情况考虑：当PQ＝PB时，由（2）确定出此时P的坐标；当BQ＝BP时，利用外角性质判断不可能；当BQ＝PQ时，求出此时P的坐标即可．【解答】解：（1）对于直线l：y＝x+3，令x＝0，得到y＝3；令y＝0，得到x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，3），即OB＝3，∵A与C关于y轴对称，∴C（4，0），即OC＝4，则根据勾股定理得：BC＝＝5；故答案为：（﹣4，0）；（0，3）；5；（2）由△APQ≌△CBP，得到AP＝BC＝5，∵A（﹣4，0），即OA＝4，∴OP＝5﹣4＝1，即P（1，0）；（3）（i）当PQ＝PB时，△APQ≌△CBP，由（2）知此时点P（1，0）；（ii）当BQ＝BP时，∠BQP＝∠BPQ，∵∠BQP是△APQ的外角，∴∠BQP＞∠BAP，又∵∠BPQ＝∠BAO，∴这种情况不可能；（iii）当BQ＝PQ时，∠QBP＝∠QPB，又∵∠BPQ＝∠BAO，∴∠QBP＝∠BAO，∴AP＝4+x，BP＝，∴4+x＝，解得：x＝﹣．此时点P的坐标为：（﹣，0）．综上，P的坐标为（1，0），（﹣，0）．10．如图，已知直线l：y＝2x+4交x轴于点A，交y轴于点B．（1）直线l向右平移2个单位长度得到的直线l1的表达式为y＝2x；（2）直线l关于y＝﹣x对称的直线l2的表达式为y＝x+2；（3）点P在直线l上，若S△OAP＝2S△OBP，求P点坐标．【分析】（1）利用平移的性质即可得出结论；（2）先得到原直线上的两个点的坐标，进而得到这两点关于y＝﹣x对称的点的坐标，代入直线解析式求解即可；（3）设P的坐标为（x，2x+4），由S△OAP＝2S△OBP，得到OA•|2x+4|＝2×OB•|x|，即|2x+4|＝4|x|，解得x＝﹣或2，即可求得P的坐标．【解答】解：（1）直线l：y＝2x+4向右平移2个单位得到的直线l2的解析式为：y＝2（x﹣2）+4，即y＝2x，故答案为y＝2x；（2）∵（0，4），（﹣2，0）在直线l：y＝2x+4上，这两点关于y＝﹣x的对称点为（﹣4，0），（0，2），设直线l1的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线l1的解析式为：y＝x+2，故答案为y＝x+2；（3）∵直线l：y＝2x+4交x轴于A，交y轴于B．∴A（﹣2，0），B（0，4），∴OA＝2，OB＝4，设P的坐标为（x，2x+4），∵S△OAP＝2S△OBP，∴OA•|2x+4|＝2×OB•|x|，即|2x+4|＝4|x|，解得x＝﹣或2，∴P（﹣，）或（2，8）．11．如图，在平面直角坐标系中，点A、点B分别在x轴与y轴上，直线AB的解析式为，以线段AB、BC为边作平行四边形ABCD．（1）如图1，若点C的坐标为（3，7），判断四边形ABCD的形状，并说明理由；（2）如图2，在（1）的条件下，P为CD边上的动点，点C关于直线BP的对称点是Q，连接PQ，BQ．①当∠CBP＝30°时，点Q位于线段AD的垂直平分线上；②连接AQ，DQ，设CP＝x，设PQ的延长线交AD边于点E，当∠AQD＝90°时，求证：QE＝DE，并求出此时x的值．【分析】（1）过C作CH⊥y轴于H，在y＝﹣x+3中，可得A（4，0），B（0，3），即有OA＝4，OB＝3，AB＝5，而C（3，7），故OB＝CH＝3，OA＝BH＝4，可证△AOB≌△BHC（SAS），得AB＝BC，∠ABO＝∠BCH，从而可得∠ABC＝90°，根据四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，∠ABC＝90°，即知四边形ABCD是正方形；（2）①过Q作QK⊥AD于K，连接CQ，由Q在AD的垂直平分线上，可得BQ＝CQ，而C关于直线BP的对称点是Q，有BC＝BQ，故△BCQ是等边三角形，∠CBQ＝60°，即可得∠CBP＝∠QBP＝∠CBQ＝30°；②由∠AQD＝90°，C关于直线BP的对称点是Q，四边形ABCD是正方形，可得∠DQE＝∠BQA，∠QDE＝∠BAQ，而AB＝BQ，有∠BQA＝∠BAQ，故∠DQE＝∠QDE，即得QE＝DE，从而可得DE＝QE＝AE＝，设CP＝PQ＝x，在Rt△PDE中有（5﹣x）2+（）2＝（x+）2，从而可解得x的值是．【解答】解：（1）四边形ABCD是正方形，理由如下：过C作CH⊥y轴于H，如图：在y＝﹣x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝4，∴A（4，0），B（0，3），∴OA＝4，OB＝3，AB＝＝5，∵C（3，7），∴BH＝OH﹣BO＝4，CH＝3，∴OB＝CH＝3，OA＝BH＝4，在△AOB和△BHC中，，∴△AOB≌△BHC（SAS），∴AB＝BC，∠ABO＝∠BCH，∵∠BCH+∠HBC＝90°，∴∠ABO+∠HBC＝90°，∴∠ABC＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是正方形；（2）①过Q作QK⊥AD于K，连接CQ，如图：∵Q在AD的垂直平分线上，∴直线QK是正方形ABCD的对称轴，∴QK是BC的垂直平分线，∴BQ＝CQ，∵C关于直线BP的对称点是Q，∴BC＝BQ，∴BC＝BQ＝CQ，∴△BCQ是等边三角形，∴∠CBQ＝60°，∵C关于直线BP的对称点是Q，∴∠CBP＝∠QBP＝∠CBQ＝30°，故答案为：30；②如图：∵∠AQD＝90°，∴∠DQE+∠EQA＝90°，∠QDE+∠DAQ＝90°，∵C关于直线BP的对称点是Q，四边形ABCD是正方形，∴∠BQP＝∠C＝90°，∠BAD＝90°，AB＝BC＝BQ，∴∠BQE＝90°＝∠BQA+∠EQA，∠BAQ+∠DAQ＝90°，∴∠DQE＝∠BQA，∠QDE＝∠BAQ，∵AB＝BQ，∴∠BQA＝∠BAQ，∴∠DQE＝∠QDE，∴QE＝DE，∵∠EQA＝90°﹣∠DQE＝90°﹣∠QDE＝∠EAQ，∴QE＝AE，∴DE＝QE＝AE，∴QE＝DE＝AD＝AB＝，设CP＝PQ＝x，则PD＝CD﹣x＝5﹣x，PE＝PQ+QE＝x+，在Rt△PDE中，PD2+DE2＝PE2，∴（5﹣x）2+（）2＝（x+）2，解得x＝，∴x的值是．12．平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点（a，0），交y轴于点（0，b），a、b满足b＝+4．（1）求A、B两点的坐标；（2）如图1，D为OA上一点，连接BD，过点O作OE⊥BD交AB于E，若∠BDO＝∠EDA，求点D的坐标；（3）如图2，点B、Q关于x轴对称，M为x轴上A点右侧一点，过点M作MN⊥BM交直线QA于点N，是否存在点M．使S△AMN＝S△AMQ，若存在，求点M的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意得：a≤4且a≥4，则a＝4，即可求解；（2）证明△BOG≌△OAE（ASA）和△GOD≌△EAD（AAS），即可求解；（3）由S△AMN＝S△AMQ，得到NP＝OQ＝6，证明△BOM≌△MNP（AAS），即可求解．【解答】解：（1）由题意得：a≤4且a≥4，则a＝4，当a＝4时，b＝+4＝4，则点A、B的坐标分别为：（4，0）、（0，4）；（2）如图，作∠AOB的角平分线交BD于点G，设BD交OE于点F，∴∠BOG＝∠OAE＝45°，OB＝OA，∴∠OBG＝∠AOE＝90°﹣∠BOF，∴△BOG≌△OAE（ASA），∴OG＝AE，∵∠BDO＝∠EDA，∠GOD＝∠EAD＝45°，OG＝AE，∴△GOD≌△EAD（AAS），∴DO＝AD，即点D（2，0）；（3）存在，理由：过点N作PN⊥x轴于点P，设NQ交BM于点G，∵∠BAN＝∠BMN＝90°，∠BGA＝∠NGM，∴∠ABM＝∠ANM，由对称性知，∠ABM＝∠AQM，OQ＝OB＝4，∴∠AQM＝∠ANM，∴QM＝MN＝BM，当S△AMN＝S△AMQ，则NP＝OQ＝6，∵∠BMN＝90°，∴∠BMO+∠NMP＝90°，∵∠BMO+∠OBM＝90°，∴∠OBM＝∠NMP，∴△BOM≌△MNP（AAS），∴OM＝NP＝6，∴点M（6，0）．类型三：一次函数的实际应用13．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝﹣x+m与x轴交于点A，点B在x轴的负半轴上，且．（1）求直线l的函数表达式；（2）点P是直线l上一点，连接BP，将线段BP绕点B顺时针旋转90°得到BQ．（ⅰ）当点Q落在y轴上时，连接AQ，求点P的坐标及四边形APBQ的面积；（ⅱ）作直线BP，AQ，两条直线在第一象限内相交于点C，记四边形APBQ的面积为S1，△ABC的面积为S2，若，求点Q的坐标．【分析】（1）由OB＝OA＝2得OA＝4，则A（4，0），用待定系数法即可求解；（2）（ⅰ）设P（p，﹣p+4），过P作PD⊥x轴于点D，证明△PDB≌△BOQ（AAS），根据全等三角形的性质可得P、Q的坐标，即可求解；（ⅱ）设P（n，﹣n+4），过C作CF⊥x轴于点F，过P作PD⊥x轴于点D，过Q作QE⊥x轴于点E，证明△PDB≌△BEQ（AAS），根据全等三角形的性质可得Q的坐标，可得S1＝AB•（﹣n+4）+AB•（n+2）＝18，则S2＝6，可得CF＝2，利用待定系数法求出直线AQ为y＝x﹣4，则C（6，2），再利用待定系数法求出直线BC为y＝x+，联立直线l：y＝﹣x+4求出n＝，即可得点Q的坐标．【解答】解：（1）∵OB＝OA＝2，∴OA＝4，∴A（4，0），∵直线l：y＝﹣x+m与x轴交于点A，∴﹣4+m＝0，解得m＝4，∴直线l的表达式为y＝﹣x+4；（2）（ⅰ）设P（p，﹣p+4），过P作PD⊥x轴于点D，∵OB＝OA＝2，∴B点的坐标为（﹣2，0），∴OB＝2，AB＝6，∵∠BOQ＝∠PDB＝∠QBP＝90°，∴∠BQO+∠QBO＝90°，∠PBD+∠QBO＝90°，∴∠BQO＝∠PBD，∵PB＝BQ，∴△PDB≌△BOQ（AAS），∴PD＝BO＝2＝﹣p+4，OQ＝DB＝2+p，∴p＝2，∴点P的坐标为（2，2），点Q的坐标为（0，﹣4），∴S四边形APBQ＝S△APB+S△AQB＝×6×2+×6×4＝18；（ⅱ）设P（n，﹣n+4），过C作CF⊥x轴于点F，过P作PD⊥x轴于点D，过Q作QE⊥x轴于点E，同理得△PDB≌△BEQ（AAS），∴PD＝BE＝﹣n+4，EQ＝DB＝2+n，∴OE＝OB﹣BE＝2+n﹣4＝n﹣2，∴Q（﹣n+2，﹣n﹣2），∴S1＝AB•（﹣n+4）+AB•（n+2）＝×6（﹣n+4）+×6（n+2）＝18，∴S2＝S1＝×6•CF＝6，∴CF＝2，设直线AQ的解析式为y＝kx+a，∴，解得，∴直线AQ的解析式为y＝x﹣4，∴C（6，2），设直线BC的解析式为y＝sx+t，∴，解得，∴直线BC的解析式为y＝x+，联立直线l：y＝﹣x+4得，解得，∴P（，），∴n＝，∴点Q的坐标为（﹣，﹣）．14．如图所示，在平面直角坐标系中，点A（﹣4，3），连结OA，将线段OA绕点O顺时针旋转90°到OB，将点B向左平移5个单位长度至点C，连结BC．（1）求点B、点C的坐标；（2）将直线BC绕点C顺时针旋转45°，交x轴于点D，求直线CD的函数表达式；（3）现有一动点P从C出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线CD运动，运动时间为t秒．请探究：当t等于多少时，△BCP为等腰三角形．【分析】（1）过A、B分别做AE、BF垂直于x轴于E，F，根据将线段OA绕点O顺时针旋转90°到OB，可证△AEO≌△OFB（AAS），有AE＝OF＝3，OE＝BF＝4，即知B（3，4），而将点B向左平移5个单位长度至点C，故C（﹣2，4）；（2）设BC交y轴于T，CD交y轴于K，由B（3，4），BC＝5，得CT＝BC﹣BT＝5﹣3＝2，根据将直线BC绕点C顺时针旋转45°，交x轴于点D，BC⊥y轴，知△CKT是等腰直角三角形，故CT＝KT＝2，K（0，2），再用待定系数法可得直线CD的解析式为y＝﹣x+2；（3）分三种情况：①当CB＝CP＝5时，2t＝5，得t＝2.5；②当BC＝BP＝5时，∠BCP＝∠BPC＝45°，知∠CBP＝90°，故CP＝＝5，可得t＝；③当PB＝PC时，P在BC的垂直平分线上，有xP＝＝，在y＝﹣x+2中，令x＝P（，），故CP＝＝，得t＝．【解答】解：（1）过A、B分别做AE、BF垂直于x轴于E，F，如图：∵将线段OA绕点O顺时针旋转90°到OB，∴OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠AOE＝90°﹣∠BOF＝∠OBF，∵∠AEO＝∠BFO＝90°，∴△AEO≌△OFB（AAS），∵A（﹣4，3），∴AE＝OF＝3，OE＝BF＝4，∴B（3，4），∵将点B向左平移5个单位长度至点C，∴BC＝5，∴C（﹣2，4）；（2）设BC交y轴于T，CD交y轴于K，如图：∵B（3，4），BC＝5，∴CT＝BC﹣BT＝5﹣3＝2，∵将直线BC绕点C顺时针旋转45°，交x轴于点D，BC⊥y轴，∴△CKT是等腰直角三角形，∴CT＝KT＝2，∴OK＝OT﹣KT＝4﹣2＝2，∴K（0，2），设直线CD的解析式为y＝kx+b，把C（﹣2，4），K（0，2）代入得：，解得，∴直线CD的解析式为y＝﹣x+2；（3）①当CB＝CP＝5时，如图：∴2t＝5，解得t＝2.5；②当BC＝BP＝5时，如图：∴∠BCP＝∠BPC＝45°，∴∠CBP＝90°，∴CP＝＝5，∴2t＝5，解得t＝；③当PB＝PC时，如图：∴P在BC的垂直平分线上，∵B（3，4），C（﹣2，4），∴xP＝＝，在y＝﹣x+2中，令x＝得y＝﹣+2＝，∴P（，），∴CP＝＝，∴2t＝，解得t＝；综上所述，当t等于秒或秒或秒时，△BCP为等腰三角形．15．如图，一次函数y＝kx+2的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，且A（﹣1，0）．（1）求k的值；（2）若将一次函数y＝kx+2的图象绕点B顺时针旋转90°，所得的直线与x轴交于点C，且S△ABC＝5，求点C的坐标；（3）在（2）的条件下，若P是x轴上任意一点，当△PBC是以BC为腰的等腰三角形时，请求出点P的坐标．【分析】（1）把点A的坐标代入一次函数解析式中即可求出k的值；（2）根据S△ABC＝5，可以求出AC的长，即可求得C的坐标；（3）分CB＝PB、PC＝BC两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+2的图象与x轴交于点A（﹣1，0），∴﹣k+2＝0．∴k＝2；（2）∵k＝2，∴一次函数y＝2x+2，令x＝0，则y＝2，∴B（0，2），∵S△ABC＝5，∴AC•OB＝AC×2＝5，∴AC＝5，∵A（﹣1，0），∴C（4，0）；（3）设点P（x，0），由点C、B、P的坐标得：BP2＝x2+22，PC2＝（x﹣4）2，CB2＝42+22＝20，当CB＝PB时，即x2+22＝20，解得x＝4（舍去）或﹣4，当PC＝BC时，（x﹣4）2＝20，解得x＝4+2或4﹣2；∴点P的坐标为（﹣4，0）或（4+2，0）或（4﹣2，0）．16．如图1，直线y＝x和直线y＝﹣x+b相交于点A，直线y＝﹣x+b与x轴交于点C，点P在线段AC上，PD⊥x轴于点D，交直线y＝x于点Q．且QP＝OA，已知A点的横坐标为4．（1）求点C的坐标．（2）如图2，∠OQP平分线交x轴于点M．①求直线QM的解析式．②将直线QM绕着点M旋转45°，旋转后的直线与y轴交于点N．直接写出点N的坐标．【分析】（1）先求点A的坐标，再由待定系数法确定直线的解析式为y＝﹣x+5，利用解析式求C点坐标即可；（2）①设P（t，﹣t+5），Q（t，t），根据PQ＝OA，求出Q（8，6），过点M作MG⊥OQ交OQ于点G，在Rt△OMG中，利用勾股定理得OM2＝42+（8﹣OM）2，求出MO即可知M点坐标，再求直线QM的解析式为y＝2x﹣10；②分MQ逆时针和顺时针两种情况讨论，利用等腰直角三角形的性质和三角形全等求解即可．【解答】解：（1）∵A点的横坐标为4，∴当x＝4时，y＝×4＝3，∴A（4，3），将点（4，3）代入y＝﹣x+b，﹣2+b＝3，解得b＝5，∴直线解析式为y＝﹣x+5，当y＝0时，x＝10，∴C（10，0）；（2）①设P（t，﹣t+5），Q（t，t），∴PQ＝t+t﹣5，∵A（4，3），∴OA＝5，∴5＝t+t﹣5，解得t＝8，∴Q（8，6），∴OQ＝10，如图2，过点M作MG⊥OQ交OQ于点G，∵QM是∠OQD的平分线，MD⊥OC，∴MG＝MD，∵DQ＝6，OD＝8，∴GQ＝DQ＝6，∴OG＝4，在Rt△OMG中，OM2＝OG2+GM2，即OM2＝42+（8﹣OM）2，解得MO＝5，∴M（5，0），设直线QM的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线QM的解析式为y＝2x﹣10；②当MQ绕M点逆时针旋转45°时，如图3，过点M作HQ⊥HM，过点H作KL⊥x轴，过点Q作QK⊥HL交于K，∵∠HMQ＝45°，∴HM＝HQ，∵∠KHQ+∠LHM＝90°，∵∠KHQ+∠KQH＝90°，∴∠LHM＝∠KQH，∴△KHQ≌△LMH（AAS），∴KQ＝HL，KH＝LM，设ML＝a，则KH＝a，∵KL＝6，∴HL＝KQ＝6﹣a，∴8﹣（6﹣a）＝5﹣a，解得a＝，∴H（，），设直线HM的解析式为y＝k'x+b'，∴，解得，∴直线HM的解析式为y＝﹣3x+15，∴N（0，15）；当QM绕M点顺时针旋转45°时，如图4，过点Q作QS⊥MS，过点S作TR⊥x轴交于R，过点Q作QT⊥TR交于T，∴△QTS≌△SRM（AAS），∴QT＝SR，TS＝MR，设MR＝m，则ST＝m，∵TR＝6，∴SR＝QT＝6﹣m，∴8+6﹣m＝5+m，解得m＝，∴S（，），∴直线MS的解析式为y＝x﹣，∴N（0，﹣）；综上所述：N点坐标为（0，15）或（0，﹣）．类型四：一次函数与三角形17．如图，直线l：y＝ax+3交x轴于点A（6，0），将直线l向下平移4个单位长度，得到的直线分别交x轴，y轴于点B，C．（1）求a的值及B，C两点的坐标；（2）点M为线段AB上一点，连接CM并延长，交直线l于点N，若△AMN是等腰三角形，求点M的坐标．【分析】（1）把A的坐标代入y＝ax+3即可求得a＝﹣，然后利用平移的规律求得平移后的直线解析式，由函数解析式，令y＝0求A点坐标，x＝0求B点坐标；（2）分三种情况讨论：若MN＝AN时，求得BC＝CM，即可求得OB＝OM＝2，得到M（2，0）；若AM＝AN时，求得BM＝BC＝，得到M（﹣2，0）．若AM＝MN时，求得CM＝BM，得到M（﹣，0）．【解答】解：（1）∵直线l：y＝ax+3交x轴于点A（6，0），∴6a+3＝0，解得a＝﹣，∴y＝﹣，∴将直线l向下平移4个单位长度，得到的直线y＝﹣+3﹣4＝﹣，令y＝0，则﹣﹣1＝0，解得x＝﹣2，令x＝0，则y＝﹣1，∴B（﹣2，0），C（0，﹣1）；（2）若MN＝AN时，则∠AMN＝∠MAN，∵AN∥BC，∴∠MAN＝∠MBC，∵∠AMN＝∠BMC，∴∠MBC＝∠BMC，∴BC＝CM，∵CO⊥BM，∴OM＝OB＝2，∴M（2，0），若AM＝AN时，则∠AMN＝∠ANM，∵AN∥BC，∴∠ANM＝∠BCM，∵∠AMN＝∠BMC，∴∠BCM＝∠BMC，∴BC＝BM，∵B（﹣2，0），C（0，﹣1），∴BC＝＝，∴OM＝﹣2，∴M（﹣2，0），若AM＝MN时，则∠MAN＝∠ANM，∵AN∥BC，∴∠MAB＝∠MBC，∠MCB＝∠MNA，∴∠MBC＝∠MCB，∴CM＝BM，∴CM2＝（OB﹣OM）2+OC2，即（2﹣OM）2＝OM2+12，∴OM＝，∴M（﹣，0），综上，M的坐标为（2，0）或（﹣2，0）或（﹣，0）．18．直线AB：y＝﹣x+b分别与x，y轴交于A（8、0）、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于C，且OB：OC＝4：3（1）求点B的坐标为（0，8）；（2）求直线BC的解析式；（3）动点M从C出发沿CA方向运动，运动的速度为每秒1个单位长度．设M运动t秒时，当t为何值时△BCM为等腰三角形．【分析】（1）根据待定系数法，可得AB的解析式，根据自变量的值，可得相应的函数值；（2）根据OB：OC＝4：3，可得OC的长，根据待定系数法，可得函数解析式；（3）根据等腰三角形的定义，分类讨论：MC＝BC，MC＝MB，BC＝BM，①当MC＝BC时，根据路程处以速度等于时间，可得答案；②当MC＝MB时，根据两点间的距离，可得关于a的方程，根据解方程，可得a的值，再根据路程除以速度等于时间，可得答案；③当BC＝BM时，根据线段垂直平分线的性质，可得MO的长，再根据两点间的距离，可得MC的长，根据路程除以速度等于时间，可得答案．【解答】解：（1）y＝﹣x+b分别与x轴交于A（8、0），得﹣8+b＝0．解得b＝8，即函数解析式为y＝﹣x+8，当x＝0时，y＝8，B点坐标是（0，8）；（2）由OB：OC＝4：3，BC＝8，得8：BC＝4：3，解得BC＝6，即C（﹣6，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，图象经过点B，C，得，解得，直线BC的解析式为y＝x+8；（3）设M点坐标（a，0），由勾股定理，得BC＝＝10，①当MC＝BC＝10时，由路程处以速度等于时间，得10÷1＝10（秒），即M运动10秒，△BCM为等腰三角形；②当MC＝MB时，MC2＝MB2，即（a+6）2＝a2+82，化简，得12a＝28，解得a＝即M（，0）．MC＝﹣（﹣6）＝+6＝，由路程除以速度等于时间，得÷1＝（秒），即M运动秒时，△BCM为等腰三角形；③当BC＝BM时，得OC＝OM＝6，即MC＝6﹣（﹣6）＝6+6＝12，由路程除以速度等于时间，得12÷1＝12（秒），即M运动12秒时，△BCM为等腰三角形，综上所述：t＝10（秒），t＝（秒），t＝12（秒）时，△BCM为等腰三角形．19．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线y＝﹣相交于点C（2，m）．（1）求m和b的值；（2）若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒．①若点P在线段DA上，且△ACP的面积为10，求t的值；②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）在y＝x+2中，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝﹣2；即可得出答案；求出点C（2，4），代入直线y＝x+b即可得出答案；求出D（10，0），则OD＝10，AD＝OA+OD＝12；①设PD＝t，则AP＝12﹣t，过C作CE⊥AP于E，由三角形面积得出方程，解方程即可；②过C作CE⊥AP于E，则CE＝4，AE＝4，由勾股定理求出AC＝4；分三种情况：当AC＝PC时；当AP＝AC时；当PC＝PA时；分别求出t的值即可．【解答】解：（1）在y＝x+2中，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝﹣2；∴A（﹣2，0），B（0，2）；∵点C在直线y＝x+2上，∴m＝2+2＝4，又∵点C（2，4）也在直线y＝x+b上，∴×2+b＝4，解得：b＝5；（2）在y＝x+5中，当y＝0时，x＝10，∴D（10，0），∴OD＝10，∵A（﹣2，0），∴OA＝2，∴AD＝OA+OD＝12；①设PD＝t，则AP＝12﹣t，过C作CE⊥AP于E，如图1所示：则CE＝4，∵△ACP的面积为10，∴（12﹣t）×4＝10，解得：t＝7；②存在，理由如下：过C作CE⊥AP于E，如图1所示：则CE＝4，OE＝2，∴AE＝OA+OE＝4，∴AC＝＝＝4；a、当AC＝PC时，AP＝2AE＝8，∴PD＝AD﹣AP＝4，∴t＝4；b、当AP＝AC时，如图2所示：则AP1＝AP2＝AC＝4，∴DP1＝12﹣4，DP2＝12+4，∴t＝12﹣4，或t＝12+4；c、当PC＝PA时，如图3所示：设EP＝m，则CP＝，AP＝m+4，∴＝m+4，解得：m＝0，∴P与E重合，AP＝4，∴PD＝8，∴t＝8；综上所述，存在t的值，使△ACP为等腰三角形，t的值为4或12﹣4或12+4或8．20．已知直线l1：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线沿x轴翻折，得到一个新函数的图象l2（图1），直线l2与y轴交于点C．（1）求新函数的图象l2的解析式；（2）在射线AC上一动点D（x，y），连接BD，试求△BAD的面积S关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（3）如图2，过点E（2，﹣6）画平行于y轴的直线EF，①求证：△ABE是等腰直角三角形；②将直线l1沿y轴方向平移，当平移到恰当距离的时候，直线l1与x轴交于点A1，与y轴交于点B1，在直线EF上是否存在点P（纵、横坐标均为整数），使得△A1B1P是等腰直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．【分析】（1）求出A，B的坐标，根据对称性，求出C点坐标，待定系数法，求出l2的解析式即可；（2）分点D在线段AC上和点D在线段AC的延长线上，两种情况进行讨论求解即可；（3）①求出AB，AE，BE的长，利用勾股定理逆定理进行判断即可；②分点P，点B1，点A1分别为直角顶点，三种情况进行讨论求解即可．【解答】（1）解：∵y＝x﹣2，当x＝0时，y＝﹣2，当y＝0时，x＝4，∴A（4，0），B（0，﹣2），∵将直线沿x轴翻折，得到一个新函数的图象l2（图1），直线l2与y轴交于点C，∴C与B关于x轴对称，l2过点A，∴C（0，2），设l2：y＝kx+2，将A（4，0），代入得：，∴l2：y＝﹣x+2；（2）解：∵A（4，0），B（0，﹣2），C（0，2），∴BC＝4，OA＝4，∴S△ABC＝×4×4＝8，①当点D在线段AC上，如图1.1：即：0≤x＜4时，S＝S△ABC﹣S△DBC＝8﹣×4x＝8﹣2x；②当点D在线段AC的延长线上，如图1.2，即：x＜0时，S＝S△ABC+S△DBC＝8+×4（﹣x）＝8﹣2x，综上：S＝8﹣2x（x＜4）；（3）①证明：∵A（4，0），B（0，﹣2），E（2，﹣6），∴AB＝＝2＝＝2，BE＝＝2，∴AB＝BE，AB2+BE2＝40＝AE2，∴△ABE是等腰直角三角形；②存在，理由如下：当点P为直角顶点时，设P（2，n），如图2：由平移的性质，设直线A1B1的解析式为，当x＝0时，y＝b，当y＝0时，x＝﹣2b，∴A1（﹣2b，0），B（0，b），过点B1作B1G⊥EF，设EF交x轴于点H，∵△A1B1P为等腰直角三角形，EF∥y轴，∴∠A1PB1＝∠B1GP＝∠PHA1＝90°，PB1＝PA1，B1G＝2，∴∠B1PG＝∠PA1H＝90°﹣∠APH，∴△PA1H≌△B1PG（AAS），∴PH＝B1G＝2，A1H＝PG，∴|n|＝2，|b﹣n|＝|﹣2b﹣2|，∴当n＝2时，b＝﹣4或b＝0，当n＝﹣2时，或b＝0；∴P（2，2）或P（2，﹣2）；当点B1为直角顶点时，如图3：过点P作PH⊥y轴，则PH＝2，同上法可得：△B1OA1≌△PHB1，∴OB1＝PH＝2，B1H＝OA1，∴B1（0，2）或B1（0，﹣2）（舍去）；∴直线AB向上平移了4个单位，∴直线A1B1的解析式为：，∴当y＝0时，x＝﹣4，∴A1（﹣4，0），∴B1H＝OA1＝4，∴OH＝2，∴P（2，﹣2）；当点A1为直角顶点时：此时A1在x轴正半轴上，B1在y轴负半轴上，设平移后的解析式为：，当x＝0时，y＝m，当y＝0时，x＝﹣2m，∴A1（﹣2m，0），B（0，m），当A1在EF的右侧时，如图4：同法可得：△A1OB1≌△PHA1，∴PH＝OA1＝﹣2m，A1H＝OB1＝﹣m，∴OH＝﹣2m﹣（﹣m）＝2，解得：m＝﹣2，∴PH＝OA1＝4，∴P（2，4）；当A1在EF的左侧时，如图5：同法可得：△A1OB1≌△PHA1，∴PH＝OA1＝﹣2m，A1H＝OB1＝﹣m，∴OH＝﹣2m﹣m＝2，∴m＝﹣，∴PH＝OA1＝（不合题意，舍去）；综上：P（2，2）或P（2，﹣2）或P（2，4）．类型五：一次函数与四边形21．如图1，直线y1＝2x﹣2与x轴，y轴分别交于A，B两点，与直线y2＝kx+2（k＞0）交于点C，直线y2与y轴交于点G．平移线段BC，点B，C的对应点D，E分别在直线y2和y轴上，连结CE．（1）若C点横坐标为4，求k的值；（2）若∠DEC＝90°，求点C的坐标；（3）如图2，作点E关于直线CD的对称点F，连接FB，FC，是否存在四边形CFBG是平行四边形的情况，若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先求出C（4，6），再代入y2＝kx+2，即可求得答案；（2）根据平移的性质可得DE∥BC，DE＝BC，再结合∠DEC＝90°，得出四边形BCED是矩形，推出点G是BE的中点，也是CD的中点，CD＝BE，设C（m，2m﹣2），则D（﹣m，6﹣2m），利用勾股定理建立方程求解即可得出答案；（3）设C（m，2m﹣2），代入y2＝kx+2，可求得m＝，即C（，），利用平行四边形性质可得CF∥BG，CF＝BG，进而可得F（，），运用待定系数法可得直线EF的解析式为y＝（3k﹣4）x+6，根据轴对称性质可得EF⊥CD，即k（3k﹣4）＝﹣1，即可求得答案．【解答】解：（1）在y1＝2x﹣2中，令x＝4，得y＝2×4﹣2＝6，∴C（4，6），把C（4，6）代入y2＝kx+2，得：6＝4k+2，∴k＝1；（2）如图1，连接BD，∵平移线段BC，点B，C的对应点D，E，∴DE∥BC，DE＝BC，∴四边形BCED是平行四边形，∵∠DEC＝90°，∴四边形BCED是矩形，∴BE与CD互相平分，即点G是BE的中点，也是CD的中点，CD＝BE，∵G（0，2），∴E（0，6），∴BE＝6﹣（﹣2）＝8，设C（m，2m﹣2），则D（﹣m，6﹣2m），∴（2m）2+（4m﹣8）2＝82，解得：m＝0（舍去）或m＝，∴C（，）；（3）存在四边形CFBG是平行四边形的情况，k＝1或．在y1＝2x﹣2中，令x＝0，得y＝﹣2，∴B（0，﹣2），设C（m，2m﹣2），代入y2＝kx+2，得：2m﹣2＝km+2，∴m＝，∴C（，），由（2）得：E（0，6），G（0，2），如图，设EF、CD交于点H，∵四边形CFBG是平行四边形，∴CF∥BG，CF＝BG，∴F（，），∴直线EF的解析式为y＝（3k﹣4）x+6，∵点E、点F关于直线CD对称，∴EF⊥CD，∴k（3k﹣4）＝﹣1，即（k﹣1）（3k﹣1）＝0，解得：k1＝1，k2＝；故存在四边形CF