不等式-向量-解三角形专题练习作业含答案

专题集训·作业(九)一、选择题1．平行六面体的各棱长均为4，在其顶点P所在的三条棱上分别取PA＝1，PB＝2，PC＝3，则棱锥P－ABC的体积是平行六面体的体积的()A.eq\f(1,64) B.eq\f(3,64)C.eq\f(1,32) D.eq\f(3,32)答案A解析由已知可将平行六面体模型化为正方体，则有V正方体＝64，VP－ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×2×3＝1，故选A.2．(2014·合肥一中模拟)e，π分别是自然对数的底数和圆周率，则下列不等式不成立的是()A．logπe＋(logeπ)2>2 B．logπeq\r(e)＋logeeq\r(π)>1C．ee－e>eπ－π D．(e＋π)3<4(e3＋π3)答案C解析设f(x)＝ex－x(x>0)，则f′(x)＝ex－1，当x>0时，f′(x)>0，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以f(π)>f(e)，即eπ－π>ee－e.3．(2014·鄂西示范性学校联考)命题“∀x∈R，x2－3x＋2≥0”A．∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)－3x0＋2<0B．∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)－3x0＋2>0C．∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)－3x0＋2≤0D．∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)－3x0＋2≥0答案A解析求全称命题的否定时，需要先把全称量词改写为存在量词，再对结论进行否定，所以原命题的否定为“∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)－3x0＋2<0”．4．(2014·襄阳五校联考)已知双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，离心率为2，F1，F2分别是它的左、右焦点，A是它的右顶点，过F1作一条斜率为k(k≠0)的直线与双曲线交于两个点M，N，则∠MAN＝()A．30° B．45°C．60° D．90°答案D解析由离心率为2，可得c＝2a，b2＝3a2，则双曲线方程为3x2－y2＝3a2.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，因直线MN的斜率不为零，则可设其方程为x＝my－2a，与双曲线方程联立得(3m2－1)y2－12amy＋9a2＝0，从而有3m2－1≠0，y1＋y2＝eq\f(12am,3m2－1)，且y1y2＝eq\f(9a2,3m2－1).则eq\o(AM,\s\up16(→))·eq\o(AN,\s\up16(→))＝(x1－a)(x2－a)＋y1y2＝(my1－3a)(my2－3a)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2－3am(y1＋y2)＋9a2＝eq\f(9a2m2＋1,3m2－1)－eq\f(36a2m2,3m2－1)＋9a2＝0，故选D.5．某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的外接球体积为()A.eq\f(\r(3),2)π B.eq\r(3)πC．2eq\r(3)π D．3eq\r(3)π答案A解析由正视图和侧视图均是腰长为1的等腰直角三角形，可得该几体体是一个四棱锥(如图所示)，底面BCDE是边长为1的正方形，侧棱AE⊥底面BCDE，所以根据球与四棱锥的对称性知，外接球的直径是AC.根据勾股定理知AC＝eq\r(1＋1＋1)＝eq\r(3)，所以外接球半径为eq\f(\r(3),2)，于是该几何体的外接球体积V＝eq\f(4,3)π×(eq\f(\r(3),2))3＝eq\f(\r(3),2)π.故选A.6．已知对于任意的a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于0，则xA．1<x<3 B．x<1或x>3C．1<x<2 D．x<2或x>2答案B解析将f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a看作是a的一次函数，记为g(a)＝(x－2)a＋x2－4x当a∈[－1,1]时恒有g(a)>0，只需满足条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g1>0，,g－1>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－3x＋2>0，,x2－5x＋6>0，))解之得x<1或x>3.7．已知在正三棱锥S－ABC中，E是侧棱SC的中点，且SA⊥BE，则SB与底面ABC所成角的余弦值为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(\r(6),3)答案D解析如图所示，在正三棱锥S－ABC中，作SO⊥平面ABC，连接AO，则O是△ABC的中心，所以SO⊥BC，AO⊥BC.由此可得BC⊥平面SAO，所以SA⊥BC.又SA⊥BE，所以SA⊥平面SBC，故正三棱锥S－ABC的各侧面全等且均是等腰直角三角形．连接OB，则∠SBO为SB与底面ABC所成的角．设SA＝a，则AB＝eq\r(2)a，BO＝eq\f(\r(6),3)a，所以cos∠SBO＝eq\f(\r(6),3).8．定义在R上的可导函数f(x)，当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋f′(x)<xf′(x)恒成立，若a＝f(2)，b＝eq\f(1,2)f(3)，c＝(eq\r(2)＋1)f(eq\r(2))，则a，b，c的大小关系为()A．c<a<b B．b<c<aC．a<c<b D．c<b<a答案A解析设g(x)＝eq\f(fx,x－1)，则g′(x)＝eq\f(f′xx－1－fx,x－12).由于f(x)＋f′(x)<xf′(x)，即f′(x)(x－1)－f(x)>0，因此g(x)＝eq\f(fx,x－1)在(1，＋∞)上为增函数，故c<a<b.9．过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与直线AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线lA．1条 B．2条C．3条 D．4条答案D解析本题考查了空间直线与直线所成角问题，考查空间想象能力．显然正方体的对角线AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，将该正方体以A为坐标原点，AB，AD，AA1分别为坐标轴建立空间直角坐标系，则可以得到8个象限，其中在平面ABCD上方的四个象限内的每一个象限内均有一条与AC1相似的对角线与此三条棱成等角，即这样的直线l有4条，故应选D.10．(2014·芜湖三校一模)已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R，满足f(ab)＝af(b)＋bf(a)，f(2)＝2.若bn＝eq\f(f2n,2n)(n∈N*)，则数列{bn}的通项公式为()A．n B．n－1C．2n D．2n－1答案A解析∵f(ab)＝af(b)＋bf(a)，f(2)＝2，∴f(2n＋1)＝2f(2n)＋2nf(2)＝2f(2n)＋2n＋1.∵bn＝eq\f(f2n,2n)(n∈N*)，又eq\f(f2n＋1,2n＋1)＝eq\f(f2n,2n)＋1，即bn＋1－bn＝1，∴{bn}成等差数列，且b1＝eq\f(f2,2)＝1，∴bn＝b1＋(n－1)×1＝1＋n－1＝n，n∈N*.11．(2014·孝感市质检)若函数f(x)＝x－1＋eq\f(1,ex)(a∈R，e为自然对数的底数)的图像与直线l：y＝kx－1没有公共点，则实数k的最大值为()A．0 B．1C．－1 D.eq\f(1,e)答案B解析令g(x)＝f(x)－(kx－1)＝(1－k)x＋eq\f(1,ex)，则直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)没有公共点，等价于方程g(x)＝0在R上没有实数解．假设k>1，此时g(0)＝1>0.g(eq\f(1,k－1)eq\r())＝－1＋eq\f(1,e\f(1,k－1))<0.又函数g(x)的图像是连续的，由零点存在性定理，可知g(x)＝0在R上至少有一个解，与方程g(x)＝0在R上没有实数解矛盾，故k≤1.又k＝1时，g(x)＝eq\f(1,ex)>0，易知方程g(x)＝0在R上没有实数解．所以实数k的最大值为1.12．(2014·武汉部分学校调研)椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右顶点分别为A1，A2，若点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，则直线PA1斜率的取值范围是()A．[eq\f(1,2)，eq\f(3,4)] B．[eq\f(3,8)，eq\f(3,4)]C．[eq\f(1,2)，1] D．[eq\f(3,4)，1]答案B解析椭圆的左顶点为A1(－2,0)，右顶点为A2(2,0)，设点P(x0，y0)，则eq\f(x\o\al(2,0),4)＋eq\f(y\o\al(2,0),3)＝1，得eq\f(y\o\al(2,0),x\o\al(2,0)－4)＝－eq\f(3,4).而kPA2＝eq\f(y0,x0－2)，kPA1＝eq\f(y0,x0＋2)，所以kPA2·kPA1＝eq\f(y\o\al(2,0),x\o\al(2,0)－4)＝－eq\f(3,4).又kPA2∈[－2，－1]，所以kPA1∈[eq\f(3,8)，eq\f(3,4)]．二、填空题13．已知函数f(x)＝3x＋sinx＋1，若f(t)＝2，则f(－t)＝________.答案0解析由于g(x)＝3x＋sinx为奇函数，且f(t)＝3t＋sint＋1＝2，所以3t＋sint＝1，则f(－t)＝g(－t)＋1＝－1＋1＝0.14．(2014·皖西四校联考)若正数x，y满足2x＋3y－3＝0，则eq\f(x＋2y,xy)的最小值为________．答案eq\f(7＋4\r(3),3)解析由2x＋3y－3＝0，得1＝eq\f(2x＋3y,3).于是eq\f(x＋2y,xy)＝eq\f(1,y)＋eq\f(2,x)＝(eq\f(1,y)＋eq\f(2,x))·eq\f(2x＋3y,3)＝eq\f(1,3)(7＋eq\f(2x,y)＋eq\f(6y,x))≥eq\f(1,3)×(7＋4eq\r(3))＝eq\f(7＋4\r(3),3)，当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2x,y)＝\f(6y,x)，,2x＋3y－3＝0，))即x＝6－3eq\r(3)，y＝2eq\r(3)－3时，等号成立．故最小值为eq\f(7＋4\r(3),3).15．已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x<0时，g(x)＝－ln(1－x)，函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3，x≤0，,gx，x>0，))若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是________．答案(－2,1)解析方法一由题意可知，当x≥0时，g(x)＝－g(－x)＝－[－ln(1＋x)]＝ln(1＋x)，所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3，x≤0，,ln1＋x，x>0.))当x≤－eq\r(2)时，由f(2－x2)>f(x)，得(2－x2)3>x3，因为f(x)＝x3在R上为增函数，所以有2－x2>x，解得－2<x<1，即－2<x≤－eq\r(2).当－eq\r(2)<x≤0时，由f(2－x2)>f(x)，得ln(1＋2－x2)>x3，即－eq\r(2)<x≤0.当0<x<eq\r(2)时，由f(2－x2)>f(x)，得ln(1＋2－x2)>ln(1＋x)，所以有2－x2>x，解得－2<x<1，即0<x<1.当x≥eq\r(2)时，由f(2－x2)>f(x)，得(2－x2)3>ln(1＋x)，无解．综上得－2<x<1.方法二同上得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3，x≤0，,ln1＋x，x>0.))易知f(x)在R上是增函数，由f(2－x2)>f(x)，得2－x2>x，即x2＋x－2<0，∴－2<x<1.16．已知F1，F2分别是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为双曲线左支上一点，若eq\f(|PF2|2,|PF1|)的最小值为8a，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．答案(1,3]解析∵P为双曲线左