高三数学二轮总复习 训练14 空间中的平行与垂直 理

常考问题14空间中的平行与垂直(建议用时：50分钟)1．(·无锡模拟)对于直线m，n和平面α，β，γ，有如下四个命题：①若m∥α，m⊥n，则n⊥α；②若m⊥α，m⊥n，则n∥α；③若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ；④若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β.其中正确命题的序号是________．解析n有可能平行于α或在α内，所以①不正确；n有可能在α内，所以②不正确；α可以与γ相交，所以③不正确．答案④2．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，有下列四个命题：①若l⊥α，m⊂α，则l⊥m；②若l⊥α，l∥m，则m⊥α；③若l∥α，m⊂α，则l∥m；④若l∥α，m∥α，则l∥m.则其中正确命题的序号是________．解析根据线面垂直的判定定理、性质定理可知①②正确．答案①②3．如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC中点，则三棱锥B­B1EF解析VB­B1EF＝VE­B1FB＝eq\f(1,3)S△B1BF·EB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×1×1＝eq\f(1,3).答案eq\f(1,3)4．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则下列4组条件中所有能推得a⊥b的条件是________(填序号)．①a⊂α，b∥β，α⊥β；②a⊥α，b⊥β，α⊥β；③a⊂α，b⊥β，α∥β；④a⊥α，b∥β，α∥β.解析由①a⊂α，b∥β，α⊥β可能得到两直线垂直，平行或异面，②③④均能得到两直线垂直，故填写②③④.答案②③④5．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段解析∵EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，又∵E是AD的中点，∴F是CD的中点，即EF是△ACD的中位线，∴EF＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)＝eq\r(2).答案eq\r(2)6．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题的序号______(写出所有真命题的序号)．解析①②为课本上的结论，是真命题；③α和β不垂直时，α内也有一组平行直线垂直于l；④l与α内的两条直线垂直不能得出l与α垂直，如α内的两条直线平行时，则不能推出l⊥α.答案①②7．(·泰州模拟)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点M，N分别在AB1，BC1上(M，N不与B1，C1重合)，且AM＝BN，那么①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④MN与A解析过M作MP∥AB交BB1于P，连接NP，则平面MNP∥平面A1C1，所以MN∥平面A1B1C1D1，又AA1⊥平面A1B1C1D1，所以AA1⊥MN.当M与B1重合，N与C1重合时，则A1C1与答案①③8．(·苏中四市调研)在正三棱锥P­ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，下列结论：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE，其中正确结论的序号是________．解析如右图，设P在面ABC内射影为O，则O为正△ABC的中心．①可证AC⊥平面PBO，所以AC⊥PB；②AC∥DE，可得AC∥面PDE；③AB与DE不垂直． 答案①②9．(·苏州调研)如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面BCE，BE⊥EC.(1)求证：平面AEC⊥平面ABE；(2)点F在BE上．若DE∥平面ACF，求eq\f(BF,BE)的值．(1)证明因为ABCD为矩形，所以AB⊥BC.因为平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE＝BC，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面BCE.因为CE⊂平面BCE，所以CE⊥AB.因为CE⊥BE，AB⊂平面ABE，BE⊂平面ABE，AB∩BE＝B，所以CE⊥平面ABE.因为CE⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面ABE.(2)解连接BD交AC于点O，连接OF.因为DE∥平面ACF，DE⊂平面BDE，平面ACF∩平面BDE＝OF，所以DE∥OF.又因为矩形ABCD中，O为BD中点，所以F为BE中点，即eq\f(BF,BE)＝eq\f(1,2).10．(·泰州学情调研)如图，在四棱锥O­ABCD中，底面ABCD为菱形，OA⊥平面ABCD，E为OA的中点，F为BC的中点，求证：(1)平面BDO⊥平面ACO；(2)EF∥平面OCD.证明(1)∵OA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以OA⊥BD，∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又OA∩AC＝A，∴BD⊥平面OAC，又∵BD⊂平面OBD，∴平面BDO⊥平面ACO.(2)取OD中点M，连接EM，CM，则ME∥AD，ME＝eq\f(1,2)AD，∵ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵F为BC的中点，∴CF∥AD，CF＝eq\f(1,2)AD，∴ME∥CF，ME＝CF.∴四边形EFCM是平行四边行，∴EF∥CM，又∵EF⊄平面OCD，CM⊂平面OCD.∴EF∥平面OCD.11．(·盐城模拟)如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝4，CB＝2，AA1＝2，∠ACB＝60°，E、F分别是A1C1，(1)证明：平面AEB⊥平面BB1C(2)证明：C1F∥平面ABE(3)设P是BE的中点，求三棱锥P­B1C(1)证明在△ABC中，∵AC＝2BC＝4，∠ACB＝60°，由余弦定理得：∴AB＝2eq\r(3)，∴AB2＋BC2＝AC2，∴AB⊥BC，由已知AB⊥BB1，又BB1∩BC＝B，∴AB⊥面BB1C又∵AB⊂面ABE，∴平面ABE⊥平面BB1C(2)证明取AC的中点M，连接C1M，在△ABC，FM∥AB，而FM⊄平面ABE，AB⊂平面ABE，∴直线FM∥平面ABE在矩形ACC1A1中，E，M都是中点，∴C1E綉AM，四边形AMC1B是平面四边形，∴C1M而C1M⊄平面ABE，AE⊂平面ABE，∴直线C1M又∵C1M∩FM＝M，∴平面ABE∥平面FMC1，而CF1⊂平面FMC1故C1F∥平面AEB(3)解取B1C1的中点H，连接EH，则EH∥A1B1，所以EH∥AB且EH＝eq\f(1,2)AB＝eq\r(3)，由(1)得AB⊥面BB1C1C，∴EH⊥面∵P是BE的中点，∴VP­B1C1F＝eq\f(1,2)VE­B1C1F＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)S△B1C1F·EH＝eq\r(3).备课札记：