2024届钦州市重点中学中考三模数学试题含解析

2024届钦州市重点中学中考三模数学试题

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.下列四个命题，正确的有（）个.

①有理数与无理数之和是有理数

②有理数与无理数之和是无理数

③无理数与无理数之和是无理数

④无理数与无理数之积是无理数.

A.1B.2C.3D.4

2.如图所示,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P,使

PD+PE的和最小，则这个最小值为（）

A.273B.2C.3D.76

3.如图是抛物线yi=ax?+bx+c（a#0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1,3）,与x轴的一个交点B（4,0）,直

线y2=mx+n（m/））与抛物线交于A,B两点，下列结论：

①2a+b=0；②abc>0；③方程ax?+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（-1,0）；⑤当1

VxV4时，有y2<yi,

其中正确的是（）

A.①②③B.①③④C.①③⑤D.②④⑤

4.如图，在ZkABC中，NC=90。，AO是/BAC的角平分线，若C£）=2,AB=8,则AABO的面积是（）

D

B

A.6B.8C.10D.12

5.如图所示的几何体的俯视图是（)

A.D.

6.四根长度分别为3,4,6,二（二为正整数）的木棒，从中任取三根.首尾顺次相接都能组成一个三角形，则（）.

A.组成的三角形中周长最小为9B.组成的三角形中周长最小为10

C.组成的三角形中周长最大为19D.组成的三角形中周长最大为16

7.下列运算正确的是（)

A.(x3)2=x5B.(-x)5=—x,5C.x3,x2=x6D.3x?+2x3=5x5

8.如图，已知△ABC,△DCE,AFEG,△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC,CE,EG,GI在同一直线上,

且AB=2,BC=1.连接AL交FG于点Q,则QI=()

「厢4

D.

67

根据这种规律,m的值应是（）

D.178

10.如图的平面图形绕直线/旋转一周，可以得到的立体图形是（）

心ycS喧

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.点G是三角形ABC的重心，AB=a>AC=b>那么BG=.

12.因式分解：9x-x2=.

13.一次函数y=kx+3的图象与坐标轴的两个交点之间的距离为5,则k的值为.

14.函数y=4-,当xVO时，y随x的增大而.

2x

15.若方程x2+（m2-1）x+l+m=0的两根互为相反数，则m=

16.如图，半径为3的。O与RtAAOB的斜边AB切于点D,交OB于点C,连接CD交直线OA于点E,若NB=30。,

则线段AE的长为—.

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，联结AD,ZADB=ZCDE,DE交边AC于点E,DE交BA延长

线于点F,且AD2=DE・DF.

⑴求证：ABFDsZ\CAD；

⑵求证：BF»DE=AB«AD.

3

18.（8分）如图，已知△ABC中，AB^AC=5,cosA=-.求底边5c的长.

A

19.（8分）如图，已知ABCD是边长为3的正方形，点P在线段BC上，点G在线段AD上，PD=PG,DFLPG于

点H,交AB于点F,将线段PG绕点P逆时针旋转90。得到线段PE,连接EF.

(1)求证：DF=PG；

(2)若PC=L求四边形PEFD的面积.

20.(8分)已知：如图，uABCD中，BD是对角线，AE_LBD于E,CF_LBD于F.求证:

21.(8分)如图，一条公路的两侧互相平行，某课外兴趣小组在公路一侧AE的点A处测得公路对面的点C与AE的

夹角NCAE=30。，沿着AE方向前进15米到点B处测得NCBE=45。，求公路的宽度.(结果精确到0.1米，参考数据:

V3-1.73)

22.(10分)某校初三进行了第三次模拟考试，该校领导为了了解学生的数学考试情况，抽样调查了部分学生的数学

成绩，并将抽样的数据进行了如下整理.

(1)填空机=,〃=,数学成绩的中位数所在的等级.

(2)如果该校有1200名学生参加了本次模拟测，估计。等级的人数；

(3)已知抽样调查学生的数学成绩平均分为102分，求A级学生的数学成绩的平均分数.

①如下分数段整理样本

等级等级分数段各组总分人数

A110<X<120P4

B100<X<110843n

C90Vx4100574m

D80<X<901712

②根据上表绘制扇形统计图

23.（12分）如图，AB是。O的直径，CD切。O于点D,且BD〃OC,连接AC.

（1）求证：AC是。O的切线；

（2）若AB=OC=4,求图中阴影部分的面积（结果保留根号和兀）

24.如图，在四边形ABCD中，NABC=90。，NCAB=30。，DEJ_AC于E,且AE=CE,若DE=5,EB=12,求四边

形ABCD的周长.

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、A

【解析】

解：①有理数与无理数的和一定是有理数，故本小题错误;

②有理数与无理数的和一定是无理数，故本小题正确；

③例如-应+&=0,0是有理数，故本小题错误；

④例如（-、笈）x«=-2,-2是有理数，故本小题错误.

故选A.

点睛：本题考查的是实数的运算及无理数、有理数的定义，熟知以上知识是解答此题的关键.

2、A

【解析】

连接BD,交AC于O,

•.•正方形ABCD,

.,.OD=OB,AC±BD,

，D和B关于AC对称，

则BE交于AC的点是P点，此时PD+PE最小，

•.•在AC上取任何一点（如Q点），QD+QE都大于PD+PE（BE）,

,此时PD+PE最小，

此时PD+PE=BE,

•••正方形的面积是12,等边三角形ABE,

.•.BE=AB=VIi=26，

即最小值是2若，

故选A.

BC

【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，轴对称-最短路线问题等知识点的应用，关键是找出PD+PE

最小时P点的位置.

3、C

【解析】

试题解析：•••抛物线的顶点坐标A(1,3),

b

.•.抛物线的对称轴为直线X=--=1,

2a

2a+b=0,所以①正确；

•••抛物线开口向下，

.,.a<0,

•*.b=-2a>0,

抛物线与y轴的交点在x轴上方，

/.c>0,

/.abc<0,所以②错误；

•••抛物线的顶点坐标A(1,3),

，x=l时，二次函数有最大值，

方程ax?+bx+c=3有两个相等的实数根，所以③正确；

•.•抛物线与x轴的一个交点为(4,0)

而抛物线的对称轴为直线x=l,

.••抛物线与x轴的另一个交点为(-2,0),所以④错误；

•抛物线yi=ax?+bx+c与直线y2=mx+n(m^O)交于A(1,3),B点(4,0)

...当1<XV4时，y2<yi,所以⑤正确.

故选C.

考点：1.二次函数图象与系数的关系；2.抛物线与x轴的交点.

4、B

【解析】

分析：过点。作于E,先求出的长，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OE=CD=2,然

后根据三角形的面积公式列式计算即可得解.

详解：如图，过点。作OELA5于E,

VAB=8,CD=2,

'：AD是NB4C的角平分线,ZC=90°,

：.DE=CD=2,

/./XABD的面积=LAB・£>E=4X8><2=8.

22

故选B.

点睛：考查角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等.

5、D

【解析】

试题分析：根据俯视图的作法即可得出结论.

从上往下看该几何体的俯视图是D.故选D.

考点：简单几何体的三视图.

6、D

【解析】

首先写出所有的组合情况，再进一步根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，

进行分析.

【详解】

解：其中的任意三根的组合有3、4、1；3、4、x；3、1、x；4、1、x共四种情况，

由题意：从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，可得3VxV7,即x=4或5或L

①当三边为3、4、1时，其周长为3+4+1=13；

②当x=4时，周长最小为3+4+4=11,周长最大为4+1+4=14；

③当x=5时，周长最小为3+4+5=12,周长最大为4+1+5=15；

④若x=l时，周长最小为3+4+1=13,周长最大为4+1+1=11；

综上所述，三角形周长最小为11,最大为U,

故选：D.

【点睛】

本题考查的是三角形三边关系，利用了分类讨论的思想.掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第

三边是解答本题的关键.

7、B

【解析】

根据幕的运算法则及整式的加减运算即可判断.

【详解】

A.(%3j=x6,故错误；

B.(—X)=—X，,正确；

c.x3-x2=x5,故错误；

D.3x2+2x3不能合并，故错误，

故选B.

【点睛】

此题主要考查整式的加减及嘉的运算，解题的关键是熟知其运算法则.

8、D

【解析】

21BC1

解：△尸EG是三个全等的等腰三角形，...H/=4B=2,G/=3C=1,8/=28C=2,二——=-=——=-,

BI42A52

ABBCACAB

：.——=——.VZABI=ZABC,：./A\ABI^/\CBA,：.——=—.'：AB=AC,：.AI^BI=2.；NACB=NFGE,

BIABAIBI

.“QIGI114…

*♦AC//FG,••—=—=—，••QI——AI——.故艾D.

AICI333

点睛：本题主要考查了平行线分线段定理，以及三角形相似的判定，正确理解A5〃C〃〃EF,AC〃OE〃歹G是解题

的关键.

9、B

【解析】

根据排列规律，10下面的数是12,10右面的数是14,

V8=2x4-0,22=4x6-2,44=6x8-4,

.,./M=12X14-10=158.

故选C.

10、B

【解析】

根据面动成体以及长方形绕一边所在直线旋转一周得圆柱即可得答案.

【详解】

由图可知所给的平面图形是一个长方形，

长方形绕一边所在直线旋转一周得圆柱，

故选B.

【点睛】

本题考查了点、线、面、体，熟记各种常见平面图形旋转得到的立体图形是解题关键.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

1,2-

11、一b—a.

33

【解析】

根据题意画出图形，由AB=a，AC=b>根据三角形法则，即可求得3D的长，又由点G是△A5C的重心，根据

重心的性质，即可求得.

【详解】

如图：5。是AA5C的中线，

VAC=b，

：•AD=~^，

,:AB=a>

BD=gb-a,

•点仃是4ABC的重心，

212

BG=_BD=一b--a,

333

12

故答案为：—b-----a.

33

本题考查了三角形的重心的性质：三角形的重心到三角形顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，本题也考查了向

量的加法及其几何意义，是基础题目.

12、x（9-x）

【解析】

试题解析：9x—f=x（9—x）.

故答案为x（9—x）.

点睛：常见的因式分解的方法：提取公因式法，公式法，十字相乘法.

【解析】

首先求出一次函数y=kx+3与y轴的交点坐标；由于函数与X轴的交点的纵坐标是0,可以设横坐标是a,然后利用勾

股定理求出a的值；再把（a,0）代入一次函数的解析式y=kx+3,从而求出k的值.

【详解】

在y=kx+3中令x=0,得y=3,

则函数与y轴的交点坐标是：（0,3）；

设函数与x轴的交点坐标是（a,0）,

根据勾股定理得到a2+32=25,

解得a=±4；

3

当a=4时，把（4,0）代入y=kx+3,得k=----；

4

,3

当a=-4时，把（-4,0）代入y=kx+3,得1<=—；

4

故k的值为士3或-31

44

【点睛】

考点：本体考查的是根据待定系数法求一次函数解析式

解决本题的关键是求出函数与y轴的交点坐标，然后根据勾股定理求得函数与x轴的交点坐标，进而求出k的值.

14、减小

【解析】

先根据反比例函数的性质判断出函数y=上的图象所在的象限，再根据反比例函数的性质进行解答即可.

2x

【详解】

解：•.•反比例函数y=<-中，攵=［〉0，

2x2

,此函数的图象在一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小.

故答案为减小.

【点睛】

k

考查反比例函数的图象与性质，反比例函数y=—（左手0）,

X

当上>0时，图象在第一、三象限.在每个象限，y随着X的增大而减小，

当k<0时，图象在第二、四象限.在每个象限，y随着x的增大而增大.

15、-1

【解析】

根据“方程/+（--1）x+l+m=0的两根互为相反数”，利用一元二次方程根与系数的关系，列出关于m的等式,

解之，再把m的值代入原方程，找出符合题意的m的值即可.

【详解】

•・•方程x2+（相2-1）x+l+m=O的两根互为相反数，

1--=0,

解得：m=l或-1,

把机=1代入原方程得：

X2+2=0,

该方程无解，

・,•加=1不合题意，舍去，

把帆=-1代入原方程得：

x2=0,

解得：Xl=X2=0,（符合题意），

:・m=-1,

故答案为-L

【点睛】

本题考查了根与系数的关系，正确掌握一元二次方程两根之和，两个之积与系数之间的关系式解题的关键.若XI,X2

hc

为方程的两个根，贝Ijxi,X2与系数的关系式：%+%=——，石F=—•

aa

16、73

【解析】

要求AE的长，只要求出OA和OE的长即可，要求OA的长可以根据NB=30。和OB的长求得，OE可以根据NOCE

和OC的长求得.

【详解】

解：连接OD,如图所示，

由已知可得，ZBOA=90°,OD=OC=3,ZB=30°,ZODB=90°,

.*.BO=2OD=6,ZBOD=60°,

尸

/.ZODC=ZOCD=60°,AO=BOtan30°=6x<=2,

3

VZCOE=90°,OC=3,

.\OE=OCtan600=3x4=3...J,

,\AE=OE-OA=3,,；3-2.,=回，

【点晴】

切线的性质

三、解答题（共8题，共72分）

17、见解析

【解析】

试题分析：（1）AD2=DEDF»ZADF=/EDA，可得AADFs^EDA，从而得4=NDAE,

再根据NBDF=NCDA即可证；

BFDFBFAD

（2）由ABFDsACAD，可得一=—，从而可得一=—，再由ABFDsACAD,可得NB=/C从而得

ACADACDE

BFAD

AB=AC,继而可得——二——,得到BF-DE=AB-AD.

ABDE

、上ge_LL，、ADDF

试题解析：（I）VAD-=DEDF>•<-7^;=--»

DEAD

VZADF=ZEDA，：.AADFNEDA,

：.ZF=ZDAE,

XVZADB=ZCDE,：.ZADB+ZADF=ZCDE+ZADF,

:.ABFDsACAD；

DF

（2）VABFDACAD,——

ACAD

,,ADDF.BFAD

"~DE~^D'"~AC~~DE'

VABFDACAD,：.ZB=ZC,：.AB=AC,

.BF_AD

：,BFDE=ABAD.

"^B~~DE

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，能结合图形以及已知条件灵活选择恰当的方法进行证明是关键.

18、2#）

【解析】

3

过点3作在AABD中由cos4=m可计算出AD的值，进而求出50的值，再由勾股定理求出BC的值.

【详解】

解：

过点3作垂足为点。,

*»,AD

在RtAABD中,cosA=,

AB

,3

■:cosAA=—,AB=5,

5

3

..AD=AB*cosA=5x—=3,

5

:・BD=4,

VAC=5,

：.DC=2,

：.BC=2yf5.

【点睛】

本题考查了锐角的三角函数和勾股定理的运用.

19、(1)证明见解析；(2)1.

【解析】

作PM_LAD,在四边形ABCD和四边形ABPM证AD=PM；DF±PG,得出NGDH+NDGH=90。，推出NADF=

ZMPG；还有两个直角即可证明△ADF丝AMPG,从而得出对应边相等

(2)由已知得，DG=2PC=2；△ADF之4MPG得出DF=PD；根据旋转，得出NEPG=90。，PE=PG从而得出四

边形PEFD为平行四边形；根据勾股定理和等量代换求出边长DF的值；根据相似三角形得出对应边成比例求出GH

的值，从而求出高PH的值；最后根据面积公式得出

【详解】

解：(1)证明：\•四边形ABCD为正方形，

；.AD=AB,

；四边形ABPM为矩形，

,\AB=PM,

，AD=PM,

VDF1PG,

...NDHG=90。，

二ZGDH+ZDGH=90°,

■:NMGP+NMPG=90。，

/.ZGDH=ZMPG,

,ZA=ZGMP

在^ADF和4MPG中AD=PM，

ZADF=ZMPG

/.△ADF^AMPG(ASA),

/.DF=PG；

(2)作PM_LDG于M,如图，

VPD=PG,

，MG=MD,

•.•四边形ABCD为矩形，

APCDM为矩形，

/.PC=MD,

，DG=2PC=2；

VAADF^AMPG(ASA),

；.DF=PG,

而PD=PG,

；.DF=PD,

•.•线段PG绕点P逆时针旋转90。得到线段PE,

.•.NEPG=90。，PE=PG,

；.PE=PD=DF,

而DF_LPG,

；.DF〃PE,

即DF〃PE,且DF=PE,

二四边形PEFD为平行四边形，

在RtAPCD中，PC=LCD=3,

PD=/32+I2=VTo，

.\DF=PG=PD=VTO»

•.,四边形CDMP是矩形,

/.PM=CD=3,MD=PC=L

；PD=PG,PM_LAD,

/.MG=MD=1,DG=2,

VZGDH=ZMPG,NDHG=NPMG=90°,

/.△DHG^APMG,

.DGGH

••—,

PGMG

•rTT2XlVTQ

V105

APH=PG-GH=V10-

55

四边形PEFD的面积=DF・PH=Jj^x生3=1.

5

【点睛】

本题考查了平行四边形的面积、勾股定理、相似三角形判定、全等三角形性质，本题的关键是求边长和高的值

20、(1)证明：...ABCD是平行四边形

/.AB=CD

AB//CD

ZABE=ZCDF

又；AEJ_BD,CF1BD

.,.ZAEB=ZCFD=；C

.'.△ABE四△CDF

/.BE=DF

【解析】

证明:在口ABCD中

VAB/7CD

:.ZABE=ZCDF..........................................................................................4分

VAE±BDCF1BD

，ZAEB=ZCFD=90°..................................................................................5分

•/AB=CD

/.△ABE^ACDF............................................................................................6分

/.BE=DF

21、公路的宽为20.5米.

【解析】

CDxn

作CD_LAE,设CD=x米，由NCBD,=45。知BD=CD=x,根据tanNCAD=——，可得-----=—,解之即可.

AD15+x3

【详解】

解：如图，过点C作CDJ_AE于点D,

设公路的宽CD=x米，

,.,ZCBD=45°,

；.BD=CD=x,

在RtAACD中，VZCAE=30°,

CDJ3

/.tanZCAD=------=,即-----=士

AD315+x3

解得：XJG+15ms

(米),

2

答：公路的宽为20.5米.

【点睛】

本题考查了直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数解直角三角形.

22、(1)6；8；B；(2)120人；(3)113分.

【解析】

(1)根据表格中的数据和扇形统计图中的数据可以求得本次抽查的人数，从而可以得到m、n的值，从而可以得到数

学成绩的中位数所在的等级；

(2)根据表格中的数据可以求得D等级的人数；

(3)根据表格中的数据，可以计算出A等级学生的数学成绩的平均分数.

【详解】

72°

(1)本次抽查的学生有：4+——=20(人)，

360°

m=20x30%=6,〃=20—4—3—2=11,

数学成绩的中位数所在的等级B,

故答案为：6,11,B；

(2)1200X—=120(人),

20

答：D等级的约有120人；

(3)由表可得,

102x20-843-574-171…，八、

A等级学生的数学成绩的平均分数:------------------------------------=113（分）,

4

即A等级学生的数学成绩的平均分