河北某中学2024年中考数学最后冲刺卷（含解析）

河北宇华教育集团2024年中考数学最后冲刺浓缩精华卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1.在AABC中,NC=90,AC=2BC,则tanA的值为()

A.-B.2C.—D.—

255

2.如图，长度为10m的木条，从两边各截取长度为xm的木条，若得到的三根木条能组成三角形，则x可以取的值

为()

xmxw

।i

107w

A.2mB.C.3mD.6m

2

3.如图，点。在第一象限，。0,与x轴相切于H点，与y轴相交于A(0,2),B(0,8),则点O,的坐标是()

A.(6,4)B.(4,6)C.(5,4)D.(4,5)

4.地球上的陆地面积约为149000000千米2,用科学记数法表示为()

A.149x106千米2B.14.9x107千米2

C.1.49x108千米2D.0.149x109千2

5.某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺

钉和螺母刚好配套.设安排x名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是()

A.2x1000(26-x)=800xB.1000(13-x)=800x

C.1000(26-x)=2x800xD.1000(26-x)=800x

6.下列式子成立的有()个

①--的倒数是-2

2

(2)(-2a2T=-8a5

③0（6-后尸石-2

④方程x2-3x+l=0有两个不等的实数根

A.1B.2D.4

7.某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了“％,第三季度的产值又比第二季度的产值增长了X％,则第三季

度的产值比第一季度的产值增长了（)

A.2x%B.l+2x%C.(1+x%)x%D.(2+x%)x%

8.cos30。的相反数是（)

「A/3

A.B.D.

一号22~T

9.如图，是一个工件的三视图，则此工件的全面积是（)

D.HOncm2

10.用配方法解方程%2+2%-3=0时，可将方程变形为()

A.(元+1)2=2B.(1)2=2C.(1)2=4D.(工+1)2=4

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.小明掷一枚均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1,2,3,4,5,6点，得到的点数为奇数的概率是

12.将2.05x10-3用小数表示为—・

13.如图，在口ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F,若AE：BE=4：3,且BF=2,贝!|DF=

14.计算：2cos60°—yjs+(5—TT)0=.

15.如图，直线a〃b,NP=75。，Z2=30°,则Nl=

Ea

16.二次函数丁=》2+如+机-2的图象与x轴有个交点.

三、解答题(共8题，共72分)

17.(8分)2017年5月14日至15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国

家签署经贸合作协议，某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区.已知2件甲种商品与

3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元.

(1)甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？

(2)若甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？

18.(8分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为P(2,9),与x轴交于点A,B,与y轴

交于点C(0,5).

(I)求二次函数的解析式及点A,B的坐标；

(II)设点Q在第一象限的抛物线上，若其关于原点的对称点Q，也在抛物线上，求点Q的坐标；

(III)若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，使得以A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形，且AC

为其一边，求点M,N的坐标.

19.(8分)如图1,在矩形ABCD中，AD=4,AB=2/将矩形ABCD绕点A逆时针旋转a(0<a<90°)得到矩

形AEFG.延长CB与EF交于点H.

(1)求证：BH=EH；

(2)如图2,当点G落在线段BC上时，求点B经过的路径长.

20.(8分)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A,C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=4,OC=3,

若抛物线经过O,A两点，且顶点在BC边上，对称轴交AC于点D,动点P在抛物线对称轴上，动点Q在抛物线上.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当PO+PC的值最小时，求点P的坐标；

(3)是否存在以A,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P,Q的坐标；若不存在，请说

21.(8分)如图，把△EFP按图示方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC±,已

知EP=FP=4,EF=46,NBAD=60。，且AB>4g.

(1)求NEPF的大小；

(2)若AP=6,求AE+AF的值.

22.(10分)列方程或方程组解应用题：

为响应市政府“绿色出行”的号召，小张上班由自驾车改为骑公共自行车.已知小张家距上班地点10千米.他用骑公共

自行车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾车的方式平均每小时行驶的路程少45千米，他从家出发到上班地点，

骑公共自行车方式所用的时间是自驾车方式所用的时间的4倍.小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶多少千

米？

23.(12分)一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球(除颜色外其余都相同)，其中有红球2个，蓝球1

个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率为求口袋中黄球的个数；甲同学先随机摸出一个小球(不

2

放回)，再随机摸出一个小球，请用“树状图法”或“列表法”，求两次摸出都是红球的概率；

/7Y2+Ay2

24.对x,y定义一种新运算T,规定T(x,y)=-------匕(其中a,b是非零常数，且x+y#O),这里等式右边是通

%+y

常的四则运算.

如：T(3,1)=空其土丝上=%±2,T(m,-2)=竺二士竺.填空：丁(4,-1)=(用含a,b的代

3+14m—2

数式表示)；若T(-2,0)=-2且T(5,-1)=1.

①求a与b的值；

②若T(3m-10,m)=T(m,3m-10),求m的值.

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1、A

【解析】

本题可以利用锐角三角函数的定义求解即可.

【详解】

解：tanA=^,

AC

VAC=2BC,

1

tanA=—.

2

故选：A.

【点睛】

本题考查了正切函数的概念，掌握直角三角形中角的对边与邻边的比是关键.

2、C

【解析】

依据题意，三根木条的长度分别为xm,xm,(10-2x)m,在根据三角形的三边关系即可判断.

【详解】

解：由题意可知，三根木条的长度分别为xm,xm,(10-2x)m,

•.•三根木条要组成三角形，

•*.x-x<10-2x<x+x,

解得：一<x<5.

2

故选择C.

【点睛】

本题主要考察了三角形三边的关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边.

3、D

【解析】

过。作OCAB于点C,过(T作ODLx轴于点D,由切线的性质可求得。D的长，则可得OB的长，由垂径定理

可求得CB的长，在R3CTBC中，由勾股定理可求得。C的长，从而可求得。点坐标.

【详解】

如图，过。作。CLAB于点C,过O作O，D，x轴于点D,连接。B,

为圆心,

.\AC=BC,

VA(0,2),B(0,8),

.\AB=8-2=6,

；.AC=BC=3,

；.OC=8—3=5,

•••。。，与*轴相切，

.*.O,D=O,B=OC=5,

在RtAOrBC中，由勾股定理可得。CMJOMBC?=正于=4,

•••P点坐标为(4,5),

故选：D.

【点睛】

本题考查了切线的性质，坐标与图形性质，解题的关键是掌握切线的性质和坐标计算.

4、C

【解析】科学记数法的表示形式为axl°n的形式，其中lW|a|<10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，

小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小

于1时，n是负数.

解:149000000=1.49x2千米1.

故选C.

把一个数写成axion的形式，叫做科学记数法，其中lW|a|V10,n为整数.因此不能写成149x106而应写成1.49x2.

5、C

【解析】

试题分析：此题等量关系为：2x螺钉总数=螺母总数.据此设未知数列出方程即可

【详解】

.故选C.

解：设安排x名工人生产螺钉，则(26-x)人生产螺母，由题意得

1000(26-x)=2x800x,故C答案正确，考点：一元一次方程.

6、B

【解析】

根据倒数的定义，塞的乘方、二次根式的混合运算法则以及根的判别式进行判断.

【详解】

解：①-▲的倒数是-2,故正确；

2

②(-2a2>=-8a6,故错误；

③血(石-©)=«-2,故错误；

④因为△=(-3)2-4xlxl=5>0,所以方程X2-3X+1=0有两个不等的实数根，故正确.

故选B.

【点睛】

考查了倒数的定义，塞的乘方、二次根式的混合运算法则以及根的判别式，属于比较基础的题目，熟记计算法则即可

解答.

7,D

【解析】

设第一季度的原产值为a,则第二季度的产值为。(1+x％),第三季度的产值为a(l+x%)2,则则第三季度

的产值比第一季度的产值增长了。(1+戈％1=Q+

a

故选D.

8、C

【解析】

先将特殊角的三角函数值代入求解，再求出其相反数.

【详解】

*.*cos30°=,

2

...cos30。的相反数是

2

故选C.

【点睛】

本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值以及相反数的概念.

9、C

【解析】

先根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为12cm,高为8cm,再计算母线长为10,根据圆锥的侧面展开图为一扇形，

这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形半径等于圆锥的母线长计算圆锥的侧面积和底面积的和即可.

【详解】

圆锥的底面圆的直径为12cm,高为8cm,

所以圆锥的母线长=病*=10,

所以此工件的全面积=箝62+*.27r.6.10=96k(cm2).

故答案选C.

【点睛】

本题考查的知识点是圆锥的面积及由三视图判断几何体，解题的关键是熟练的掌握圆锥的面积及由三视图判断几何体.

10、D

【解析】

配方法一般步骤：将常数项移到等号右侧，左右两边同时加一次项系数一半的平方，配方即可.

【详解】

解：X2+2X-3=O

X2+2x=3

x2+2x+l=4

(x+1)2=4

故选D.

【点睛】

本题考查了配方法解方程的步骤，属于简单题，熟悉步骤是解题关键.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

1

11、一.

2

【解析】

根据题意可知，掷一次骰子有6个可能结果，而点数为奇数的结果有3个，所以点数为奇数的概率为!.

考点：概率公式.

12、0.1

【解析】试题解析：原式=2.05x10-3=0.1.

【点睛】本题考查了科学记数法-原数，用科学记数法表示的数还原成原数时，">0时，〃是几，小数点就向右移几位;

“<0时，〃是几，小数点就向左移几位.

14

13、—.

3

【解析】

解：令AE=4x,BE=3x,

/.AB=7x.

•••四边形ABCD为平行四边形，

；.CD=AB=7x,CD//AB,

/.△BEF^ADCF.

.BFBE3x_3

••DE-CD―7x-7'

【点睛】

本题考查平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，掌握定理正确推理论证是本题的解题关键.

14、1

【解析】

解：原式=2><工-2+1=1—2+1=1.故答案为1.

2

15、45°

【解析】

过P作PM〃直线a,根据平行线的性质，由直线a〃b,可得直线a〃b〃PM,然后根据平行线的性质，由NP=75。,

Z2=30°,可得Nl=/P-N2=45°.

故答案为45°.

点睛：本题考查了平行线的性质的应用，能正确根据平行线的性质进行推理是解此题的关键，注意：两直线平行，内

错角相等.

16、2

【解析】

【分析】根据一元二次方程x2+mx+m-2=0的根的判别式的符号进行判定二次函数y=x2+mx+m-2的图象与x轴交点的

个数.

2

【详解】二次函数y=x+mX+m-2的图象与x轴交点的纵坐标是零，

即当y=0时，x2+mx+m-2=0,

V△=m2-4(m-2)=(m-2)2+4>0,

.,•一元二次方程x2+mx+m-2=0有两个不相等是实数根，

即二次函数y=x2+mx+m-2的图象与x轴有2个交点，

故答案为：2.

【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a/))的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0

根之间的关系.

△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数.

△=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；

△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；

△=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点.

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)甲种商品的销售单价900元，乙种商品的销售单价600元；(1)至少销售甲种商品1万件.

【解析】

(1)可设甲种商品的销售单价x元，乙种商品的销售单价y元，根据等量关系：①1件甲种商品与3件乙种商品的销

售收入相同，②3件甲种商品比1件乙种商品的销售收入多1500元，列出方程组求解即可；

(1)可设销售甲种商品。万件，根据甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，列出不等式求解即可.

【详解】

(1)设甲种商品的销售单价x元，乙种商品的销售单价y元，依题意有：

2x=3y[x=900

\，解得“

[3x-2y=1500(y=600

答：甲种商品的销售单价900元，乙种商品的销售单价600元；

(1)设销售甲种商品。万件，依题意有：

900a+600(8-a)>5400,解得：a>l.

答：至少销售甲种商品1万件.

【点睛】

本题考查了一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所

求量的等量关系.

18、(1)y=-X2+4X+5,A(-1,0),B(5,0)；(2)Q(6，475);(3)M(1,8),N(2,13)或M'(3,8),

N，(2,3).

【解析】

⑴设顶点式，再代入C点坐标即可求解解析式，再令y=0可求解A和B点坐标；

⑵设点Q(m,-m2+4m+5),则其关于原点的对称点Q，(-m,n?-4m-5),再将Q，坐标代入抛物线解析式即可求

解m的值，同时注意题干条件“Q在第一象限的抛物线上”；

⑶利用平移AC的思路，作MKL对称轴x=2于K,使MK=OC,分M点在对称轴左边和右边两种情况分类讨论即

可.

【详解】

(I)设二次函数的解析式为y=a(x-2)2+9,把C(0,5)代入得到a=-l,

Ay=-(x-2)2+9,gpy=-x2+4x+5,

令y=0，得到:x2-4x-5=0.

解得x=-1或5,

/.A(-1,0),B(5,0).

(II)设点Q(m,-m2+4m+5),则Q，(-m,m2-4m-5).

把点Q'坐标代入y=-X2+4X+5,

得至！J：m2-4m-5=-m2-4m+5,

.,.m=逐或一石(舍弃)，

・・・Q(54A/5).

(in)如图，作MKJ_对称轴x=2于K.

①当MK=OA,NK=OC=5时，四边形ACNM是平行四边形.

•・,此时点M的横坐标为1,

:.y=8,

AM(1,8),N(2,13),

②当M，K=OA=1,KN，=OC=5时，四边形ACM，N，是平行四边形，

此时M，的横坐标为3,可得M，(3,8),Nr(2,3).

【点睛】

本题主要考查了二次函数的应用，第3问中理解通过平移AC可应用“一组对边平行且相等”得到平行四边形.

19、(1)见解析；(2)B点经过的路径长为2叵九

3

【解析】

(l)^连接AH,根据旋转图形的性质得出AB=AE,ZABH=ZAEH=90°,根据AH为公共边得出RtAABH和RtAAEH

全等，从而得出答案；(2)、根据题意得出NEAB的度数，然后根据弧长的计算公式得出答案.

【详解】

⑴、证明：如图1中，连接AH,

由旋转可得AB=AE,ZABH=ZAEH=90°,又；AH=AH,ARtAABH^RtAAEH,；.BH=EH.

⑵、解：由旋转可得AG=AD=4,AE=AB,ZEAG=ZBAC=90°,在RtAABG中，AG=4,AB=2有,

cosZBAG=—=,.,.ZBAG=30°,二NEAB=60°,.•.弧BE的长为「0=冥!兀,

AG21803

即B点经过的路径长为2叵小

【点睛】

本题主要考查的是旋转图形的性质以及扇形的弧长计算公式，属于中等难度的题型.明白旋转图形的性质是解决这个

问题的关键.

33

20、(1)y=—-x2+3x；(2)当PO+PC的值最小时，点P的坐标为(2,-)；(3)存在，具体见解析.

42

【解析】

⑴由条件可求得抛物线的顶点坐标及A点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

(2)D与P重合时有最小值，求出点D的坐标即可；

(3)存在，分别根据①AC为对角线，②AC为边，两种情况，分别求解即可.

【详解】

(1)在矩形OABC中，OA=4,OC=3,

AA(4,0),C(0,3),

•••抛物线经过O、A两点，且顶点在BC边上，

二抛物线顶点坐标为(2,3),

••・可设抛物线解析式为y=a(x-2尸+3,

3

把A点坐标代入可得0=a(4-2尸+3,解得a=-二，

4

33

.•.抛物线解析式为y=--(x-2丹3,即y=—-x2+3x；

44

(2),点P在抛物线对称轴上，/.PA=PO,/.PO+PC=PA+PC.

当点P与点D重合时，PA+PC=AC；当点P不与点D重合时，PA+POAC；

当点P与点D重合时，PO+PC的值最小，

设直线AC的解析式为y=kx+b,

,3

4k-f-Z?——0

根据题意，得7-'解得＜

b=3,

b=3.

3

・・・直线AC的解析式为y=——x+3,

4

33

当x=2时，y=—x+3=—,

42

3

.•.当PO+PC的值最小时，点P的坐标为(2,-)；

2

(3)存在.

②AC为边，当四边形AQPC为平行四边形，点C向右平移2个单位得到P,则点A向右平移2个单位得到点Q,则

3

Q点的横坐标为6,当x=6时，y=——%+3=-9,此时Q(6,-9),则点A(4,0)向右平移2个单位，向下平移

4

9个单位得到点Q,所以点C(0,3)向右平移2个单位，向下平移9个单位得到点P,则P(2,-6)；

当四边形APQC为平行四边形，点A向左平移2个单位得到P,则点C向左平移2个单位得到点Q,则Q点的横坐

3

标为-2,当x=-2时，y=-一x+3=—9,此时Q(-2,-9),则点C(0,3)向左平移2个单位，向下平移12个单

4

位得到点Q,所以点A(4,0)向左平移2个单位，向下平移12个单位得到点P,则P(2,-12)；

综上所述，P(2,0),Q(2,3)或P(2,-6),Q(6,-9)或P(2,-12),Q(-2,-9).

【点睛】

二次函数的综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识.

21、(1)ZEPF=120°；(2)AE+AF=6右.

【解析】

试题分析：(1)过点P作PGLEF于G,解直角三角形即可得到结论；

(2)如图2,过点P作PMJ_AB于M,PN_LAD于N,证明△ABC丝△ADC,R.APME^RtAPNF,问题即可得证.

试题解析：

(1)如图1,过点P作PG_LEF于G,

VPE=PF,

:.FG=EG=-EF=26，NFPG=NEPG=-NEPF,

22

在AFPG中，sinZFPG=—=,

PF42

ZFPG=60°,

:.ZEPF=2ZFPG=120°；

(2)如图2,过点P作PM_LAB于M,PN^AD于N,

•.•四边形ABCD是菱形,

图2

/.AD=AB,DC=BC,

.,.ZDAC=ZBAC,

.•.PM=PN,

在RtAPME于RtAPNF中,

PM-PN

PE=PF，

/.R.APME^R.APNF,

；.FN=EM,在RSPMA中，ZPMA=90°,ZPAM=|ZDAB=30°,

AAM=AP«cos30°=373，同理AN=3b,

；.AE+AF=(AM-EM)+(AN+NF)=673.

【点睛】运用了菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，最值问题，等腰三角形的性质，作辅助线构

造直角三角形是解题的关键.

22、15千米.

【解析】

首先设小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶x千米，根据题意可得等量关系：骑公共自行车方式所用的时间=

自驾车方式所用的时间x4,根据等量关系，列出方程，再解即可.

【详解】

：解：设小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶x千米，根据题意列方程得：

xx+45

解得：x=15,经检验x=15是原方程的解且符合实际意义.

答：小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶15千米.

1

23、(1)1;(2)-