2024年中考数学几何模型归纳：三角形中的导角模型-高分线模型、双（三）垂直模型

三角形中的导角模型-高分线模型、双（三）垂直模型

近年来各地考试中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和

定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角.本专题高分线模型、双垂直模

型、子母型双垂直模型（射影定理模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

例1.（2023秋•浙江•八年级专题练习）如图，在。中，NN=30。，NB=50。，CD为//C8的平分线,

CE，AB于点、E,则NEC。度数为（）

【分析】依据直角三角形，即可得到4CE=40。，再根据NN=30。,CD平分即可得到〃CD的度

数,再根据ZDCE=NBCD-NBCE进行计算即可.

【详解】解：'.'ZS=50°,CEVAB,ABCE=40°,

又...=30°,CD平分ZACB,ABCD=：NBCA=|x（180°-50°-30°）=50°,

ZDCE=ZBCD-NBCE=50°-40°=10。,故选：C.

【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180。是解答此题的关键.

例2.（2023春・河南南阳•七年级统考期末）如图，在中，Z1=Z2,G为/。的中点，BG的延长线

交/C于点E,尸为48上的一点，3与ND垂直，交AD于点、H,则下面判断正确的有（）

①4D是"BE的角平分线；②BE是AABD的边/D上的中线；

③CH是"CD的边4D上的高；@4H是MCF的角平分线和高

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【详解】解：①根据三角形的角平分线的概念，知NG是A/BE的角平分线，故此说法错误；

②根据三角形的中线的概念，知8G是A/BD的边/。上的中线，故此说法错误；

③根据三角形的高的概念，知为△ZCD的边/D上的高，故此说法正确；

④根据三角形的角平分线和高的概念，知4FZ是A/CF的角平分线和高线，故此说法正确.故选：B.

【点睛】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、

中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段.透彻理解定义是解题的关键.

例3.（2023・安徽合肥•七年级统考期末）如图，已知N。、分别是RQA8C的高和中线，/8=9CM,/C

=12cm,BC=15cm,试求：（1）/。的长度；（2）和△48E的周长的差.

【答案】（1）4。的长度为彳57；（2）和△48E的周长的差是3c%

【分析】（1）利用直角三角形的面积法来求线段AD的长度；（2）由于AE是中线，那么BE=CE,再表示

△ACE的周长和4ABE的周长，化简可得4ACE的周长-Z\ABE的周长=AC-AB即可.

【详解】解：(1)■.-ZBAC=90°,AD是边BC上的高,••SAACB=AB-AC=YBC-AD,

AB=9cm,AC=12cm,BC=15cm,:AD==9：12=电(cm),即AD的长度为生cm；

CB1555

(2):AE为BC边上的中线，.-.BE=CE,

」.△ACE的周长-AABE的周长=AC+AE+CE-(AB+BE+AE)=AC-AB=12-9=3(cm),

即AACE和AABE的周长的差是3cm.

【点睛】此题主要考查了三角形的面积，关键是掌握直角三角形的面积求法.

例4.(2023•广东东莞•八年级校考阶段练习)如图，在“8C中，AD,4E分别是“3C的高和角平分线,

若N3=30。，NC=50。.⑴求/D4E的度数.(2)试写出/D4E与/C—/8关系式，并证明.(3)如图，F

为/E的延长线上的一点，FDLBC^D,这时乙4尸。与NC-N3的关系式是否变化，说明理由.

【答案】⑴10°(2)NO/E=；(NC-N3)(3)不变，理由见解析

【分析】(1)根据三角形内角和求出/R4C,根据角平分线的定义得到N氏4E=50。，根据高线的性质得到

AADE=90°,从而求出乙B4D=60。，继而根据角的和差得到结果；(2)根据角平分线的定义得到

NBAE=；NBAC,根据三角形内角和求出NENC=90。-g/8-g/C,根据角的和差得到结果；(3)过A作

AG1BC=f-G,结合(2)知NE4G=；(NC-NB),证明尸D〃ZG,得到乙4FD=NE/G,即可证明.

【详解】(1)解:Z5=30°,ZC=50°,,N84c=180。-50。-30。=100。，

AE平分N&4C,NBAE=ZCAE=4c=50°,

,「N。是高，ZADE=90°,ZS=30°,ABAD=60°,ZDAE=ABAD-ZBAE=10°；

(2)ZDAE=g(ZC-ZB),

证明如下：・••4B平分/9C,二=

ABAC=1800-ZB-ZC,：.Z^C=1(18O°-Z5-ZC)=9O°-1ZB-|ZC,

NEAD=NEAC-NDAC=90。-；NC一(90。一NC)=1(ZC-Z3)；

(3)不变，理由是：如图，过A作/G1BC于G,由(2)可知：ZEAG=^(ZC-ZB),

F

\'AGLBC,乙4GB=90°,'：FD1BC,ZFDC=90°,ZAGD=ZFDC,;.FD//AG,

:.NAFD=NEAG,:.NAFD=；（NC-NB）.

【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理、角平分线的性质、直角三角形的性质和平行线的判定与性质,

熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的性质是解题的关键.

模型2：双垂直模型

结论：①;②LB=LAFD=^CFE；③AB-CD=AE-BC。

例1.（2023・陕西咸阳•统考一模）如图，在。8c中，BE分别是山边上的高，并且C。,成交于

点尸，若24=50°,则N3PC的度数为（）

【答案】A

【分析】根据题意和直角三角形的两个锐角互余可求得NN3E的度数，再根据三角形的外角即可得.

【详解】解：:8E是NC边上的高，ZBEA=90°,-：ZA=50°,ZABE=90°-ZTI=90°-50°=40°,

CD是48边上的高,：.NCDB=90。,ZBPC=ZCDB+Z.ABE=90°+40°=130°,故选：A.

【点睛】本题考查了余角，三角形的外角，解题的关键是掌握这些知识点.

例2.（2022秋•安徽宿州•八年级校考期中）如图，在AABC中，CD和8E分另IJ是48,/C边上的高，若CD=12,

AT

BE=16,则一二二的值为（）.

【答案】B

【分析】根据三角形的高的性质，利用等积法求解即可.

11Ar123

［详解］「s"8c=彳/*8=二/。的，.-.12AB=16AC,故选B.

22AD164

【点睛】本题考查与三角形的高有关的计算问题.根据三角形的面积公式得出ABCD=AC-BE是解题关键.

例3.（2023春・河南周口•七年级统考期末）如图，在“8C中，AB=8,BC=10,CF，AB于点F,AD1BC

于点。，4D与C尸交于点E,4=46。.

⑴求/ZEC的度数.（2）若40=6,求CF的长.

【分析】（1）数形结合，利用三角形内角和定理求解即可得到答案；

（2）利用等面积法，由=万代值求解即可得到答案.

【详解】（1）解：「。尸」48,二/。尸8=90。，

ZS=46°,二ZBC尸=44°,/AD1BC,AADC=90°,

AAEC=ZADC+ABCF=90°+44°=134°；

(2)解：-：CF1AB,AD1BC,S^ABC=~BC-AD=-AB-CF,

ADBC6x1015

-：AB=S,3c=10,AD=6

AB8

【点睛】本题考查三角形综合，数形结合，利用等面积法求解是解决问题的关键.

模型3：子母型双垂直模型（射影定理模型）（三垂直模型）

结论：①N3=NC4。；②NC=NB4D；@AB-AC=ADBC.

例1.（2023•广东广州•七年级校考阶段练习）如图，在△/C3中，ZACB=90°,CDLAB”,求证:

【分析】根据CD_L/3可得44c8=NCDB=90。，再根据NB+NBC。=N8CD+44CD=90。，即可求证.

【详解】证：VCDLAB,ZACB=90°ZACB=ZCDB=90°

又NB+ZCDB+ZBCD=180°,二4B+ZBCD=90°

又,：AACB=/LBCD+ZACD=90°,ZB+Z.BCD=ABCD+ZACD=90°NB=ZACD

【点睛】此题考查了三角形内角和性质的应用，解题的关键是熟练掌握三角形内角和的性质.

例2.（2023•山东泰安•七年级校考阶段练习）如图，AD,3尸分别是△NBC的高线与角平分线，BF,4D交

于点E,Z1=Z2.求证：△ABC是直角三角形.

【答案】见解析

【分析】根据4D是△48C的高线，可得NBED+/EBD=90。,根据角平分线的定义可得//BE=/EAD,

观察/BED与NAEF的位置,可知是一组对顶角，进而进行等量代换可得=90。，至此结合

已知不难得到AAFE+/LABE=90°,由此解题.

【详解】证明：由题意得：ADLBC,BF平分N4BC,

:"BED+/EBD=gO。,AABE=AEBD,：./BED+/4BE=9。。,

又NAEF=ABED,/AEF+/ABE=90°,

•••AAEF=AAFE,ZAFE+^ABE=90°,:.^BAF=90°,即4/台。是直角三角形.

【点睛】本题考查了三角形高线、角平分线的定义，对顶角相等，熟记角平分线的定义与直角三角形的定

义是关键.

例3.（2022秋・北京通州•八年级统考期末）如图，在zUBC中，4BC=90。，BD1AC,垂足为。.如

果4C=6,BC=3,则8。的长为（）

A.2B.1C.3也D.这

2

【答案】D

【分析】先根据勾股定理求出/瓦再利用三角形面积求出5。即可.

【详解】解：：NN8C=90。，AC=6,BC=3,,根据勾股定理48=灰匚布7=病二,

:BDVAC,:.SAABC^-ABBC=-AC-BD,即2x3gx3=工乂6/。，解得：BD=—.故选择D.

22222

【点睛】本题考查直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积等积式，掌握直角三角形的性质，勾股定理,

三角形面积等积式是解题关键.

例4.（2023春•江苏苏州•七年级苏州中学校考期中）已知，在zUBC中，NACB=NCDB=瞋0<m<180）,

NE是角平分线，。是48上的点，AE、CD相交于点尸.

⑴若m=90时，如图所示，求证：NCFE=NCEF；（2）若mw90时，试问NCFE=NCE/还成立吗？若成立

说明理由；若不成立，请比较和/CE尸的大小，并说明理由.

【答案】⑴见解析；⑵不成立；当加>90时，NCFE>ZCEF；当能<90时，ZCFE<ZCEF■,理由见解析.

【分析】（1）证明NC4£=NA4£,由//C8=NCOB=90。，证明4CD=N8,由三角形的外角的性质可

得NCFE=ZACD+NCAE,ZCEF=ZB+ABAE,从而可得结论.

（2）证明NC尸E-NCEF=NHCB-N8,结合三角形的内角和定理可得

ACFE-ZCEF=m-/.BCD-(180-zn-ZSCD)=2n-180,再分两种情况可得结论.

【详解】(1)证明：1•HE是角平分线，=NA4E,

-,­AACB=ACDB=m°(0<m<180),m=90,:.NACB=NCDB=90。,

ZACD+ZBCD=90°=ABCD+ZB,.1AACD=AB,

■：ZCFE=AACD+ZCAE,ZCEF=ZB+ABAE,:.NCFE=NCEF.

(2)不成立.理由如下：

•:NCFE=ZCAF+ZACF,ZCEF=ZB+NEAB,NCAE=ZBAE,:.ZCFE-NCEF=NACF-NB,

■：ZACB=NCDB=m。［。<m<180),ZCFE-ZCEF=m-ABCD-(180-m-ZSCZ))=2m-180

当掰>90时，NCFE-/CEF=2m-18。>0,，CFE>/CEF；

当加<90时，NCFE-NCEF=2m-18Q<Q,ZCFE<ZCEF.

【点睛】本题考查的是三角形的角平分线是含义，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，不

等式的性质，熟记三角形的外角的性质是解本题的关键.

课后专项训练

1.（2023秋•江苏•八年级专题练习）如图，在“BC中，ZC=90°,N/=30。，的垂直平分线交NC于

点、D,交AB于点E,AC=6,则CD的长为（）

【答案】B

【分析】连接3D,由垂直平分线得3。=/。，可求得NC8O=30。，于是CD=；2Z)=；4D,根据4C=6,

求得CD=2.

【详解】解：连接3D,•・・£>£r是N8的垂直平分线，.•.3。=4。，

AABD=ZA=30°,Z.CBD=180°-90°-30°x2=30°,

ZCBD=ZABD=30°,CD=^BD=^AD,AC=6,3CD=6,CD=2.故选：B.

【点睛】本题考查垂直平分线的性质，三角形内角和定理，30。角直角三角形性质；添加辅助线，运用垂直

平分线导出角之间关系是解题的关键.

2.(2023秋•浙江•八年级专题练习)如图，中，BDVAC,郎平分/NBC,若D/=2BC,ZDBE=20°,

则ZABC=()

DE

A.50°B.60°C.70°D.80°

【答案】B

【分析】设NC=a,那么4=2a,然后利用。分别表示N48C,ZABE,ZABD,最后利用三角形内

角和定理建立方程解决问题.

【详解】解：•.,△A8C中，DA=2DC,

.•.设NC=a,那么4l=2a,..ZABC=180°-44-NC=180°-3a,

BE平分/4BC,ZABE=|ZABC=1（180°-3a）,

i3

BDLAC,Z.DBE=20°,:.乙4BD=NABE-NDBE=万（180。-3a»20。=70。-,

3

ZA+ZABD=2a+10°——a=90°,a=40°,

2

Z^SC=180°-2L4-ZC=180°-3a=60°.故选：B.

【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理，同时也利用了角平分线的定义，解题的关键是熟练使用三角

形内角和定理.

3.（2023•绵阳市八年级月考）如图，在。3c中，AF平分/BAC交BC于效F、BE平分/ABC交AC于

点、E,与BE相交于点O,4。是8C边上的高，若NC=50。，BEAC,则ND4b的度数为（）

【答案】C

【分析】根据题意证明）班2CBE（ASA）,得出ZB/C=NC=50。，三角形内角和定理得出48C=80。，根据

直角三角形的两个锐角互余求得N34D=10。，根据角平分线的定义可得乙阳尸=348"=25。，根据

ZDAF=ZBAF-ZDAB即可求解.

【详解】解：'.'BE1AC,BE平分/ABC,;.NAEB=NCEB=9Q°,ZABE=ZCBE,

,:BE=BE,RBEMACBE（ASA）,NR4C=NC=50。，ZABC=\SQ°-ABAC-ZC=S0°,

'：BEIAC,ZADB=90°,:.NB4D=10。

尸平分N3/C,:2B4F=；NB4c=25。,ZDAF=ZBAF-ZDAB=15°,故选：C.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形的两个锐角互余，三角形的内角和定理，角平

分线的定义，数形结合是解题的关键.

4.（2023春•辽宁沈阳•七年级统考期末）如图，在AABC中，乙4c8=90。，AD,BE,CF分别是AABC的

中线、角平分线和高线，BE交CF于点、G,交AD于点、H,下面说法中一定正确的是（）

△ACD的面积等于△ABD的面积；②NCEG=NCGE；

③NACF=2NABE；®AH=BH.

C.②④D.①③

【答案】B

【分析】①根据三角形中线平分三角形的面积，即可判断A/CD的面积等于△/助的面积；

②先根据同角的余角相等证得NC43=ZBCG,再根据角平分线的定义得出ZABE=4CBE,最后根据三角

形外角的性质得出ZCEG=NCAB+NABE,ZCGE=ZCBE+ZBCG,即可得证；

③先根据同角的余角相等证得ZACF=NCBF再根据角平分线的定义得出ZCBF=2AABE,于是推出

ZACF=2NABE；④无法证得AH=BH.

【详解】解：是“8C的中线，=CD=9，「.△/CD的面积等于的面积，故①正确；

•••BE是以4BC的角平分线，ZABE=ACBE,

「CF是AA8C的高线，ZCFA=90°,ZCAB+ZACF=90°,

ZAC£=90°,ZACF+ZBCG=90°,：.ZCAB=ZBCG,

•••NCEG是的一个外角，ZCEG=ZCAB+ZABE,

「NCGE是ABCG的一个外角，:.ZCGE=ZCBE+NBCG,ACEG=ZCGE,故②正确；

,「C歹是的高线，ZCFB=90°,ZCBF+ZBCF=90°,

-：ZACB=90°,ZACF+ZBCF=90°,:.AACF=NCBF,

・・•班是A/18C的角平分线，ACBF=2ZABE,ZACF=2ZABE,故③正确；

无法证得故④错误；故正确的有①②③故选：B.

【点睛】本题考查了三角形的面积“三角形外角的性质，同角的余角相等，角平分线的定义，熟练掌握这

些性质是解题的关键.

5.（2023•湖北十堰•八年级统考期末）如图，在A48C中，ABAC=90°,4B=6,AC=8,BC=W,AD

是高，族是中线，CF是角平分线，CF交/。于点G,交BE于点、H,下面结论：①"BE的面积=△BCE

的面积；②NAFG=4AGF；③NF4G=2N4CF；④40=2.4.其中结论正确的是（）

A.(1X2)B.①MC.①②③D.③④

【分析】根据三角形角平分线和高的性质可确定角之间的数量关系；根据三角形的中线和面积公式可确定

△ABE和△3CE的面积关系以及求出AD的长度.

【详解】解：:BE是A/BC的中线=的面积等于△8CE的面积故①正确；

■：^BAC=90°,4。是A/BC的高.•.ZAFG+ZTICG=90°,ZDCG+ADGC=90°

..•Cr是"BC的角平分线ZACG=ADCGZAFG=ZDGC

又：NDGC=ZAGFZAFG=ZAGF故②正确；

•：4FAG+NDAC=ADAC+ZACD=90°:"FAG=Z.ACD

'：AACD=ZACF+ZDCF=2AACF:"FAG=2AACF故③正确；

,：2S.ABC=AB・AC=BC・AD；./。=^^£=等=4.8故④错误；故选：C

nC1（J

【点睛】本题考查了三角形的中线、高、角平分线，灵活运用三角形的中线、高、角平分线的性质是解决

本题的关键.

6.（2022秋•山西吕梁•八年级统考期末）如图，08c是等腰三角形，AB=AC,乙1=45。，在腰N8上取

一点。，DELBC,垂足为E,另一腰/C上的高阳交。E于点G,垂足为尸，若BE=3,则DG的长

为.

【答案】6

【分析】过点G作MG18/交BD于点M,过点M作2W1即，根据等腰三角形各角之间的关系得出

ZFBC=ZBDE,再由垂直及等量代换得出=利用等角对等边确定MG=MD=BG,

DG=2DN,再由全等三角形的判定和性质求解即可.

【详解】解：过点G作MG1AF交BD于点M,过点M作NMIED,如图所示：

A

-：AB=AC,41=45。，DELBC,

ZABC=ZC=67.5°,NBDE=22.5°,/ABF=/A=45°,

ZFBC=ZABC-AABF=22.5°,ZBGE=67.5°ZFBC=NBDE,

■：MGLBF,NMLED,ZBGM=ZMND=90°,ZABF=ZBMG=45°

ZMGD=180°-ZBGE-ZBGM=22.5°,MG=BG,

:.NMGD=NBDG,：.MG=MD=BG,DG=2DN,

'AMND=ABEG=90P

在.ADNM与ABEG中,,ZBDE=ZFBC,/.^DNM^^BEG(AAS)

DM=BG

DN=BE=3,DG=1DN=6,故答案为：6.

【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，熟

练运用等腰三角形的判定和性质是解题关键.

7.(2023春•江苏宿迁•七年级统考期末)如图，在“8C中，NA4c=90。，ZC=40°,4//、8。分别是。3。

的高和角平分线，点E为BC边上一点，当AADE为直角三角形时，贝ijNCDE=

【答案】50或25/25或50

【分析】根据三角形内角和定理得ZA8C=50。，由角平分线的定义得ND8C=25。，当△3DE为直角三角

形时，存在两种情况：分别根据三角形外角的性质即可得出结论.

【详解】解：-.ZBAC=90°,ZC=40°,ZABC=90°-40°=50°

BD平分4BCZDBC=-ZABC=25°

当△5DE为直角三角形时，有以下两种情况:

①当N8瓦＞=90°时，如图1,ZC=40°.ZCD£=90°-40°=50°；

②当NBZ）E=90°时，如图2,ZBED=90°-25°=65°,

■：ABED=ZC+ZCDB,ZC£>£=65°-40=25°,

综上，NCDE的度数为50°或25。.故答案为：50或25.

【点睛】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，熟知“三角形的外角的性质”是解答此

题的关键.

8.（2023春•江苏泰州•七年级统考期末）已知：如图，在“8。中，ZACB=90°,D、£分别在边48、BC

上，AE,CD相交于点尸.

⑴给出下列信息：①NCFE=4CEF；②ZE是的角平分线；③CD是小BC的高.请你用其中的两

个事项作为条件，余下的事项作为结论，构造一个真命题，并给出证明；

条件：,结论：.（填序号）

证明：

（2）在（1）的条件下，若NB=a,求乙DEE的度数.（用含。的代数式表示）

【答案】⑴①②；③；见解答（2）/。也=135。-；。

1分析】（1）条件：①②，结论：③，由角平分线的性质可得NA4E=NC4E,由NCFE=NCE/和

ZAFD=NCFE「得出NCEF=ZAFD,利用三角形内角和可得结论；

(2)利用(1)的结论和三角形外角性质即可得答案.

【详解】(1)条件：①②，结论：③，

证明：:NE是443C的角平分线，,=

ZCFE=ZCEF,ZCFE=ZAFD,ACEF=AAFD,

-：ZACE+ZAEC+NCAE=ZADF+ZAFD+ABAE=180°,

:ZCE=N4DF=9。。,..CD是“BC的高.

条件：①③，结论：②，

证明：CD是-8C的高，ZACB=ZBDC=9Q°,：.ZB=ZACD=90°-ZBCD,

;2CFE=NCEF,ACFE=AACF+ZCAF,ZCEF=AB+ZBAE,

4BAE=NCAE,二NE是。BC的角平分线；

条件：②③，结论：①，

证明：1YE是小BC的角平分线，=/B4E=NC4E,

.•CD是AABC的高，AACB=ZBDC=90°,

：.ZB=ZACD=900-ZBCD,

ZCFE=AACF+ZCAF,ZCEF=ZS+ABAE,

4CFE=NCEF；故答案为：①②；③；

证明：见解答；

(2)；4B=a,:.NB4c=90。一a,

190°-a

AE是^ABC的角平分线，NBAE=~^BAC=--—,

90°-a1

ZADC=90°,ADFE=Z.BAE+AADC=---------+90°=135°——a.

22

【点睛】本题考查命题与定理，掌握角分线的定义，三角形内角和定理，外角性质，掌握三角形外角的性

质是解题关键.

9.(2023秋・浙江•八年级专题练习)如图，在RQA8C中，4cB=90。，CD14B于。，AF平分NCAB

交CD于E,交BC于F.

c

⑴如果NCEE=70。，求的度数；(2)试说明：NCEF=ZCFE.

【答案】⑴50。(2)见解析

【分析】(1)根据三角形内角和可得NG4尸的度数，根据角平分线的定义可得NC48的度数，根据直角三

角形的性质可得的度数；

(2)根据直角三角形的两锐角互余可得NC4尸+NC尸E=90。，ZDAE+AAED=90°,根据角平分线的定义

可得NC4F=NDAE,从而可得NCFE=NZEQ,即可得证.

【详解】(1)解：7a1CS=90。，ZCFE=70°,

NCAF=180°-90°-70°=20°,

：4尸平分/C4B交CD于E,

ZCAB=2ZCAF=40°,

Z5=90o-40°=50°；

(2)证明：7乙4c3=90。,

NCAF+NCFE=90°,

：CD1AB,

ZADE=90°,

ND4E+ZAED=90。,

：4尸平分/C4B交CD于E,

ZCAF=ZDAE,

4CFE=ZAED,

:ZAED=ZCEF,

ACEF=NCFE.

【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握直角三角形的性

质是解题的关键.

10.(2023秋•浙江•八年级专题练习)对于下列问题，在解答过程的空白处填上适当的内容(理由或数学

式）.如图.在直角"BC中，C。是斜边上的高，乙88=35。.

AC

⑴求NE8C的度数；（2）求//的度数.

解：（1）-：CDLAB（已知），

ACDB=°,

'JAEBC=ZCDB+ABCD（）,

ZEBC=°+35。=°（等量代换），

（2）ZEBC=ZA+AACB（）,

:.ZA=ZEBC-（等式的性质），

7a4cs=90。（已知），

二乙4=-90。=°（等量代换）.

【答案】⑴90；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；90；125

⑵三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；ZACB-,125°；35

【分析】（1）根据三角形外角的性质和等量代换进行作答即可；

（2）根据三角形外角的性质和等量代换进行作答即可.

【详解】（1）解：:。。148（已知），；./。。3=90。，

...N£BC=NCD8+乙8CD（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）.

:"EBC=90。+35。=125°（等量代换）.

⑵..^NE3C=乙4+44CS（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和），

，乙4=NEBC-乙4cB（等式的性质）.

'ZCB=90°（已知），；.N/=125。-90。=35。（等量代换）.

【点睛】本题考查三角形的外角.熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，是解题关键.

11.（2023•广东中山•八年级校联考期中）如图，在“8C中，/ACB=90。,CDLAB于点、D,E为AB上

一点，AC=AE

c

⑴求证：CE平分ZDCB；⑵若CE=EB,求证：BD=3AD.

【答案】⑴见解析⑵见解析

【分析】(1)证明乙DCE=90。-NCED,NBCE=90°-ZACE,再证明NCED=4CE,从而可得结论；

(2)先证明Z8=N8CE,NB=NDCE=NBCE=30°可得/ACD=90°-/DCE-NBCE=30°,AC=2AD,

AB=2AC=4AD^从而可得结论.

【详解】(1)证：在Rt^COE中，NDCE=90。-NCED

在RtZUBC中，NBCE=9Q°-ZACE

-：AC=AE,

ZCED=AACE,

：.ZDCE=ZBCE,

:.CE平分4DCB；

(2)CE=BE,

NB=ZBCE

,在Rt^CAE中，ZB+ZBCD=90°,而/BCD=NDCE+NBCE

ZB=ZDCE=NBCE=30°

ZACD=90°-ZDCE-ABCE=30°

•.・在RtzX/CD中，ZACD=30°

AC=2AD

•.・在Rta/3C中，ZB=30°

AB=2AC=4AD,

BD=AB-AD=3AD.

【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练的证明并

求解4B=ZDCE=NBCE=30°是解本题的关键.

12.(2023•浙江温州•八年级校考阶段练习)如图，在△N8C中，ZACB=90°,CDL/8于点。，CE平分

NDCB交AB于点瓦

c

(1)求证：4AEC=/ACE；(2)若NN£C=2NB,4D=1,求的长.

【答案】⑴证明见解析(2)/5=4

【分析】(1)依据//C8=90。，CDLAB,即可得到//CD=/瓦再根据CE平分/BCD,可得NBCE=

ADCE,进而得出N/EC=N/CE；(2)依据N4CD="CE=NDCE,ZACB=90°,即可得到N/CO=

30°,进而得出式/中，AC=2AD=2,RtMBC中,AB=2AC=4.

【详解】(1)AACB=90°,CDLAB,

ZACD+ZA=ZB+ZA=90°,:.AACD=AB,

；CE平分/BCD,：./BCE=乙DCE,

：.AB+ABCE=AACD+^DCE,即N4EC=/ACE；

(2)AAEC=AB+ABCE,4AEC=2/B,：.AB=ABCE,

又；NACD=NB,4BCE=NDCE,:.NACD=NBCE=NDCE,

又://C2=90。，AACD=30°,N3=30。，

.•.w△/CD中，AC=2AD=2,:.RtMBC中,AB=2AC=4.

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理与外角的性质、角平分线的定义、直角三角形30。角所对的直角

边长度是斜边的一半，解题时注意：三角形内角和是180。，三角形外角等于不相邻两个内角的和.

13.(2022秋•河南商丘•八年级统考阶段练习)如图，在。BC中，NE分别是"8C的角平分线和高

线，ZABC=a,乙4cB=B(a<困.

⑴若Q=35。,万=55。，则ZZME=；

(2)小明说：“无需给出外，的具体数值，只需确定万与。的差值，即可确定/D4E的度数.”请通过计算

验证小明的说法是否正确.

【答案】⑴10°（2）小明的说法正确,理由见解析

【分析】（1）先根据三角形的内角和求出/胡C,根据角平分线的定义求出根据直角三角形的两

个锐角互余求出NCAE,再利用角的和差即可求出ZDAE；

（2）根据（1）的思路求出ND4E=\@，即可作出判断.

【详解】（1）•:NABC=a,ZACB=队。＜刃,a=35。,，=55。，

ABAC=180°-a-/3=90°,

*/40是/氏4C的平分线，

:ADAC=-ABAC=45°,

2

AE是局线,

/.ZAEC=90°f

/.ZEAC=90。—4C3=90。—£=35。，

/DAE=/CAD-/CAE=45°-35°=10°；

（2）・.•NA4C=180。—（43C+4cg）=180。-（0用），/£是NB4C的平分线，

/.ADAC=g/BAC=90。—+£）.

.AE是高线，

/.ZAEC=90°,

:"EAC=90。—乙4CH=90。-£,

.•.ZCUE=ZZMC—N£/C=90。—；（4+£）—（90。—万）=^^.

由/0/石=与0可知：/D4E的度数与。、万的具体数值无关，只和万与。的差值有关，

故小明的说法正确.

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、直角三角形的两个锐角互余和角的和差计算,

属于基础题目，熟练掌握三角形的基本知识是解题的关键.

14.（2023・安徽安庆•八年级校考期中）如图，在AABC中，乙8=63。，ZC=51°,4。是3C边上的高，AE

是/胡。的平分线.

A

⑴求/D4E的度数；（2）若N8>NC,试探求ND4E、NB、NC之间的数量关系.

【答案】⑴/"£=6。⑵ZD/£=；Z8一g/C

【分析】（1）根据三角形内角和定理得出/胡。=180。-/3-/。=66。，根据角平分线的定义得出

ZBAE=ACAE=|ABAC=33°,根据/D/8C,得出ZADB=ZADC=90。，求出=90。一N8=27。,

最后根据NDAE=NBAE-NBAD=33°-27°=6°得出结果；

（2）根据角平分线的定义得出==4c=90。-（48-〈NC,根据高线的定义得出

NADB=ZADC=90。,求出Z8/D=90。一Z8,根据Z8>NC,彳导出NB4D<NB4E,根据

ZDAE=NBAE-NBAD求出结果即可.

【详解】（1）解：,在“8C中，48=63。，ZC=51°,

ABAC=180°-ZS-ZC=66°,

/E是/A4c的平分线，

NBAE=ZCAE=-ZBAC=33°,

2

•••4D是3c边上的高，

ADIBC,

ZADB=AADC=90°,

ZBAD=90°-ZB=21°,

ZDAE=ABAE-ABAD=33°-27°=6°.

（2）解：•.•/8/。=180。一/8-/。，/E是/A4c的平分线，

ZBAE=ZCAE=-ABAC=90°--Z5--ZC,

222

ZD是BC边上的高，

ADIBC,

ZADB=ZADC=90°,

/BAD=90°-NB,

/Z5>ZC,

/BAD</BAE,

/.Z.DAE=/BAE-Z.BAD

=90°--Z5-izC-900+ZS

22

=-zs--zc,

22

即一;/C.

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，角平分线的定义，三角形的高线，解题的关键是熟练

掌握三角形内角和为180。.

15.(2023•福建莆田•八年级校考期中)规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，

那么称这两个三角形互为“等角三角形”.

从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分

割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形是“等角三角形”，我

们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”.

⑴如图1,在Rt^4BC中，44cs=90。，CDLAB,请写出图中两对“等角三角形”；

(2)如图2,在zUBC中，CD为/NC8的平分线，乙4=40。，ZB=60°.求证：CD为的“等角分割线”;

(3)在AABC中，若4=50。，CD是小BC的"等角分割线”，请求出所有可能的N/CS的度数.

【答案】⑴"8C与A/CD；"BC与ABCD；AACD与2BCD(任意写出两对“等角三角形”即可)

2600310°

⑵见解析⑶NACB的度数为100。或115。或r或r

【分析】(1)先根据直角三角形的性质可得—CB=ZADC=NADC=90。，ZA=NBCD,ZB=ZACD,

再根据“等角三角形”的定义即可得；

(2)先根据三角形的内角和定理可得44c3=80。，从而可得4cD=ZDCB=40。，根据等腰三角形的判

定可得A/CD是等腰三角形，再根据三角形的内角和定理可得N8r>C=NNC8=80。，从而可得△BCD与

“BC是"等角三角形，，，然后根据等角分割线的定义即可得证；

(3)分①当A/C。是等腰三角形，DZ=DC时；②当A/CO是等腰三角形，D4=/C时；③当△BCD是等

腰三角形，0c=3。时；④当△BCD是等腰三角形，=时四种情况，利用等腰三角形的性质、三角

形的外角性质求解即可得.

【详解】(1)解：7乙4cs=90。，CDLAB,

ZACB=NADC=4BDC=90°,

AA+ZB=AA+AACD=ZB+ZBCD=AACD+ABCD=90°,

ZA=ZBCD,ZB=ZACD,

:."BC与"CD；AABC与△BCD；△/(%＞与△BCD是“等角三角形”.(任意写出两对“等角三角形”即可)

(2)证明：在08C中，N/=40。，/8=60。，

ZL4CS=180°--Z5=80°,

「CD为角平分线，

AACD=ADCB=-AACB=40°,

2

ZACD=AA,ZDCB=AA,

CD=AD,

.•.△/CD是等腰三角形，

■.■在△DBC中，ZDCS=40°,ZB=60°,

ZBDC=180°-ADCB-Z5=80°,

ZBDC=ZACB,

△BCD与“BC是"等角三角形”，

二。为"8C的等角分割线.

(3)解：由题意，分以下四种情况：

①当"CD是等腰三角形，D4=D。时，ZACD=ZA=50°,

ZACB=ABDC=50°+50°=100°；

C

②当是等腰三角形，DA=ACB^,^ACD=ZADC=65°,ABCD=AA=50°,

・•・4c5=65。+50。=115。；

c

ADB

1QAO_50。1ono

③当△BCD是等腰三角形，DC=BD^,NACD=NBCD=/B=--------=——,

zA

ADB

④当△5CQ是等腰三角形，£）8=3。时，ZBDC=ZBCD,

设4BDC=4BCD=x,贝i」N5=180。一2x,ZACD=ZB=lS0°-2x,

230°

由三角形的外角性质得：AA+ZACD=/BDC,即50。+180。—2x=x,解得％=二，

310°

/.AACB=ZACD+/BCD=180。一2x+%=----；

3

ADB

综上，N/C8的度数为100。或115。或2号600-或3号10°

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识点，较难的是题（3）,正

确分四种情况讨论是解题关键.

16.（2023・安徽安庆・八年级统考期末）如图，在AABC中，NA4c和N48C的平分线相交于点。，过点。

作EF//AB交BC于F,交/C于E,过点。作OD1BC于D.

(1)求证：ZAOB=90°+^ZC；(2)求证：AE+BF=EF-,(3)若。。=a,CE+CF=2b,请用含a,b

的代数式表示ACE尸的面积，SLCEF=（直接写出结果）

【答案】(1)见解析；(2)EF=AE+BF•,(3)ab

【分析】(1)根据角平分线的性质和三角形的内角和定理，即可得到结论成立.

(2)由平行线的性质和角平分线的性质，得到力£=。£,BF=OF,然后即可得结论成立；

(3)过点。作OGJ_AC,连接0C,由点。为内心，可知OD=OG,由S。所=5^。尸+5t0后，即可得到答

【详解】证明：(1)05平分/以C和

AOAB=ZOAE=-ZCOB,AOBA=ZOBF=-ZABC