人教版高中数学选择性必修第二册第5章 一元函数的导数及其应用 质量评估(含解析)

人教版高中数学选择性必修第二册第5章一元函数的导数及其应用质量评估(原卷版)(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．曲线f(x)＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标为()A．－9 B．－3C．9 D．152．下列结论正确的个数是()①若f(x)＝ln2，则f′(x)＝eq\f(1,2)；②若f(x)＝eq\f(1,x2)，则f′(3)＝－eq\f(2,27)；③若f(x)＝2x，则f′(x)＝2xln2；④若f(x)＝log2x，则f′(x)＝eq\f(1,xln2).A．0 B．1C．2 D．33．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()A．(－∞，2) B．(0,3)C．(1,4) D．(2，＋∞)4．函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在(1，f(1))处切线的斜率为()A．－eq\f(1,4) B．2C．4 D．－eq\f(1,2)5．如果函数f(x)＝2x3＋ax2＋1(a为常数)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，且在区间(0,2)上单调递减，则a的值为()A．1 B．2C．－6 D．－126．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于()A．2 B．3C．6 D．97．已知函数f(x)的导函数的图象如图所示，若△ABC为锐角三角形，则一定成立的是()A．f(sinA)>f(cosB)B．f(sinA)<f(cosB)C．f(sinA)>f(sinB)D．f(cosA)<f(cosB)8．若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数具有T性质的是()A．y＝sinx B．y＝lnxC．y＝ex D．y＝x3二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a可取的范围有()A．(－∞，－3]B．(－∞，－3)C．[6，＋∞)D．(6，＋∞)10．如图是函数y＝f(x)导函数y＝f′(x)的图象，下列选项中正确的是()A．在x2处导函数y＝f′(x)有极大值B．在x1，x4处导函数y＝f′(x)有极小值C．在x3处函数y＝f(x)有极大值D．在x5处函数y＝f(x)有极小值11．对于函数f(x)＝16ln(1＋x)＋x2－10x，下列正确的是()A．x＝3是函数f(x)的一个极值点B．f(x)的单调递增区间是(－1,1)，(2，＋∞)C．f(x)在区间(1,2)上单调递减D．直线y＝16ln3－16与函数y＝f(x)的图象有3个交点12．已知函数f(x)＝x2－3x＋m－2lnx，()A．m＝3时，f(x)有两个零点B．m＝3时，f(x)的极小值点为2C．m＝3时，f(x)≥0恒成立D．若f(x)只有一个零点，则m＝2＋2ln2三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝1和x＝－1处均有极值，且f(－1)＝－1，则a＋b＋c＝________.14.已知函数f(x)＝x3－3ax2－bx，其中a，b为实数．若f(x)在区间[－1,2]上为减函数，且b＝9a，则a的取值范围是________．15.已知曲线f(x)＝ax3＋lnx，若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为4，则a＝________；若曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．16.已知矩形的两个顶点A，D位于x轴上，另两个顶点B，C位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，则这个矩形的面积最大时的边长为________．四、解答题(本题共6小题，共70分)17.(10分)已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a，b的值；(2)若函数f(x)在区间(－1,1)上不单调，求a的取值范围．18.(12分)设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导函数f′(x)，若函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝－eq\f(1,2)对称，且f′(1)＝0.(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)的极值．19.(12分)已知函数f(x)＝x2＋xsinx＋cosx.(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．20.(12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－eq\f(2,3)与x＝1处都取得极值．(1)求a，b的值与函数f(x)的单调区间；(2)若对x∈[－1,2]，不等式f(x)<c2恒成立，求c的取值范围．21.(12分)有A，B两家化工厂，相距48km，现在要在两家化工厂连线上一点M处建造居民小区，考虑点M处的污染指数，据环保部门测定，连线上任意一点处的污染指数与污染源的强度成正比，与到污染源的距离的平方成反比，比例系数分别为k1，k2(k1，k2>0)．若将A，B两家化工厂作为污染源，且已知A，B两厂的污染强度分别是8p和p.连线上任意一点处的污染指数y等于A，B两家化工厂污染指数的和，若设MA＝xkm.(1)试将y表示为x的函数；(2)求当M点处的污染指数y取得最小值时x的值．22.(12分)已知函数f(x)＝f′(1)ex－1－f(0)x＋eq\f(1,2)x2.(1)求f(x)的解析式及单调区间；(2)若f(x)≥eq\f(1,2)x2＋ax＋b，求(a＋1)b的最大值．人教版高中数学选择性必修第二册第5章一元函数的导数及其应用质量评估(解析版)(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．曲线f(x)＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标为()A．－9 B．－3C．9 D．15C解析：由已知得切线的斜率k＝f′(1)＝3，所以切线方程为y－12＝3(x－1)，即3x－y＋9＝0.令x＝0，得y＝9，所以切线与y轴交点的纵坐标为9.2．下列结论正确的个数是()①若f(x)＝ln2，则f′(x)＝eq\f(1,2)；②若f(x)＝eq\f(1,x2)，则f′(3)＝－eq\f(2,27)；③若f(x)＝2x，则f′(x)＝2xln2；④若f(x)＝log2x，则f′(x)＝eq\f(1,xln2).A．0 B．1C．2 D．3D解析：①y＝ln2为常数，所以y′＝0，①错；②③④均正确，直接利用求导公式即可验证．3．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()A．(－∞，2) B．(0,3)C．(1,4) D．(2，＋∞)D解析：f′(x)＝(x－2)ex.由f′(x)>0得x>2.所以函数f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)．4．函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在(1，f(1))处切线的斜率为()A．－eq\f(1,4) B．2C．4 D．－eq\f(1,2)C解析：∵y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y＝2x＋1.∴g′(1)＝k＝2，又f′(x)＝g′(x)＋2x，∴f′(1)＝g′(1)＋2＝4，故曲线y＝f(x)在(1，f(1))处切线的斜率为4.5．如果函数f(x)＝2x3＋ax2＋1(a为常数)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，且在区间(0,2)上单调递减，则a的值为()A．1 B．2C．－6 D．－12C解析：令f′(x)＝6x2＋2ax＝0，得x＝0或x＝－eq\f(a,3)，由题意，知f′(x)＝0的两根为0,2，所以2＝－eq\f(a,3)，所以a＝－6.6．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于()A．2 B．3C．6 D．9D解析：∵f′(x)＝12x2－2ax－2b，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.又a>0，b>0，∴a＋b≥2eq\r(ab)，∴2eq\r(ab)≤6，∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时等号成立．7．已知函数f(x)的导函数的图象如图所示，若△ABC为锐角三角形，则一定成立的是()A．f(sinA)>f(cosB)B．f(sinA)<f(cosB)C．f(sinA)>f(sinB)D．f(cosA)<f(cosB)A解析：由导函数图象可知，x>0时，f′(x)>0，即f(x)单调递增．又△ABC为锐角三角形，则A＋B>eq\f(π,2)，即eq\f(π,2)>A>eq\f(π,2)－B>0，故sinA>sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－B))>0，即sinA>cosB>0.故f(sinA)>f(cosB)．8．若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数具有T性质的是()A．y＝sinx B．y＝lnxC．y＝ex D．y＝x3A解析：∵(lnx)′＝eq\f(1,x)>0，(ex)′＝ex>0，(x3)′＝3x2≥0.∴选项B，C，D中的曲线不存在两点，其切线的斜率之积为－1，只有A项符合．二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a可取的范围有()A．(－∞，－3]B．(－∞，－3)C．[6，＋∞)D．(6，＋∞)BD解析：依题意f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，对应的判别式Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＝4a2－12a－72>0，即a2－3a－18>0，即(a－6)(a＋3)>0，解得a<－3或a>6.故选BD．10．如图是函数y＝f(x)导函数y＝f′(x)的图象，下列选项中正确的是()A．在x2处导函数y＝f′(x)有极大值B．在x1，x4处导函数y＝f′(x)有极小值C．在x3处函数y＝f(x)有极大值D．在x5处函数y＝f(x)有极小值ABCD解析：根据导函数f′(x)的图象可知：x1，x4的两侧f′(x)左减右增，所以在x1，x4处导函数y＝f′(x)有极小值；x2的两侧f′(x)左增右减，所以在x2处导函数y＝f′(x)有极大值．根据导函数f′(x)的图象可知：x3的左侧导数大于零，右侧导数小于零，所以在x3处函数y＝f(x)有极大值.x5的左侧导数小于零，右侧导数大于零，所以在x5处函数y＝f(x)有极小值．故选ABCD．11．对于函数f(x)＝16ln(1＋x)＋x2－10x，下列正确的是()A．x＝3是函数f(x)的一个极值点B．f(x)的单调递增区间是(－1,1)，(2，＋∞)C．f(x)在区间(1,2)上单调递减D．直线y＝16ln3－16与函数y＝f(x)的图象有3个交点ACD解析：由题得f′(x)＝eq\f(16,1＋x)＋2x－10＝eq\f(2x2－8x＋6,1＋x)，x>－1.令2x2－8x＋6＝0，可得x＝1或3，则f(x)在(－1,1)，(3，＋∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减，所以x＝3是函数f(x)的一个极值点，故AC正确，B错误．因为f(1)＝16ln(1＋1)＋12－10＝16ln2－9，f(3)＝16ln(1＋3)＋32－10×3＝16ln4－21，又y＝16ln3－16＝f(2)，根据f(x)在(1,3)上单调递减得f(1)>f(2)>f(3)，得16ln3－16<16ln2－9，16ln3－16>16ln4－21，所以直线y＝16ln3－16与函数y＝f(x)的图象有3个交点，故D正确．故选ACD．12．已知函数f(x)＝x2－3x＋m－2lnx，()A．m＝3时，f(x)有两个零点B．m＝3时，f(x)的极小值点为2C．m＝3时，f(x)≥0恒成立D．若f(x)只有一个零点，则m＝2＋2ln2ABD解析：对于选项A，当m＝3时，f(x)＝x2－3x＋3－2lnx，其定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－3－eq\f(2,x)＝eq\f(2x2－3x－2,x)＝eq\f(2x＋1x－2,x).令f′(x)＝0，得x＝2，当0<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0，∴f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，∴f(x)min＝f(2)＝1－2ln2＝1－ln4<0，且f(1)＝1>0，f(3)＝3－2ln3>0，∴f(x)在定义域内有两个零点，故选项A正确．对于选项B，由上面的推导过程可知，当m＝3时，f(x)的极小值点为2，故选项B正确．对于选项C，由上面的推导过程可知，f(2)<0，故选项C错误．对于选项D，若f(x)只有一个零点，则方程x2－3x＋m－2lnx＝0只有一个根，即方程－m＝x2－3x－2lnx只有一个根．令g(x)＝x2－3x－2lnx，x>0，则函数g(x)的图象与直线y＝－m只有一个交点．g′(x)＝eq\f(2x＋1x－2,x)，令g′(x)＝0,∴x＝2，当0<x<2时，g′(x)<0；当x>2时，g′(x)>0，∴g(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，∴g(x)min＝g(2)＝－2－2ln2，且当x→0时，g(x)→＋∞；当x→＋∞时，g(x)→＋∞.∴函数g(x)的图象与直线y＝－m只有一个交点时，－m＝－2－2ln2，∴m＝2＋2ln2，故选项D正确．故选ABD．三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝1和x＝－1处均有极值，且f(－1)＝－1，则a＋b＋c＝________.1解析：f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题意知f′(1)＝3a＋2b＋c＝0，f′(－1)＝3a－2b＋c＝0，又f(－1)＝－a＋b－c＝－1，可解得a＝－eq\f(1,2)，b＝0，c＝eq\f(3,2)，所以a＋b＋c＝1.14.已知函数f(x)＝x3－3ax2－bx，其中a，b为实数．若f(x)在区间[－1,2]上为减函数，且b＝9a，则a的取值范围是________．[1，＋∞)解析：由题意知f′(x)＝3x2－6ax－b≤0对x∈[－1，2]恒成立，b＝9a，所以f′(x)＝3x2－6ax－9a≤0，即x2－2ax－3a≤0对x∈[－1,2]恒成立．因为2x＋3>0，所以a≥eq\f(x2,2x＋3)对x∈[－1,2]恒成立，容易求得a≥1.15.已知曲线f(x)＝ax3＋lnx，若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为4，则a＝________；若曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．1(－∞，0)解析：f′(x)＝3ax2＋eq\f(1,x).令f′(1)＝3a＋1＝4，得a＝1.∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)＝0有解，即3ax2＋eq\f(1,x)＝0有解，∴3a＝－eq\f(1,x3)，而x>0，∴a∈(－∞，0).16.已知矩形的两个顶点A，D位于x轴上，另两个顶点B，C位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，则这个矩形的面积最大时的边长为________．eq\f(4\r(3),3)，eq\f(8,3)解析：由题意，设矩形边长AD＝2x，则AB＝4－x2，∴矩形面积为S＝2x(4－x2)＝8x－2x3(0<x<2)．∴S′＝8－6x2.令S′＝0，解得x1＝eq\f(2\r(3),3)，x2＝－eq\f(2\r(3),3)(舍去)．当0<x<eq\f(2\r(3),3)时，S′>0；当eq\f(2\r(3),3)<x<2时，S′<0.∴当x＝eq\f(2\r(3),3)时，S取得最大值为eq\f(32\r(3),9).即矩形的边长分别是eq\f(4\r(3),3)，eq\f(8,3)时，矩形的面积最大．四、解答题(本题共6小题，共70分)17.(10分)已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a，b的值；(2)若函数f(x)在区间(－1,1)上不单调，求a的取值范围．解：(1)由函数f(x)的图象过原点，得b＝0.又f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)，f(x)在原点处的切线斜率是－3，∴－a(a＋2)＝－3，解得a＝－3或a＝1.(2)由f′(x)＝0，得x1＝a，x2＝－eq\f(a＋2,3).又f(x)在(－1,1)上不单调，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<a<1，,a≠－\f(a＋2,3)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<－\f(a＋2,3)<1，,a≠－\f(a＋2,3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<a<1，,a≠－\f(1,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－5<a<1，,a≠－\f(1,2).))所以a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－5，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)).18.(12分)设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导函数f′(x)，若函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝－eq\f(1,2)对称，且f′(1)＝0.(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)的极值．解：(1)因为f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1，所以f′(x)＝6x2＋2ax＋b，从而f′(x)＝6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,6)))2＋b－eq\f(a2,6)，即y＝f′(x)的图象关于直线x＝－eq\f(a,6)对称，从而由题设条件知－eq\f(a,6)＝－eq\f(1,2)，解得a＝3.又因为f′(1)＝0，所以6＋2a＋b＝0，解得b＝－12.所以实数a，b的值分别为3，－12.(2)由(1)知，f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1，f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)．令f′(x)＝0，即6(x－1)(x＋2)＝0，解得x1＝－2，x2＝1，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，故f(x)在区间(－∞，－2)内为增函数；当x∈(－2,1)时，f′(x)<0，故f(x)在区间(－2,1)内为减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在区间(1，＋∞)内为增函数；从而函数f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝21，在x2＝1处取得极小值f(1)＝－6.19.(12分)已知函数f(x)＝x2＋xsinx＋cosx.(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．解：由f(x)＝x2＋xsinx＋cosx，得f′(x)＝x(2＋cosx)．(1)因为曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，所以f′(a)＝a(2＋cosa)＝0，b＝f(a)．解得a＝0，b＝f(0)＝1.(2)令f′(x)＝0，得x＝0.f(x)与f′(x)的变化情况如下：x(－∞，0)0(0，＋∞)f′(x)－0＋f(x)单调递减1单调递增所以函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，f(0)＝1是f(x)的最小值．因此b的取值范围是(1，＋∞).20.(12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－eq\f(2,3)与x＝1处都取得极值．(1)求a，b的值与函数f(x)的单调区间；(2)若对x∈[－1,2]，不等式f(x)<c2恒成立，求c的取值范围．解：(1)对f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c求导，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.由f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝eq\f(4,3)－eq\f(4,3)a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，得a＝－eq\f(1,2)，b＝－2.∴f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)．令f′(x)＝0，解得x＝－eq\f(2,3)或x＝1.当x变化时，f′(x)的变化情况如下表：xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2,3)))－eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，1))1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增∴函数f(x)的递增区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2,3)))和(1，＋∞)，递减区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，1)).(2)f(x)＝x3－eq\f(1,2)x2－2x＋c，x∈[－1,2]．当x＝－eq\f(2,3)时，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝eq\f(22,27)＋c为极大值，而f(2)＝2＋c，则f(2)＝2＋c为最大值．要使f(x)<c2(x∈[－1,2])恒成立，只需c2>f(2)＝2＋c，解得c<－1或c>2.∴c的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).21.(12分)有A，B两家化工厂，相距48km，现在要在两家化工厂连线上一点M处建造居民小区，考虑点M处的污染指数，据环保部门测定，连线上任意一点处的污染指数与污染源的强度成正比，与到污染源的距离的平方成反比，比例系数分别为k1，k2(k1，k2>0)．若将A，B两家化工厂作为污染源，且已知A，B两厂的污染强度分别是8p和p.连线上任意一点处的污染指数y等于A，B两家化工厂污染指数的和，若设MA＝xkm.(1)试将y表示为x的函数；(2)求当M点处的污染指数y取得最小值时x的值．解：(1)点M处受A工厂的污染指数为8pk1·eq\f(k2,x2)，受B工厂的污染指数为pk1·eq\f(k2,48－x2)，从而点M处的污染指数y＝8pk1·eq\f(k2,x2)＋pk1·eq\f(k2,48－x2)，其中0<x<48.(2)由(1)知y＝8pk1·eq\f(k2,x2)＋pk1·eq\f(k2,48－x2)＝pk1k2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(8,x2)＋\f