人教版高中数学选择性必修第二册 全册模块综合检测2(含解析)

人教版高中数学选择性必修第二册全册模块综合检测2(原卷版)(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知函数f(x)＝e2x＋1，则f′(0)＝()A．0 B．eC．2e D．eq\f(e,2)2．在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝36，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9的值为()A．27 B．30C．33 D．363．已知a>0，b>0，a，b的等比中项为2，则a＋eq\f(1,b)＋b＋eq\f(1,a)的最小值为()A．3 B．4C．5 D．4eq\r(2)4．函数y＝eq\f(x－1,2x＋1)在(1,0)处的切线与直线l：y＝ax垂直，则a＝()A．－3 B．3C．eq\f(1,3) D．－eq\f(1,3)5．已知等差数列{an}的前n项和Sn满足：S37－S23＝a，则S60＝()A．4a B．eq\f(30,7)aC．5a D．eq\f(40,7)a6．函数f(x)＝(x2＋2x)e2x的图象大致是()7．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，则芒种日影长为()A．一尺五寸 B．二尺五寸C．三尺五寸 D．四尺五寸8．已知函数f(x)＝x3－x和点P(1，－1)，则过点P与该函数图象相切的直线条数为()A．1 B．2 C．3 D．4二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an－2，若存在两项am，an，使得aman＝64，则()A．数列{an}为等差数列B．数列{an}为等比数列C．aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)＝eq\f(4n－1,3)D．m＋n为定值10．若函数exf(x)(e＝2.7182…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数为()A．f(x)＝2－x B．f(x)＝3－xC．f(x)＝x3 D．f(x)＝x2＋211．设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a6a7>1，eq\f(a6－1,a7－1)<0，则下列结论正确的是()A．0<q<1 B．a6a8>1C．Sn的最大值为S7 D．Tn的最大值为T612．设f′(x)为函数f(x)的导函数，已知x2f′(x)＋xf(x)＝lnx，f(1)＝eq\f(1,2)，则下列结论正确的是()A．xf(x)在(1，＋∞)单调递增B．xf(x)在(0,1)单调递减C．xf(x)在(0，＋∞)上有极大值eq\f(1,2)D．xf(x)在(0，＋∞)上有极小值eq\f(1,2)三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知等差数列{an}中，a4＝8，a8＝4，则其通项公式an＝________.14.已知正项等比数列{an}满足a1＝1，a2a6a7＝eq\f(1,16)a1a9，则an＝________，数列{log2an}的前n项和为________．15.函数f(x)＝eq\f(1,2)x2－lnx的单调递减区间是________．16.已知函数f(x)＝lnx＋eq\f(m,x)，若函数f(x)的极小值不小于0，则实数m的取值范围为________．四、解答题(本题共6小题，共70分)17.(10分)等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)若a3，a5分别是等差数列{bn}的第4项和第16项，求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.18.(12分)已知函数f(x)＝eq\f(1,2)x2－3lnx.(1)求f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)试判断f(x)在区间(1，e)上有没有零点．若有，判断零点的个数．19.(12分)设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，且a3＝2，S9＝54.(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：eq\r(\f(1,a1＋3))＋eq\r(\f(1,a2＋3))＋eq\r(\f(1,a3＋3))＋…＋eq\r(\f(1,a100＋3))>13.20.(12分)设函数f(x)＝ex－ax－1(a∈R)．(1)若a＝2，求函数f(x)在区间[0,2]上的最大值和最小值；(2)当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围．21.(12分)等差数列{an}中，S3＝21，S6＝24，(1)求数列{an}的前n项和公式Sn；(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.22.(12分)已知a，b∈R，设函数f(x)＝ex－ax－beq\r(x2＋1).(1)若b＝0，求f(x)的单调区间；(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)的最小值为0，求a＋eq\r(5)b的最大值．注：e＝2.71828…为自然对数的底数．人教版高中数学选择性必修第二册全册模块综合检测2(解析版)(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知函数f(x)＝e2x＋1，则f′(0)＝()A．0 B．eC．2e D．eq\f(e,2)C解析：∵f(x)＝e2x＋1，∴f′(x)＝2e2x＋1，∴f′(0)＝2e.故选C．2．在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝36，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9的值为()A．27 B．30C．33 D．36B解析：因为a1＋a4＋a7＝3a4＝36，所以a4＝12.因为a2＋a5＋a8＝33，所以a5＝11.所以d＝a5－a4＝－1，所以a3＋a6＋a9＝3a6＝3(a5＋d)＝30.故选B．3．已知a>0，b>0，a，b的等比中项为2，则a＋eq\f(1,b)＋b＋eq\f(1,a)的最小值为()A．3 B．4C．5 D．4eq\r(2)C解析：∵a＋eq\f(1,b)＋b＋eq\f(1,a)＝(a＋b)＋eq\f(a＋b,ab)＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,ab)))＝eq\f(5,4)(a＋b)≥eq\f(5,4)·2eq\r(ab)＝5，等号成立当且仅当a＝b＝2，原式的最小值为5.4．函数y＝eq\f(x－1,2x＋1)在(1,0)处的切线与直线l：y＝ax垂直，则a＝()A．－3 B．3C．eq\f(1,3) D．－eq\f(1,3)A解析：∵y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－1,2x＋1)))′＝eq\f(3,2x＋12)，∴y′|x＝1＝eq\f(1,3)，∴函数在(1,0)处的切线的斜率是eq\f(1,3)，所以，与此切线垂直的直线的斜率是－3，∴a＝－3.故选A．5．已知等差数列{an}的前n项和Sn满足：S37－S23＝a，则S60＝()A．4a B．eq\f(30,7)aC．5a D．eq\f(40,7)aB解析：因为S37－S23＝a24＋a25＋…＋a37＝eq\f(a24＋a37,2)×14＝7(a24＋a37)＝a.所以S60＝eq\f(a1＋a60,2)×60＝30(a24＋a37)＝eq\f(30,7)a.故选B．6．函数f(x)＝(x2＋2x)e2x的图象大致是()A解析：由于f′(x)＝2(x2＋3x＋1)·e2x，而y＝x2＋3x＋1的判别式Δ＝9－4＝5>0，所以y＝x2＋3x＋1开口向上且有两个根x1，x2.不妨设x1<x2，所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上递增，在(x1，x2)上递减．所以C，D选项不正确．当x<－2时，f(x)>0，所以B选项不正确．由此得出A选项正确．故选A．7．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，则芒种日影长为()A．一尺五寸 B．二尺五寸C．三尺五寸 D．四尺五寸B解析：由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{an}，Sn是其前n项和，则S9＝eq\f(9a1＋a9,2)＝9a5＝85.5，所以a5＝9.5，由题知a1＋a4＋a7＝3a4＝31.5，所以a4＝10.5，所以公差d＝a5－a4＝－1.所以a12＝a5＋7d＝2.5尺．故选B．8．已知函数f(x)＝x3－x和点P(1，－1)，则过点P与该函数图象相切的直线条数为()A．1 B．2 C．3 D．4B解析：因为f(1)＝13－1＝0，所以点P(1，－1)没有在函数的图象上．设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝xeq\o\al(3,0)－x0，则f′(x)＝3x2－1.由导数的几何意义可知，过切点的斜率为k＝3xeq\o\al(2,0)－1，过P(1，－1)和切点的斜率表示为k＝eq\f(y0＋1,x0－1)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0＝x\o\al(3,0)－x0，,\f(y0＋1,x0－1)＝3x\o\al(2,0)－1，))化简可得xeq\o\al(2,0)(2x0－3)＝0，所以x0＝0或x0＝eq\f(3,2).所以切点有两个，因而有两条切线方程．故选B．二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an－2，若存在两项am，an，使得aman＝64，则()A．数列{an}为等差数列B．数列{an}为等比数列C．aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)＝eq\f(4n－1,3)D．m＋n为定值BD解析：由题意，当n＝1时，S1＝2a1－2，解得a1＝2，当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2，所以Sn－Sn－1＝an＝2an－2－(2an－1－2)＝2an－2an－1，所以eq\f(an,an－1)＝2，数列{an}是以a1＝2为首项，q＝2为公比的等比数列，an＝2n，故选项A错误，选项B正确；数列{aeq\o\al(2,n)}是以aeq\o\al(2,1)＝4为首项，q1＝4为公比的等比数列，所以aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)＝eq\f(a\o\al(2,1)1－q\o\al(n,1),1－q1)＝eq\f(4×1－4n,1－4)＝eq\f(4n＋1－4,3)，故选项C错误；aman＝2m2n＝2m＋n＝64＝26，所以m＋n＝6为定值，故选项D正确．故选BD．10．若函数exf(x)(e＝2.7182…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数为()A．f(x)＝2－x B．f(x)＝3－xC．f(x)＝x3 D．f(x)＝x2＋2AD解析：对于选项A，f(x)＝2－x，则g(x)＝exf(x)＝ex·2－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e,2)))x为实数集上的增函数；对于选项B，f(x)＝3－x，则g(x)＝exf(x)＝ex·3－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e,3)))x为实数集上的减函数；对于选项C，f(x)＝x3，则g(x)＝exf(x)＝ex·x3，g′(x)＝ex·x3＋3ex·x2＝ex(x3＋3x2)＝ex·x2(x＋3)，当x＜－3时，g′(x)＜0，∴g(x)＝exf(x)在定义域R上先减后增；对于选项D，f(x)＝x2＋2，则g(x)＝exf(x)＝ex(x2＋2)，g′(x)＝ex(x2＋2)＋2xex＝ex(x2＋2x＋2)＞0在实数集R上恒成立，∴g(x)＝exf(x)在定义域R上是增函数．故选AD．11．设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a6a7>1，eq\f(a6－1,a7－1)<0，则下列结论正确的是()A．0<q<1 B．a6a8>1C．Sn的最大值为S7 D．Tn的最大值为T6AD解析：易知q>0，若q>1，则a6>1，a7>1，与eq\f(a6－1,a7－1)>0矛盾，故0<q<1.所以0<a7<1.所以a6a8＝aeq\o\al(2,7)<1.因为a7>0，a8>0，所以Sn的最大值一定不为S7.因为0<a7<1，a6>1，所以Tn的最大值为T6，故选AD．12．设f′(x)为函数f(x)的导函数，已知x2f′(x)＋xf(x)＝lnx，f(1)＝eq\f(1,2)，则下列结论正确的是()A．xf(x)在(1，＋∞)单调递增B．xf(x)在(0,1)单调递减C．xf(x)在(0，＋∞)上有极大值eq\f(1,2)D．xf(x)在(0，＋∞)上有极小值eq\f(1,2)ABD解析：由x2f′(x)＋xf(x)＝lnx得x＞0，则xf′(x)＋f(x)＝eq\f(lnx,x)，由[xf(x)]′＝eq\f(lnx,x).设g(x)＝xf(x)，即g′(x)＝eq\f(lnx,x)>0得x＞1.由g′(x)＜0得0＜x＜1，即xf(x)在(1，＋∞)单调递增，在(0,1)单调递减，即当x＝1时，函数g(x)＝xf(x)取得极小值g(1)＝f(1)＝eq\f(1,2).故选ABD．三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知等差数列{an}中，a4＝8，a8＝4，则其通项公式an＝________.12－n解析：∵等差数列{an}中，a4＝8，a8＝4，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝a1＋3d＝8，,a8＝a1＋7d＝4，))解得a1＝11，d＝－1，∴an＝11＋(n－1)×(－1)＝12－n.14.已知正项等比数列{an}满足a1＝1，a2a6a7＝eq\f(1,16)a1a9，则an＝________，数列{log2an}的前n项和为________．2－n＋1－eq\f(nn－1,2)解析：由a1＝1，a2a6a7＝eq\f(1,16)a1a9得a5＝a1q4＝eq\f(1,16)，q＝eq\f(1,2)，an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1＝2－n＋1.而log2an＝－n＋1，所以{log2an}的前n项和为－eq\f(nn－1,2).15.函数f(x)＝eq\f(1,2)x2－lnx的单调递减区间是________．(0,1]解析：f(x)＝eq\f(1,2)x2－lnx，则f′(x)＝x－eq\f(1,x)＝eq\f(x2－1,x)＝eq\f(x＋1x－1,x)≤0，故0<x≤1.16.已知函数f(x)＝lnx＋eq\f(m,x)，若函数f(x)的极小值不小于0，则实数m的取值范围为________．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞))解析：由f(x)＝lnx＋eq\f(m,x)得f′(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(m,x2)＝eq\f(x－m,x2)，定义域为(0，＋∞)．当m≤0时，f′(x)>0，函数y＝f(x)单调递增，函数无极值；当m>0时，令f′(x)＝0⇒x＝m，当x∈(0，m)时，f′(x)<0，函数y＝f(x)单调递减；当x∈(m，＋∞)时，f′(x)>0，函数y＝f(x)单调递增．所以当x＝m时，函数y＝f(x)取极小值，且为f(m)＝lnm＋1.依题意有lnm＋1≥0⇒m≥eq\f(1,e)，因此，实数m的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞)).四、解答题(本题共6小题，共70分)17.(10分)等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)若a3，a5分别是等差数列{bn}的第4项和第16项，求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.解：(1)设{an}的公比为q，由已知得16＝2q3，解得q＝2，所以an＝2n.(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b4＝8，b16＝32.设{bn}的公差为d，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1＋3d＝8，,b1＋15d＝32，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1＝2，,d＝2.))从而bn＝2＋2(n－1)＝2n.所以数列{bn}的前n项和Sn＝eq\f(2＋2nn,2)＝n2＋n.18.(12分)已知函数f(x)＝eq\f(1,2)x2－3lnx.(1)求f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)试判断f(x)在区间(1，e)上有没有零点．若有，判断零点的个数．解：(1)由已知得f′(x)＝x－eq\f(3,x)，有f′(1)＝－2，f(1)＝eq\f(1,2)，∴在(1，f(1))处的切线方程为y－eq\f(1,2)＝－2(x－1)，化简得4x＋2y－5＝0.(2)由(1)知f′(x)＝eq\f(x－\r(3)x＋\r(3),x)，因为x>0，令f′(x)＝0，得x＝eq\r(3).所以当x∈(0，eq\r(3))时，有f′(x)<0，则(0，eq\r(3))是函数f(x)的单调递减区间；当x∈(eq\r(3)，＋∞)时，有f′(x)>0，则(eq\r(3)，＋∞)是函数f(x)的单调递增区间；当x∈(1，e)时，函数f(x)在(1，eq\r(3))上单调递减，在(eq\r(3)，e)上单调递增．又因为f(1)＝eq\f(1,2)，f(e)＝eq\f(1,2)e2－3>0，f(eq\r(3))＝eq\f(3,2)(1－ln3)<0，所以f(x)在区间(1，e)上有两个零点.19.(12分)设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，且a3＝2，S9＝54.(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：eq\r(\f(1,a1＋3))＋eq\r(\f(1,a2＋3))＋eq\r(\f(1,a3＋3))＋…＋eq\r(\f(1,a100＋3))>13.(1)解：设数列{an}的公差为d，∵S9＝9a5＝54，∴a5＝6，∴d＝eq\f(a5－a3,5－3)＝2，∴an＝a3＋(n－3)d＝2n－4.(2)证明：∵eq\r(\f(1,an＋3))＝eq\f(1,\r(2n－1))>eq\f(2,\r(2n－1)＋\r(2n＋1))＝eq\r(2n＋1)－eq\r(2n－1)，∴eq\r(\f(1,a1＋3))＋eq\r(\f(1,a2＋3))＋eq\r(\f(1,a3＋3))＋…＋eq\r(\f(1,a100＋3))>(eq\r(3)－1)＋(eq\r(5)－eq\r(3))＋…＋(eq\r(201)－eq\r(199))＝eq\r(201)－1>14－1＝13，∴eq\r(\f(1,a1＋3))＋eq\r(\f(1,a2＋3))＋eq\r(\f(1,a3＋3))＋…＋eq\r(\f(1,a100＋3))>13.20.(12分)设函数f(x)＝ex－ax－1(a∈R)．(1)若a＝2，求函数f(x)在区间[0,2]上的最大值和最小值；(2)当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围．解：(1)f(x)＝ex－2x－1，取f′(x)＝ex－2＝0，即x＝ln2，函数在[0，ln2]上单调递减，在(ln2,2]上单调递增，且f(0)＝0，f(2)＝e2－5，f(ln2)＝1－2ln2，故函数的最大值为f(2)＝e2－5，最小值为f(ln2)＝1－2ln2.(2)f(x)＝ex－ax－1，f′(x)＝ex－a，f(0)＝0.当a≤0时，f′(x)＝ex－a>0，函数单调递增，故f(x)≥f(0)＝0，成立；当a>0时，f′(x)＝ex－a＝0，即x＝lna，故函数在(0，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增，故f(lna)<f(0)＝0，不成立．综上所述，a的取值范围为(－∞，0].21.(12分)等差数列{an}中，S3＝21，S6＝24，(1)求数列{an}的前n项和公式Sn；(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.解：(1)设{an}首项为a1，公差为d，由S3＝21，S6＝24，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a1＋\f(3×2,2)d＝21，,6a1＋\f(6×5,2)d＝24，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝9，,d＝－2.))∴Sn＝n×9＋eq\f(nn－1,2)×(－2)＝－n2＋10n.(2)由(1)知，an＝9＋(n－1)×(－2)＝－2n＋11，由an≥0得－2n＋11≥0，即n≤eq\f(11,2).当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n；当n≥6时，Tn＝|a1|＋…＋|a5|＋|a6|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋…＋a5)－(a6＋…＋an)＝S5－(Sn－S5)＝n2－10n＋50.综上，Tn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\a