2024高考数学基础知识梳理与巩固训练：数列

模块十一:数列

1、数列的概念

(1)数列的定义

一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列

(sequenceofnumber),数列中的每一个数叫做这个数列的

项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用

符号内表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，

用表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，

用an表示.其中第1项也叫做首项.

说明：

1.数列具有有序性,一个数列不仅与构成数列的"数”有关,而且与这些数的排列顺

序有关,注意与集合中元素的无序性区分开来.

2、数列的项具有可重复性，数列中的数可以重复出现，这要与集合中元素的互异性

区分开来.

3、注意｛an｝与an的区别:｛%J表示数列整体:的，。2,…，…；％t表示数列｛an)中

的第n项.

4.数列与函数的关系:数列｛%J是从正整数集N*(或它的有限子集｛1,2,3,…,必)到

实数集R的函数，其自变量是序号n,对应的函数值是数列的第九项即，记册=

/(H)，即当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值就

是数列｛an｝，另一方面，对于函数y=/(%)，如果/(n)(nGN*)有意义，那么，

/(1),/(2),/(3),…J5),…,构成一个数列｛//)｝.

2、数列的分类

用项的关系式哀示

用项的关系式表示

用项的关系式表示

用项的关系式表示

3、数列的通项公式

如果数列｛%J的第九项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，

那么这个式子叫做这个数列的通项公式.

说明:数列的通项公式实际上是一个定义域比较特殊的函数的解析式，即an=f(n),

通项公式中的n取不同的值,可以得到数列的项.

4、数列的递推公式

如果一个数列｛%J的相邻两项或者多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这

个式子就叫做数列｛an)的递推公式.

说明：(1)不是所有的数列都有递推公式(2)递推公式是给出数列的一种方法.递推

公式和数列的通项公式一样,都是关于项的序号n的恒等式，如果用符合要求的正整

数依次去替换n，就可以求出数列的各项.

(3)数列的表示方法:通项公式法;列表法；图象法;递推公式法.

5、数列的前几项和。温馨提示

an^Sn-Sn_1不是对一切正L概念:数列｛%J从第1项起到第n项止的各项之和,

称为数列整数n都成立，而是对n>2｛an)的前n项和，记作Sn，即Snar+a2+

…■I-an.

的一切正整数n恒成立，因为如果数列｛an)的前n项和Sn与它的序号n之间的对

应关系当九=1时,Sn-Sn一无意义.因可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做

这个数列的前n项此，由前n项和Sn求通项公式an=/(九)时,要分九=1与n22

和公式.

两种情况,注意验证两种情形2.册与Sn的关系：%=整1'九；L曾>?能否用同一

一3九一1，九—乙

式子表示,若不能，则将an用分段形式表示.

6、数列的函数性质

(1)数列单调性的判断方法：

(1)转化为函数，借助函数的单调性研究数列的单调性，如:数列｛%J的通项公式为

加=M一九+1,考察函数y=/-久+1在C，+8)上为增函数,则数列｛%J为单

调递增数列.

(2)利用定义判断作差(作商)比较法，比较an+1与an的大小，从而判断数列｛an)的

单调性.

2

例：已知数列｛册｝满足an=n+An(nGN*)，若数列｛%J为递增数列,则实数A的

取值范围是(2)数列的最大项与最小项

(1)借助数列的单调性研究数列的最大项与最小项.

⑵利用CW+：522)求数列的最大项;利用《;或:+：(心2)求

数列5｝的最小项.

例：已知数列｛%J的通项公式是an-(n+2)xG)(nEN*)，试问数列｛%J中有

没有最大项？若有,求出最大项和相应的项数;若没有,说明理由.

7、等差数列与等比数列对比

等差数列等比数列

定

义

公

1.NS!■CL=2,Sn=

式n

性

质1.a,b,c成等差数列=>称b为a与c1.a,b,c成等比数列=>称b为a

的等差中项2,若m+九=p+q,则与c的等比中项2.若租+九=p+q,则

8、证明数列为等差数列的方法：

(1)定义法:an-册_1=d(d为常数,n>2)«｛%J为等差数列；

(2)中项法:2an+1=an+an+2<=>｛an］为等差数列;

(31通项法:册为九的一次函数0｛an］为等差数列；

2

(4)前n项和法:Sn=An+Bn或S兀=迎詈2。

9、等差数列的性质：

(1)在等差数列中，若m+n=p+kam+an=ap+ak(jn>n、p、kEN+)。

(2)在等差数列｛册｝中，以、a2k,Q3k、*八…仍为等差数列,公差为

(3)若｛册｝为等差数列，则品、S2k-Sk.S3LS24…仍为等差数列，公差为k2do

_________________________^2k_________________________

+。2+。3+…+耿+G/C+1++a2k+a2k+l+…+a3k

Sks2k~sks3k~s2k

⑷等差数列的增减性:d>0时为递增数列，且当的<0时前n项和Sn有最小值。

(5)等差数列｛an｝的首项是的,公差为d0

2

若其前n项之和可以写成Sn—An+Bn,则A==%—g,当dH0时它表示

2

二次函数数列｛%J的前n项和Sn=An+Bn是［an｝成等差数列的充要条件。

10、对等差数列前n项和的最值问题的三中方法：

(1)利用即:西当的>0,d<0,前几项和有最大值，可由与工0且an+1<0，求得n

的直

(2)当的<0,d>0,前几项和有最小值，可由即W0且an+1>0，求得n的值。

注意:求Sn的最值时，当册=0时几取两个值。

(2)利用Sn:由%=9层+(%—9九利用二次函数配方法求得最值时n的值。

(3)利用函数的单调性

11、等比数列的判定与证明方法：

(1)定义法:若如i=q(neN+，qH0)或❷-=q(n>2,nEN,q0)，则｛%J是

anan-l+

等比数列。

(2)等比中项法:若数列｛4｝中,即H0且a"1=an-an+2(jiE7V+)，则｛%J是等比

数列。

(3)通项公式法:若数列通项公式可写成an-c-q%0,q0,nE7V+)，则是

等比数列。

12、等比数列的性质

(1)等比中项:如果在a与b中间插入一个数G,使a、G、b成等比数列，那么称这个

数G为a与b的等比

中项。即G=±VaF(a>b同号%

(2)等比中项的性质：

(1)。九一。九-1,(几—2);a九一*。九+左(">k>0);

(2)若m+n=p+々，则•。九二即•以。

(3)数列｛aj首项是的,公比为%,数列｛,｝首项为瓦，公比为Q2，则数列｛册•%｝

是首项为的•瓦,公比为qi-q2的等比数列，同理数列｛署是首项为黄，公比为差的

等比数列。"1"

a

(4)在公比为q的等比数列｛%J中，数列am,c1m+八a?n+2k、m+3k…仍是等比数

列。

(5)公比为qt数列品、S2k-Sk.S3k—S2k、…仍是等比数列(此时qH—l)。

S2k

aa

ar+a2+a3-\----cck+ak+1H-----Fa2k+2k+i+…+3k

Sks2k~sks2k~s2k

13、递推数列的类型以及求通项方法总结：

(1)定义法:等差数列的通项公式:an-ar+(n-l)d或=<2瓶+(九一m)d0

n-1nm

等比数列的通项公式:册=%•(7(a1-q0)an-am-q~(n>m)

na

(2)做差法：由册与%(即的+a2T■…+an=/())的关系求an>n=

伍，n-1

(Sn-Sn_i，n>2°

(3)累加法：由an+1-an-f(n)求an,an=(an-an_1)4-(an_1-an_2)H"…+

(a2一%)+«!(?!>2)o

⑷累乘法：已知皿=汽n)求通项册,即=W••的⑺22)。

anan-lan-2al

(5)已知递推关系求乐用构造法(构造等差、等比数列)：

形如an+1-pan+f(n)，只需构造数列｛小｝,消去/'(n)带来的差异,/(九)的形式有:

(1)f(n)为常数，即递推公式为an+1-pan+q(其中p、q均为常数且pq(p-1)H

0)o

解法:先设参转化为an+1+丸=p(an+A)，其中A=吉，再利用换元法转化为等比

数列求解。0

(2)f(n)为一次多项式，即递推公式为an+1-p-an+r-n+s0

2

(3)f(n)为n的二次式,则可设bn=an+An+Bn+Co

n

递推公式为an+1-p-an+q(其中p、q为常数且pq(p-l)(q-1)H0)或

n

an+1-p-an+r-q(其中p、q、r君常数)。

解法:一般地要先在原递推公式两边同除以qn+1,得:鬻=?•号+二引入辅助数列

qn+1qqnq

也｝(其中.=符，得:刈+1巧4+5，再应用类型⑴的方法解决。

递推公式为an+2=p-an+1+q-an(其中p、q均为常数)。

解法:先把原递推公式转化为an+2-s•an+1=t(an+i-s-an')，其中s、t满足

篦丁，解出s、》，于是

(an+1-san)是公比为t的等比数列，就转化为前面的类型。形如an=或

«n-i-b-an^k-an-an_1的递推数列都可以用倒数法求通项。」

形如即+1=p•成型，该类型是等式两边取对数后转化为前边的类型，然后再用递推

法或待定系层构造等比数列求通项。两边取对数IgCln+l=lg(P-An)=IgP+丁•

lgan，设%=lg%t,原等式变为%+i=r•bn+Igp即爰为基本型。14、数列的求和

方法：

(1)等差数列求和:Sn="迦=刖=71al+也押；SM+联=Sm+

Sn+mndo

nar(Q=1)

(2)等比数列求和:Sn=卜式…)=.。1一。"r,；^m+n=++

、1-q-1-q〈I)

q"m。

(3)分组求和法：把数列的每一项分成几项使其转化为几个等差、等比数列，再求和。

对于求\an\的前几项和的问题一般都是分类讨论。

(4)倒序求和法:将数列的顺序倒过来排列,与原数列两式相加,若有公因式可提,并

且剩余项的和易于求出,这样的数列可用倒序相加法求和。

(5)裂项相消法:就是把数列的各项分裂成两项之差,相邻的两项彼此相消，只余有限

几项,就可以化简后求和。适用条件：

(1)[^―]其中｛%J是各项不为0的等差数列,c为常数，可拆解为=

^-anan+l^anan+l

(2)部分无理数列=-(Van+1~疯0。

(6)一些常用的裂项公式：

⑴]二_.⑵」一=_________="二______M•

I)n(n+l)nn+1'1J4n2-l(2n-l)(2n+l)2\2n-l2n+lJ'

(3)—=-f---);(4);「=VnTT-Vn;(5);(6)

iJn(n+2)2\nn+2/'Jy/n+l+y/nvJn(n+k)k\nn+kj'J

_____i_____二M____________1

n(n+l)(n+2)2Ln(n+1)(n+1)(n0+2)J°

(7)常见放缩公式：

⑴2(诉了1一加=焉赤<2<赤磊与=2(的一诟[1)；

(2)/〈含皂居:一言)；

')kk+1fc(fc+l)k2fc(fc-l)k-1k'

(8)错位相减法:主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘得的新数列求

和。(9)周期法:有的数列是周期数歹U,把握了数列的周期则可顺利求和。

【重要方法总结】

1、特殊递推数列求通项公式

数列数列通项公式

2

_ac1rl+b不动点递推法.令:an+1-an-x，即ex-(a—d)x-b-0;

an+1

~can+d解出两个根为%6.(1)当aH0时，■f=k学(k=

号l)，数列｛肾｝是以告!为首项，k%公比的W比数列(2)

当a=0时,=」+k(k=—)，数列｛—)是以

an+1-aan-a\ac+d/Van-a)

上为首项,k为公差的等差数列.

ar—a

即+i=P&+(1)当p+q=1时,册=a+(人到―…].(2)当p+q。1

qanT—、i+Q

a=aa

a,a2=b时，设&i+i—仇“九二夕(。九一打狐一i)与n+lPn+Qn-1比

较，得｛;1『匚:，可知:a,6是方程x2-px-q^0的两根’

容易求得a,0.当aH0时，特征根解方程法:令％t=久・a71+

数列数列通项公式

n

y•0，将alta2代入即可.当a=0时，特征根解方程法:令即=

n

(xn+y)a，将a1(a2代入即可.

Fn=Fn-1+Fn-2(1)定义:一个数列,前两项都为1,从第三项起,每一项都是前两

尸0=a=1斐波项之和.⑵通项公式:Fn=/(竽y-(H]⑶性质：

那契数列（黄金分

割数列）忧+谖+-->W=anan+l

aa

n+l~Pn+(1)当p+q=1时,an+1-an--q(,an-an_^+A，继续构造

qan-i+Aa-^—法，迭加法求出册.(2)当p+q。1时，设an+1-aan=

CL=b2

f0(an-aa^i)+Aa,p是方程x-px-q-0的两根，容易求

nn

得a,0.当aH0时,特征根解法:an-x-a+y-p+z，代入

n

a1,a2,&3可解.当a=0时，特征根法:an=(xn+y)a+z，代

入alta2,a3可解.

周期数列数列｛%J满足:a=a-a(nEN,)、a=如^⑺>3)

n+2n+1nnan-l

则是周期为6的数列,计算出前6个数列值,整个数列就都

知道了.

3、几个特殊数列的和

自然数列的和：1+2+3+4+……+九=的!西

平方数列的和：1+22+324-42+....+n2--n(n+l)(2n4-1)

6

立方数列的和：1+23+33+43+……+小=件受平

奇数列的和：1+3+5+....+(2n-1)=n2

4、裂项求和中的方法

(1)适用条件:适用于题目所给数列通项结构为分式形式的数列求和.

(2)核心步骤:需把题目所给数列通项结构进行列项.其中:k=抖

大分母一小分母

列项公式:小分母X大分母=k(小分母-大分母)

(3)常见放缩方式：

(1)形如(n+i)2，常放缩为n(n+1)>(n+i)2-(n+i)(n+2)；

⑵形如备，常放缩为关，譬如《〉念之藐W

(3)形如而彳，常放缩为赤।?赤+后I

【课本优质习题汇总】

新人教A版选择性必修二P9

4.已知数列｛%J的第1项是1,第2项是2,以后各项由an=an_i+an_2(n>2)给

出.

(1)写出这个数列的前5项；

(2)利用数列｛%J，通过公式刈=皿构造一个新的数列

an

13610

,口

I4

15

(第5题)

[bn]，试写出数列｛%｝的前5项.

5.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或

小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1,3,6,10称为三角形数，第二

行的1,4,9,16称为正方形数，第三行的1,5,12,22称为五边形数.请你分别写出三角

形数、正方形数和五边形数所构成的数列的第5项和第6项.

6.假设某银行的活期存款年利率为0.35%,某人存人10万元后,既不加进存款也不

取款,每年到期利息连同本金自动转存.如果不考虑利息税及利率的变化用an表示

第九年到期时的存款余额，求的,<22，&3及an.

新人教A版选择性必修二P9

7.已知函数/(%)=eR)，设数列｛时｝的通项公式为an=/(n)(nGN*).

⑴求证an>|.

(2)是递增数列还是递减数列？为什么？

新人教A版选择性必修二P18

3.在等差数列｛an｝中,册=科=九,且nHm,求am+n.新人教A版选择性必修

二P23

5.已知一个等差数列的项数为奇数,其中所有奇数项的和为290,所有偶数项的和为

261.求此数列中间一项的值以及项数.

新人教A版选择性必修二P23

5.已知数列｛an)的通项公式为an=枭，前n项和为S0.求右取得最小值时n的

值.”

新人教A版选择性必修二P25

3.(1)求从小到大排列的前71个正偶数的和.

(2)求从小到大排列的前n个正奇数的和.

(3)在三位正整数的集合中有多少个数是5的倍数？求这些数的和.

⑷在小于100的正整数中,有多少个数被7除余2这些数的和是多少？

新人教A版选择性必修二P25

5.已知一个多边形的周长等于158cm，所有各边的长成等差数列，最大的边长为

44cm，公差为3cm.求这个多边形的边数.

6.数列｛aj｛%｝都是等差数列，且«i=5,瓦=15,a1004-b100—100,求数列

(an+bn｝的前100项的和.

7.已知Sn是等差数列｛即｝的前n项和.

(1)证明｛事｝是等差数列；

(2)设Tn为数列闺的前n项和，若S4=12,S8=40,求九

8.已知两个等差数列2,6,10,…,190及2,8,14,…,200，将这两个等差数列的公共项按

从小到大的顺序组成一个新数列.求这个新数列的各项之和.

新人教A版选择性必修二P26

12.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为

“三角垛"."三角垛”的最上层有1个球,第二层有3个球，第三层有6个球……设各层

球数构成一个数列.

(1)写出数列｛an｝的一个递推公式；

*(2)根据(1)中的递推公式，写出数列｛an)的一个通项公式.

糜

新人教A版选择性必修二P34

5.已知数列｛%J的通项公式为an=a，求使an取得最大值时n的值.

新人教A版选择性必修二P37

2.已知aWb,且abW0,对于几GN*,证明：

a九+i_5九+1

a71+an~1b+an-2b2+•••+abn~r+bn=----------：-----.

a-b

5.如果一个等比数列前5项的和等于10,前10项的和等于50,那么这个数列的公

比等于多少？

新人教A版选择性必修二P40

1.一个乒乓球从1m高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的

0.61倍.

(1)当它第6次着地时,经过的总路程是多少(精确到1cm)?

(2)至少在第几次着地后，它经过的总路程能达到400cm?

新人教A版选择性必修二P41

3.求和：

(1)(2-3X5-1)+(4-3X5-2)+…+(2九—3X5—);

(2)1+2%+3x2+—Fnxn-1.

新人教A版选择性必修二P41

5.已知S*是等比数列｛%J的前n项和,S3，Sg,S6成等差数列.求证:a2,as,a5成等差

数列.

6.求下列数列的一个通项公式和一个前n项和公式：

1,11,111,1111,11111,­••

7.已知数列｛an｝的首项的=1,且满足an+1+册=3X.

⑴求证:5-2町是等比数列.

(2)求数列的前n项和Sn.

8.若数列｛七｝的首项的=1，且满足an+1=2an+1,求数列的通项公式及前

10项的和.

9.在流行病学中，基本传染数Ro是指在没有外力介人，同时所

对于Ro>1，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者,以控制传染源,切断传

播途径.

有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.Ro一般由疾病的感染周

期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.假设某种传染

病的基本传染数&=3.8，平均感染周期为7天，那么感染人数由1个初始感染者增

加到1000人大约需要几轮传染？需要多少天？(初始感染者传染Ro个人为第一轮

传染，这Ro个人每人再传染Ro个人为第二轮传染……)

10.已知数列｛an｝为等比数列,臼=1024，公比q=之.若7；是数列｛an)的前n项

积，求Tn的最大值.

1L已知数列｛&J的首项的=2且满足an+i=

52Cl九T1

⑴求证:数列｛£-1］为等比数列.

(2)若工+工+工+,一+二＜100，求满足条件的最大整数n.

aaa

i。23n

12.已知数列｛%｝为等差数列,%=1,。3=2/+1,前n项和为s…数列｛%｝满足

%.求证:

n

(1)数列｛%｝为等差数列；

(2)数列｛an｝中的任意三项均不能构成等比数列.

新人教A版选择性必修二P55

(2)《莱因德纸草书》(RhindPapyrus)是世界上最古老的数学著作之一.书中有一

道这样的题目,请给出答案:把100个面包分给5个人,使每人所得面包个数成等差

数列,且使较大的三份之和的巳是较小的两份之和，则最小的一份为().

(A)|(B)三©|(D)3

(3)如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法

是:从一个正三角形开始，把每条边分成三等份,然后以各边的中间一段为底边分别

向外作正三角形,再去掉底边.反复进行这一过程,就得到一条“雪花”状的曲线.设原

正三角形(图(1)的边长为1,把图(1)、图(2)、图(3)中图形的周长依次记为

&。2,。3,品，则品=().(A)等(B瑞(C)g(D)翳

(1)(2)(3)(4)

(第3(3)题)

新人教A版选择性必修二P56

10.任取一个正整数，若是奇数,就将该数乘3再加上1;若是偶数,就将该数除以2.

反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进人循环圈这就是数

学史上著名的“冰雹猜想"(又称“角谷猜想”等).如取正整数租=6，根据上述运算

法则得出6-3-10-5-16-8-4-2-1,共需经过8个步骤变成1(简称

为8步“雹程”).

现给出冰雹猜想的递推关系如下：

口加料加“1、产甲r4,T敕粘、(半，当时为偶数时，

2

已知数列满足:%-m(m为正整数),an+1=｛

(3an+1,当即为奇数时

⑴当租=17时，试确定使得an=1需要多少步看程；

(2)若@8=1,求租所有可能的取值集合M.

11,已知等差数列｛an)的前几项和为％,且S4=4s2,a2n=2an4-l(neN*).

(1)求数列｛an)的通项公式；

n

(2)若“=3t，令cn=anbn，求数列｛”｝的前n项和Tn.

12.已知等比数列｛an)的前n项和为Sn，且an+1=2Sn+2(nGN*).

(1)求数列｛an)的通项公式.

(2)在册与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，

在数列K｝中是否存在3项dm,dk,dp(其中m,k,p成等差数列)成等比数列？若存

在,求出这样的3项;若不存在,请说明理由.

新人教A版选择性必修二P56

13.类比等差数列和等比数列的定义、通项公式、常用性质等,发现它们具有如下的

对偶关系：只要将等差数列的一个关系式中的运算"十"改为"x一"改为“"，正整

数倍改为正整数指数幕，相应地就可得到等比数列中一个形式相同的关系式,反之

也成立.

（1）根据上述说法,请你参照下表给出的信息推断出相关的对偶关系式；

称

等差数列｛%J等比数列｛%｝

定

。九+

义1=d

通

nm

项bn=瓦qZ=bmq-

公

式

常

用(1)+an—a2+o-n-x—+CLn_2—t••(1)(2)(3)若m+n—k+

性(2)a_+a=2a(n>k)(3)(4)

nkn+kn(m,n,k,lGN*),则bnbm=

质□1+0.2+…+Q-ri~］屹1+bM(4)

（2）在等差数列｛%J中，若a2018=0，则有

%+++CLn=a1+a2++&4035-71（九CN*,Tl<4035）.

相应地，在等比数列也｝中，若b2019=1，请你类比推测出对偶的等式,并加以证明.

新人教A版选择性必修二P57

14.在2015年苏州世乒赛期间,某景点用

（第14题）

乒乓球堆成若干堆“正三棱雉”形的装饰品,其中第1堆只有1层，就一个球;第

2,3,4,…堆最底层（第一层）分别按图中所示方式固定摆放,从第二层开始,每层的小

球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球.记第n堆的乒乓球总数为

f(n).

(1)求出/(3);

(2)试归纳出f(n+1)与f(n)的关系式,并根据你得到的关系式探求f(n)的表达式.

参考公式:I2+22+—\-n2--n(n+l)(2n+1).新人教A版选择性必修二P57

6

15.有理数都能表示成：(租,71eZ,且nH0,TH与律互质)的形式，进而有理数集Q=

｛引犯"eZ,且”0,租与n互质｝.任何有理数;都可以化为有限小数或无限循

笳小数.反之，任一有限小数也可以化为友的形式而是有理数;那么无限循环小数

n

是不是有理数？思考下列问题：

(1)1.2是有理数吗？请说明理由.

(2)1,24是有理数吗？请说明理由.

16.平面上有九5eN,"23)个点，其中任何三点都不在同一条直线上.过这些点中

任意两点作直线,这样的直线共有多少条？证明你的结论.

*17.数学归纳法还有其他变化形式,例如,将数学归纳法中的第(1)步保持不变,第

(2)步改为“以"当n0<n<k｛kEN*,k>n0)时命题成立'为条件，推出‘当n=k+

1时命题也成立；也可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明

方法称为第二数学归纳法.试用第二数学归纳法证明如下命题：

若数列｛乳｝满足F1=1,F2=1,0=Pn-1+Fn_2(n>3,nEN*)(｛片｝称为斐波那

契数列)，则其通项公式为片=同代回f-(DJ.

新人教B版选择性必修三P8

(5)已知函数/(%)=矢H设数列｛%J的通项公式为an-f(n)，其中neN+.

(1)求证:1Wtin<2；

(2)判断是递增数列还是递减数列,并说明理由.

(4)已知数列的通项公式为即="+2n，则168是不是这个数列中的项？如果

是,求出是第几项;如果不是,说明理由.

(4)古希腊的毕达哥拉斯学派将1,3,6,10等数称为三角形数，因为这些数目的点总可

以摆成一个三角形,如下图所示.把所有的三角形数按从小到大的顺序排列,就能构

成一个数列｛an｝，写出a5,a6以及an.

(第4题)

新人教B版选择性必修三P

(2)已知数列的前n项和为S"=M一正,求｛an｝的通项公式.

⑷如图，已知直线=%与曲线C：y=0，设Pi为

(第4题)

曲线C上横坐标为1的点过P1作无轴的平行线交［于＜22,过Q2作X轴的垂线交曲

线。于「2；再过22作无轴的平行线交［于＜?3，过＜23作X轴的垂线交曲线C于

P-3...设点…，2,…的纵坐标分别为0-1,&2,…,册,…，试求数列｛%J的前两

项以及递推关系.新人教B版选择性必修三P15

(3)已知数列｛an)的通项公式为an=需，它的前30项中最大项是第几项？最小

项是第几项？''

(4)已知函数/(x)=£詈，构造数列an-f(n).

(1)求证:an＞—2;

(2)数列｛an｝是递增数列还是递减数列？为什么？

(5)写出数列1,2,2,4,3,8,4,16,5,…的一个通项公式.

(6)已知数列［an］中，前n项和S"=等，求｛an｝的通项公式.新人教B版选择性必

修三P22

(4)已知安装在一个公共轴上的5个皮带轮的直径成等差数列，其中最大的与最小

的皮带轮的直径分别为216mm与120mm,求中间3个皮带轮的直径.

已知一个无穷等差数列的首项为由,公差为d.

(1)将数列的前m项去掉，其余各项依次构成的数列是等差数列吗？如果是,它的首

项与公差分别为多少？

(2)取出数列中的所有序号是奇数的各项，依次构成一个新的数列,这个数列是等差

数列吗？如果是,它的首项与公差分别为多少？

(3)取出数列中的所有序号是7的倍数的各项，依次构成一个新的数列,这个数列是

等差数列吗？如果是,它的首项与公差分别为多少？

新人教B版选择性必修三P27

等差数列14,11,8,...前多少项的和最大？为什么？

在两位数的正整数中,有多少个除以3余1的数？求它们的和.

(4)已知一个凸n边形内角的度数按从小到大构成等差数列，且最小角为40。,公差

为20。,求n的值.新人教B版选择性必修三P27

如果一个三角形的3个内角的度数成等差数列,这个三角形3个内角的大小能确定

吗？你能得到什么结论？

(2)已知等差数列｛%J中,d=-5,a10=-2，求这个数列前8项的和.

(2)记等差数列｛an)的前n项和为S…已知S。<0,Slo>0，则此等差数列的前多少

项和最小？

(4)在等差数列中，已知&3+=6，求S13.新人教B版选择性必修三P28

如果一个三角形的3个内角的度数成等差数列,这个三角形3个内角的大小能确定

吗？你能得到什么结论？

(2)已知等差数列｛册｝中,d=-5,a10=-2，求这个数列前8项的和.

(2)记等差数列｛册｝的前n项和为Sn,已知S。<0,Si0>0，则此等差数列的前多少

项和最小？

(4)在等差数列｛an｝中，已知a3+a》=6,求S13.

(3)已知函数/(n)=|n-l|+|n-2|+|n-3|-f■…+\n-20|淇中律是自然数.

(1)分别计算/(1),/(5)/(20)的值；

(2)当n为何值时,/(九)取得最小值？最小值是多少？

(2)我国古代数学名著《算法统宗》中说:九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠;次第每

人多十七,要将第八数来言;务要分明依次第，孝和休惹外人传.说的是，有996斤棉

花要赠送给8个子女做旅费,从第1个孩子开始,以后每人依次多17斤,直到第8

个孩子为止……你能根据这些信息算出每人分得了多少棉花吗？

新人教B版选择性必修三P36

当等比数列的首项与公比满足什么条件时，这个数列是递增数列？

n

(4)求证:{an)为等比数列的充要条件是an=kq，其中都是不为0的常数.

下图(1)是一个边长为1的正三角形,将每边3等分,以中间一段为边向外作正三角

形，并擦去中间一▲段，得图(2),如此继续下去，得图⑶……试求第九个图形的周长和面

*

*

⑴⑵⑶

新人教B版选择性必修三P42

(1)计算.

(110.9+0.99+0,999+…+0,999--9;

lnT9

(2)(a-1)+(a?-2)+…+(a"—n),aH0,aeR.

如果一个等比数列前5项的和等于10,前10项的和等于50,那么这个数列前15

项的和等于多少？

(3)已知等比数列的首项为-1,前n项和为,如果芈=芸，求S8.

新人教B版选择性必修三P42

(4)已知数列｛%J的前n项和为Sn，点O,S。在函数y=2—2x3"的图象上，求数

列｛an)的通项公式.

我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:远望巍巍塔七层，红光点点倍力口增,

共灯三百八十一,请问尖头几盏灯？意思是,一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两

层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,求塔顶层灯的数目.你能求出来吗？

新人教B版选择性必修三P43

(2)求a,+02b2与4+a2b2(其中abH0)的等比中项.

已知一个正三角形边长为a,以此正三角形的高为边作第2个正三角形，以此类推继

续作正三角形.求前10个正三角形的周长之和.

(3)设｛aj是等比数列，且an>0，证明数列｛lg%J是等差数列,并求出这个等差数

列的首项与公差.新人教B版选择性必修三P44

⑹设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，已知扣3与打4的等比中项为力5，且

与的等差中项为1,求｛%J的通项公式.

(2)已知等比数列｛a"的前n项的积为Tn,WflTn=a1a2a3an_ran，又已知a1=

4,q=，求此，及7；的最大值.

新人教B版选择性必修三P44

(1)求1x2+2x22+3x23+…+九x2rl的值.

(2)在数列｛an｝中,Sn+1=40n+2,%=1.

(1)设%=an+1-2斯,求证:数列｛%｝是等比数列；

(2)设“=聚，求证:数列｛%｝是等差数列；

(3)求数列｛an)的通项公式及前n项和公式.

(2)设数列｛册｝的前n项和为Sn,若对于任意的正整数都有Sn