2024年高考数学模拟卷（新高考七省专用）

2024年高考数学模拟卷（新高考七省专用）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.已知集合4=卜卜=始（1-/））,8=卜卜=«｝,则AcB是（）

A.[-1,0)B.(0,1]C.[0,1)D.(-1,0]

2.已知复数z满足z（3—4i）=4—2i,则同=（）

A.逆B.还C.-D.-

5555

3.已知向量；=(1,-2),Z?=(3,-l),c=(x,4),若(a+c)//R+c),贝1|x=()

A.3B.-1C.2D.4

4.已知角£,尸满足5由&=一；,<:05（£+£川11£=:，则$111（。+2£）的值为（）

111-15

A.-----B.—C.—D.—

1241212

5.第19届亚运会在杭州举行.杭州市奥林匹克体育中心是杭州亚运会比赛场馆之一，主要由主体育场、

游泳馆、网球中心以及综合训练馆组成.现从甲、乙等7名服务者中随机选取4人分别到这四个区域负责

服务工作，要求这四个区域各有1名服务者，且甲不去游泳馆，乙不去网球中心，则不同的安排方案共有

（）

A.360种B.480种C.620种D.720种

6.已知直线/：x+@-3"l=0,若无论左取何值，直线/与圆（尤+2）2+0+1）2=/（/>0）恒有公共点，则r

的取值范围是（）

A.[5,+oo）B.（3,-Ko）C.[4,6）D.[3,5]

S4〃ci

7.等差数列｛。"｝、色,｝中的前W项和分别为S“,&b=b不，则产=（）

1nV〃十J0。

A40「32-17n38

A.—B.—C.—D.—

93814287

22

8.如图，已知耳，尸2是双曲线c：2=1的左、右焦点，P,。为双曲线C上两点，满足片尸//乙。,

ab

且后。=2后尸|=5闺尸I，则双曲线C的离心率为（）

AV29RV29「厢cM

2323

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。

9.举世瞩目的第19届亚运会于9月23日至10月8日在杭州举行，亚运会点燃了国人激情，也将一股运

动风吹到了大学校园.为提升学生身体素质，倡导健康生活方式，某大学社团联合学生会倡议全校学生参与

“每日万步行”健走活动.下图为该校甲、乙两名同学在同一星期内每日步数的拆线统计图，则（）

甲、乙步数折线统计图

20000八go

18000----------------------------------天

16000------------------------------A^CZA（\（\・甲

14000—13型OQQ里0。理啮；一乙

W000no册26。。]血/喀2。0122。。

80001-----1-----1-----1-----1-----1-----1----1-►

星星星星星星星

期期期期期期期

一二三四五六日

A.这一星期内甲、乙的日步数的中位数都为12600

B.这一星期内甲的日步数的平均数大于乙的日步数的平均数

C.这一星期内乙的日步数的方差大于甲的日步数的方差

D.这一星期内乙的日步数的下四分位数是12200

10.已知“>。涉>。，直线/]:x+（a-2）y+l=012：bx+y-2=。,且则（）

A.Q<ab<\B.C.a1+b2<2I).-+-

ab

11.如图,正方体ABCD-A4GA的棱长为4,点E、F、G分别在棱AADC、4

罢=〃2>0）,记平面EFG与平面A4CD的交线为/,则（）

/LA

F________r

0

A.存在4e(0,1)使得平面*G截正方体所得截面图形为四边形

33

B.当;1=一时，三棱锥3-EFG体积为一

42

3

C.当彳=；时，三棱锥A-瓦仁的外接球表面积为34万

D.当4=:时，直线/与平面ABCD所成的角的正弦值为上叵

233

12.已知函数〃尤)，g(x)的定义域均为R,g'(x)为g(x)的导函数，且/(x)+g'(x)=l,/(x)-g,(4-x)=3,

若g(x)为奇函数,则()

A.42)=2B,g〈0)+g<4)=-2C./(-1)=/(-3)D.gj)=g，(4)

第II卷(非选择题)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.的展开式中/的系数为20,则。的值为.

14.设动点P在抛物线y=上，点?在x轴上的射影为点“，点A的坐标是(2,0),则|到+户间的最

小值是.

15.已知函数/00=$皿5+夕)(0>0,0<夕苦］,曲线y=/(x)的一个对称中心为一条对称轴为

丁=m，则。的最小值为.

ln(2x-l),x>—

16.若函数/(x)=2］在工=1处的切线与的图像有三个公共点，则”的取值范

一.X---2x+a,xV—

［2

围________.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

17.(10分)

已知正项等差数列｛%｝的前n项和为=1,且514,邑+8成等比数列.

(1)求数列｛%｝的通项公式：

(2)令b“=a“2,求也｝的前〃项和

18.(12分)

SinC

已知ABC的内角A,B,C的对边分别为。、b、c,-^―+-^—=r-,n.

tanAtanBV3sinAcosB

(1)求8；

(2)已知30为AC边上的中线，cosC=—,BD=—,求ABC的面积.

132

19.(12分)

如图，在四棱锥尸-ABCD中，PA=AD=1,PB=BD=2,AB=6,ZBDC=60,S.BD±BC.

(1)若BE〃平面上4D,证明：点E为棱尸C的中点；

(2)已知二面角尸-AB-O的大小为60,求：平面「跳)和平面PCD夹角的余弦值.

20.(12分)

今年5月以来，世界多个国家报告了猴痘病例，非洲地区猴痘地方性流行国家较多.9月19日，中国疾控

中心发布了我国首例“输入性猴痘病例”的溯源公告.我国作为为人民健康负责任的国家，对可能出现的猴痘

病毒防控已提前做出部署，同时国家卫生健康委员会同国家中医药管理局制定了《猴痘诊疗指南(2022年

版)》.此《指南》中指出：①猴痘病人潜伏期5-21天；②既往接种过天花疫苗者对猴痘病毒存在一定程度

的交叉保护力.据此，援非中国医疗队针对援助的某非洲国家制定了猴痘病毒防控措施之一是要求与猴痘

病毒确诊患者的密切接触者集中医学观察21天.在医学观察期结束后发现密切接触者中未接种过天花疫苗

者感染病毒的比例较大.对该国家200个接种与未接种天花疫苗的密切接触者样本医学观察结束后，统计

了感染病毒情况，得到下面的列联表：

接种天花疫苗与否/人数感染猴痘病毒未感染猴痘病毒

未接种天花疫苗3060

接种天花疫苗2090

(1)是否有99%的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关;

(2)以样本中结束医学现察的密切接触者感染猴痘病毒的频率估计概率.现从该国所有结束医学观察的密

切接触者中随机抽取4人进行感染猴痘病毒人数统计，求其中至多有1人感染猴痘病毒的概率：

(3)该国现有一个中风险村庄，当地政府决定对村庄内所有住户进行排查.在排查期间，发现一户3口之

家与确诊患者有过密切接触，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一进行猴痘病毒检测.每名成员进行

检测后即告知结果，若检测结果呈阳性，则该家庭被确定为“感染高危家庭”.假设该家庭每个成员检测呈阳

性的概率均为。且相互独立.记：该家庭至少检测了2名成员才能确定为“感染高危家庭”的概率

n(ad-be)?

为f(p).求当。为何值时，最大？附：z2=

(a+/?)(c+d)(a+c)(6+d)

P/次)0.10.050.010

k。2.7063.8416.635

21.(12分)

已知椭圆C:「+，=l(a>b>0)的焦距为2,且经过点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)经过椭圆右焦点/且斜率为左(左力0)的动直线/与椭圆交于A、8两点，试问x轴上是否存在异于点产

的定点T,使|/用•忸7=|族乃恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由.

22.(12分)

已知关于x的方程=有两个不同实根毛，巧.

X

(1)求实数〃的取值范围；

(2)证明：%9<~•

e

2024年高考数学模拟卷（新高考七省专用）

参考答案

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

9101112

ABDABDBDABD

第口卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.414.75-115.9骁1-6,：

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

17.（10分）

【答案】（1）。“=4〃-3；（2）（=（4〃-7）2"+、14

【解析】（1）设等差数列｛4｝的公差为d>0,

l.cn（n—V）dn（n—V）d1cc7c4/

因为S“二〃qH------------=n-\--------,则E=1,邑=2+%§4=4+6Q,

又因为5,昆，邑+8成等比数列，可得S；=4⑸+8）,

贝！］（2+d）~=12+64,解得d=4或d=-2（舍去），

所以=1+4（〃-1）=4力-3.

（2）由（1）可得：:=（4"-3）2",

贝1|7；=1X21+5X22+9X23+.+（4〃-7）2"T+（4〃一3）2”，

可得2.=1X22+5X23+9X24++（4M-7）2"+（4H-3）2"+1,

两个等式相减得，-7；=1X21+4X22+4X23++4-2"-(4n-3)2"+1,

_r\n+\

所以一7；=2+4x—=-------（4n-3）2"+1=（7-4«）2"+1-14,

1—2

所以7；=（4几—7）2川+14.

18.（12分）

【答案】（1）⑵3月

1+1_cosAsinB+cosBsinAsin（A+B）sinCsinC

【解析】（1）

tanAtanBsinAsinBsinAsinBsinAsinBV3sinAcosB

由。£（0,兀），sinCwO,Ae（0,7i）,sinAwO,

所以sinB=A/3COSB，即tanB=6,

由于340,兀），所以B4.

（2）在.ABC中，由cosC=,得sinC=Jl-cos2c=

1313

由3=5，得sinB=,cosB=g

..0口.「曲屈12屈3A/39

贝mi!lJsinA4=sin（B+C）=sinBDcosC+cosBsinC=——x-----b—x--------=--------,

v721321326

3屈

sinA=26=3

由正弦定理得，-=

csinC-2a—4

13

设a=3x,c=4x,由余弦定理得Z?2=Q2+C2—2QCCOS3=13%2,故人="自,

在△3CD中，由余弦定理得，BD2=CB2+CD2-2CB-CD-cosC,

BP-=9x2+—x2-2x3xx^^-xx^^-,解得犬=1,则a=3,c=4

44213

所以ABC的面积S=—acsinB=—x3x4x=3y/3.

222

19.（12分）

3

【答案】（1）证明见解析；（2）-

【解析】⑴证明：：因为AB2+MP=即2,钻2+丛2=92,所以，钻_1AP,ABLPA,

在直角三角形R4D中，/BD4=60,

又因为/BDC=60,3D为—ADC的平分线,

延长CB、D4交于点尸，连接尸尸，

在二C"中，BDLBC,所以，一a才是等腰三角形，

所以，点8是CP的中点，

因为直线BEH平面PAD,过BE的平面PFC与平面PAD的交线为PF,则BE//PF,

因为8是C尸的中点，所以，E是PC的中点.

(2)在△ABD中，AD=2,BD=4,AB=25贝l」4BAD=90,即BA_LAD,

由已知得ZBDC=ZBDA=60,CD=8,

又平面R4D，平面ABC£>,BAu平面A3CD,所以BA_L平面PAD,

因为B4u平面BID,即

所以，NPAD为二面角P-AB-。的平面角，所以NPA£>=60,

又F4=AD=2,所以为正三角形，

取AD的中点为。，连。尸，则OPLAD,OPL平面ABCD,

以点0为坐标原点，OA,。尸所在直线分别为x、z轴，

平面A8CD内垂直于直线相>的直线为>轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则A(l,0,0),B(1,25/3,0),C(-5,4V3,0),D(-l,0,0),P(0,0,^),

所以OP=(1,0,6),8D=(-2,-2^,0),DC=(-4,46,0),

设机=(%,%,Z]),"=(9,必,z?)分别为平面PBD和平面PCD的法向量,

m-DP=&+J§Z]=0

则取％=—1,则根=(6,—1,—1),

m-BD=-2%-=0

・

nDP=%+=0取必=1，则〃=（百/,一1「

n•DC=-4X2+4后为=0

所以3佃/\"=m丽-n=3司—1+1二3•

3

则平面P3。和平面PCD所成夹角的余弦值为，

20.（12分）

【答案】（1）没有99%的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关

孩；⑶当p=3I,时,/最大

（2）

【解析】（1）假设“。：密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗无关，

200x(30x90-60>20)2

依题意有/=-6.061<6.635,

90x110x50x150

故假设不成立，，没有99%的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关.

由题意得，该地区每名密切接触者感染病毒的概率为与祟=:,

（2）

设随机抽取的4人中至多有1人感染病毒为事件A,

4

3+C切;啜+露黑

则尸（A）=C；1

（3）记事件8为：检测了2名成员确定为“感染高危家庭”;

事件C为：检测了3名成员确定为“感染高危家庭”;

则P(B)=(l-Jp).Jp,P(C)=(l-p)?.p

〃p)=(l-P)P+(1-p)2p=p(l-p)(2-=3/+2P

贝ur(p)=3p2-6p+2,令r(°)=o,贝u四=1^,0=2^(舍去)

随着夕的变化，〃p）,r（p）的变化如下表:

（O，P1）

PPl(Pl'l)

f'(p)+0—

f(p)递增极大值递减

综上，当°=3:时,了（。）最大.

21.(12分)

22

【答案】（1）?+q_=l；（2）存在；点7（4,0）

【解析】（1）由椭圆C的焦距为2,故c=l,则〃=4-],

又由椭圆C经过点尸代入C得！+）=1,解得/=4,从=3,

22

所以椭圆C的方程为乙+乙=1.

43

根据题意，直线/的斜率显然不为零，令：=加，

(2)

k

由椭圆右焦点厂（1,0）,故可设直线/的方程为了=冲+1,

x=my+1

联立方程组If2,整理得（3M+4）9+6my-9=0,

—+—=1

[43

则A=36m2-4x（-9）（3/+4）=144（m2+1）＞0,

设4（占，X），3优，%）,且M+%=。-6"二，必必=。?

3m+43m+4

设存在点T,设T点坐标为亿0）,^\AF\\B7]=\BF^A7],可得居=篇，

AFSTFA卜in/ATFATsinZATF

BTsmZBTF

BFSTFB^\FT\\BT\sinZBTF

所以sinNAIF=sin/37F,所以/47F=NB7F,

所以直线7A和7B关于x轴对称，其倾斜角互补，即有心7+原7=0,

=

贝!J^AT+^BT=.\。，所以—t)+>2(尤1一,)=。，

X]—IX?—I

所以％(〃92+i-t)+y2(my}+1-/)=0,整理得2my1为+Q-)(%+%)=。，

即2根+a—即T^T+(1一解得t=4,

3m+43m+43m+43m+4

符合题意，即存在点7(4,0)满足题意.

22.（12分）

【答案】（1）ae（l,+co）；（2）证明见解析

方程一1=1!!^^屁'一元=Inx+aoe7-x—（x+Inx）=。，

【解析】（1）

X

令/=x+lnx,函数/=x+lnx在X£（o,y）单调递增且IER,

方程/（X）=@当在xe（0,«»）有两根不，尤2,

可转化方程e'-f=a在teR有两根44,其中4=lv\xl+xl,t2=]nx2+x2,

令p(f)=S-t,则p'«)=e'-1,在，e(-8,0)为减函数，在为增函数，

二Anin⑺=P(°)=1又X-—00时，。⑺—+00；X—+8时，■+8,/,fl£(1,+00).

(2)不妨设两根4<%则％<0气，P(%)=P«2)，

令q(f)=p(t)-p(—t)=(e'-/)-(e-'+f)=e'一eT'-2t,t>0贝"q\t)=e'+e「'-2>0,

q⑺在fe(O,E)单调递增，；.f>0时，q(t)>^(0)=0,

由L>。得q«2)=P«2)—P(72)>。，；.P(G)=P«2)>P(-f2)，

而P⑺在fe(-8,0)单调递减，且。<0,­2<。，

所以.<一72，+^2<0,所以％+方2=1口玉+玉+111工2+工2<0，

In玉+%+In%2+无2=In(玉/)+%%221nJ..+2dxi%,

InJ-马+“1兄2<°,又1“%+%=%一1>°，

In^i^+^lxix2<ln^r+'^r,而丁=姑%+%在x£(°，+00)单调递增，

11

<~~i=•.XyX<—.

2e

2024年高考数学模拟卷(新高考七省专用)

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.已知集合人=卜卜=ln（l-_?“，2=卜卜=6},则入门3是（）

A.[-L0）B.（0,1]C.[0,1）D.（-L0]

【答案】C

[解析]由4=卜,=111（1_炉）},B={Jy=«}可得&={彳卜1<彳<1},B={y|y>0）,

所以Ac3={x|0Wx<l},故选：C

2.已知复数z满足z（3—4i）=4—2i,则恸=（）

【答案】B

/、4-2i（4-2i）（3+4i）42

【解析】因为复数Z满足Z（3-旬=4一方，所以z===；3喘：3+4i2+”

所以同=|z1=J[£|+]|)=竽.故选:B.

3.已知向量a=(1,-2),0=(3,—1),c=(x,4),若(a+c)//(A+c),则1=()

A.3B.-1C.2D.4

【答案】A

【解析】由〃+4=(%+1,2),Z?+c=(x+3,3),

又由(〃+c)〃仅+c),可得：2(x+3)=3(x+l),解得x=3.故选：A.

4.已知角a1满足sina=-；,cos(o+/)sin/?=；,则sin(a+2;5)的值为()

A.--B.--C.—D.—

1241212

【答案】D

【解析】由sina=sin[(a+0)-/3]=sin(a+/3)cos0-cos(a+〃)sin£,

可得sin（a+A）cos£-g=-；,所以sin（a+/?）cos夕，

sin（a+2/3）=sin[（a+£）+〃]=sin（a+JB）cosJ3+cos（tz+〃）sin£=%+；=卷.故选：D.

5.第19届亚运会在杭州举行.杭州市奥林匹克体育中心是杭州亚运会比赛场馆之一，主要由主体育场、

游泳馆、网球中心以及综合训练馆组成.现从甲、乙等7名服务者中随机选取4人分别到这四个区域负责

服务工作，要求这四个区域各有1名服务者，且甲不去游泳馆，乙不去网球中心，则不同的安排方案共有

（）

A.360种B.480种C.620种D.720种

【答案】C

【解析】由题意按甲、乙是否被选中分为三种情况：

①若甲、乙都未被选中，则不同的安排方案有A；=12。（种）；

②若甲、乙2人中只有1人被选中，则不同的安排方案有C；C；C；A；=360（种）；

③若甲、乙都被选中，则先安排甲，再安排乙，

若甲去了网球中心，则不同的安排方案有C；A；=60（种）；

若甲没有去网球中心，则不同的安排方案有C；C；C；A：=80（种）.

所以当甲、乙都被选中时，不同的安排方案有60+80=140（种）.

由分类加法计数原理可得共有120+360+140=620（种）不同的安排方案.故选：C.

6.已知直线Z：x+@—3。-1=0,若无论％取何值,直线/与圆（尤+2）2+4+1）2=产”>0）恒有公共点,则.

的取值范围是()

A.[5,+oo)B.(3,+co)C.[4,6)D.[3,5]

【答案】A

【解析】将直线/：x+打一3左-1=0化为(x—1)+My—3)=0,故直线/恒过定点A。,3),

又直线/与圆(x+2)2+(y+1)2=r\r>0)恒有公共点，

所以点4(1,3)在圆上或圆内，即(1+2>+(3+V产，

又厂>0,所以rN5,即厂的取值范围为[5,包)，故选：A.

S4Mci

7.等差数列｛见卜｛〃｝中的前〃项和分别为S〃，却式=痴用，则常=()

人40「32「17c38

A.—B.—C.—D.—

93814287

【答案】D

S4〃

【解析】.等差数列｛耳卜｛2｝中的前”项和分别为s”却宁=市百，

.一一为_4x19.变

"bl02bw为仇+九)几9x19+387.故..

22

8.如图，已知F；,巴是双曲线C：，-2=1的左、右焦点，p,。为双曲线C上两点，满足居P〃外。,

>平

232

【答案】B

【解析】延长。外与双曲线交于点P,因为单工尸'，根据对称性知国「|=阂尸'|,

设国尸卜怩P|=2f,则优尸|=5r,|^2|=10r,

可得优耳―闺P|=3，=2a,^t=-a,

所以pQ卜⑵=[a,则|Q周=|Q周+2°=可°,闺P卜优耳=1°,

即尸。「+\FtP'f=|。与「,可知4JPQ=HP%=90。，

在一P£耳中，由勾股定理得优尸[2+忸尸,『=闺词2,

即[曰4+]+[=4c2,解得e=£=§.故选：B

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。

9.举世瞩目的第19届亚运会于9月23日至10月8日在杭州举行，亚运会点燃了国人激情，也将一股运

动风吹到了大学校园.为提升学生身体素质，倡导健康生活方式，某大学社团联合学生会倡议全校学生参与

“每日万步行”健走活动.下图为该校甲、乙两名同学在同一星期内每日步数的拆线统计图，则()

甲、乙步数折线统计图

2000018200

18000

16000甲

14000乙

12000「2察60012馔0()近©

1000044^那6oq面

8000

星星星星星星星

期期期期期期期

一二三四五六日

A.这一星期内甲、乙的日步数的中位数都为12600

B.这一星期内甲的日步数的平均数大于乙的日步数的平均数

C.这一星期内乙的日步数的方差大于甲的日步数的方差

D.这一星期内乙的日步数的下四分位数是12200

【答案】ABD

【解析】由折线图可得甲一星期内的步数从小到大的排列为：

11000,11800,12200,12600,13500,15400,18200,所以中位数为12600；

由折线图可得乙一星期内的步数从小到大的排列为：

11800,12200,12400,12600,15000,13800,14000,所以中位数为12600,

故这一星期内甲、乙的日步数的中位数都为12600,A正确；

194700

这一星期内甲的日步数的平均数为：-(11000+11800+12200+12600+13500+15400+18200)=,

这一星期内乙的日步数的平均数为：-(11800+12200+12400+12600+15000+13800+14000)^,

77

9470091800

因为>-，--故--B正确;

77

由图知，甲的波动程度较大，故方差较大，故c错误；

乙一星期内的步数从小到大的排列为：11800,12200,12400,12600,15000,13800,14000,

7x0.25=1.75,故这一星期内乙的日步数的下四分位数是12200,故D正确；故选：ABD.

10.已知。>0力>。，直线4:x+(a-2)y+l=0,4：6x+y-2=。，J.Zj1/2,贝！j()

b2

A.0<ab1B.y[a+\Jb<2C.a2+b2<2D.—F—>3

ab

【答案】ABD

【解析】4_L给,lxb+(Q-2)x1=0,.•.〃+/?=2,且

所以=1,当且仅当，=b时等号成立，故A正确；

(A/«+VF)2=a+b+2yfab<2(a+b)=4,当且仅当a=Z?时等号成立，/.6+加<2,故B正确；

/+/=/+Q—〃尸=？/_4〃+4=2(〃-1)2+222,故C错误；

2+2=?+色史=2+@+122忆\1=3,当且仅当2=：,即°=方=1时等号成立，故D正确.

ababab\abab

故选：ABD.

D,ED,F1

11.如图，正方体ABCD-ABCA的棱长为4,点E/、G分别在棱R4、AC、4A上，满足T=表=z,

7Z1liHr

AG

笠—>0),记平面EFG与平面\B,CD的交线为l,则()

/L/i

A.存在X£(0,1)使得平面£FG截正方体所得截面图形为四边形

33

B.当4=二时，三棱锥5-EFG体积为大

42

3

C.当4=1时，三棱锥a-MG的外接球表面积为34万

D.当彳=1时，直线/与平面ABCD所成的角的正弦值为2叵

233

【答案】BD

【解析】设正方体的棱长为4,以。为原点，以DA、DC、所在的直线分别为X轴，y轴，Z轴,

建立空间直角坐标系，如图所示：

D,ED,F1

对于A选项，4=1时，G在A点，万丁二五丁=7，

JLx.ZTUJLX.X_^|T"

由EF/AG可知EF//AC,所以截面EFG即为四边形EFCA；

几e(0』)由图形知，截面EBG为五边形或六边形.故A错误.

==

所以EG//RA//CiB,所以08〃平面斯G,VB_EFG%—EFG^G-C{EF，

又GA,平面EFG，所以％.C.=：S"EF-GA=|xQx3xljx3=1,

3

三棱锥5-EFG体积为不，故B正确.

2

3

对于C选项，当4=—时，AG=其后且_1_平面,

4

所以根据球的性质容易判断，三棱锥A-瓦6的外接球的球心在过线段EG的中点,

且垂直于平面AAOA的直线上，E(l,0,4),G(4,0,l),

所以EG的中点可记球心尸(01,4),

外接球的半径r=|0同=|0刊=&+产+[=广+«-1)2+1,解得t=r=里,

V44V4422

所以三棱锥A-EFG的外接球表面积为43万，故C错误.

对于D选项，当X=g时，8(4,4,0),G(0,4,4),G(4,0,2),E(l,0,4),F(0,l,4),

所以BC；=(T,0,4),GE=(-3,0,2),EF=(-1,1,0),设平面EFG的一个法向量为。=(石,如马),

p-GE=-3x.+2z.=0

则，令玉=2,贝!J%=2,4=3,所以可取p=(2,2,3),

p•EF--xx+%=0

由BQ1平面\BXCD知,平面A.B.CD的法向量为BCX=(T,0,4),

记平面EFG与平面的交线/的一个方向向量为m=,％，Z2)，

p=2X+2y2+3z=0

22，令4=2,贝！J%=—5,z?=2,所以可取加=(2,-5,2),

p•BC]--4X2+4Z2=0

又平面ABC。的法向量为九二(0,0,1),则先•方=2,帆=J为，同=1,

।।\m-n\22^33

设/与平面A3CD所成的角为6,则smd=|cos〈犯〃X=H4=-^==F-,故D正确.故选：BD.

\m\\n\.3333

12.已知函数〃尤)，g(x)的定义域均为R,g'(x)为g(x)的导函数，且〃x)+g'(x)=l,/(X)-g〈4—x)=3,

若g(x)为奇函数，则()

A."2)=2B.g，(0)+g，(4)=-2C./(-1)=/(-3)D.gj)=g，(4)

【答案】ABD

【解析】已知函数"力，g(尤)的定义域均为R,

因为f(x)+g'(x)=l,/(x)-g,(4-x)=3,可得g〈x)+g[4—x)=-2,

又因为g(x)为奇函数，贝l|g(x)=-g(f),可得/(x)=g〈-x),即g'(x)为偶函数，

则g'(x)+g'(x-4)=-2,即g'(x+4)+g'(x)=-2,可得g'(x+8)+g'(x+4)=-2,

所以g'(x)=g'(x+8),可知g'(x)的周期为8.

对于选项A：因为g，(x)+g<4一x)=-2,/(x)+g,(x)