2024-2025学年新教材高中数学课时素养检测十二第二章一元二次函数方程和不等式2.2.1基本不等式含解析新人教A版必修第一册

PAGE课时素养检测十二基本不等式(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.已知a>0,b>0,a+b=2,则y=QUOTE+QUOTE的最小值是 ()A.QUOTE B.4 C.QUOTE D.5【解析】选C.y=QUOTE(a+b)QUOTE=QUOTE≥QUOTE.2.若实数x>0,y>0,且x+4y=xy,则x+y的最小值为 ()A.7 B.8 C.9 D.10【解析】选C.依据题意,实数x>0,y>0,若x+4y=xy,则QUOTE+QUOTE=1,x+y=(x+y)QUOTE=QUOTE+QUOTE+5≥2QUOTE+5=9,当且仅当x=2y时等号成立,即x+y的最小值为9.3.若f(x)=x+QUOTE(x>2)在x=n处取得最小值,则n= ()A.QUOTE B.3 C.QUOTE D.4【解析】选B.由f(x)=x+QUOTE=(x-2)+QUOTE+2≥4,当且仅当x-2=QUOTE>0,即x=3时,取得等号.4.已知0<x<1,则x(3-3x)取得最大值时x的值为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.因为0<x<1,所以x·(3-3x)=QUOTE·3x·(3-3x)≤QUOTE·QUOTE=QUOTE,当3x=3-3x,即x=QUOTE时,x(3-3x)取得最大值QUOTE.5.若实数a,b满意QUOTE+QUOTE=QUOTE,则ab的最小值为 ()A.QUOTE B.2 C.2QUOTE D.4【解析】选C.由QUOTE=QUOTE+QUOTE≥2QUOTE,得ab≥2QUOTE,当且仅当QUOTE=QUOTE时取“=”.6.已知x>1,则函数y=x+QUOTE的值域为 ()A.(6,+∞) B.[8,+∞)C.[6,+∞) D.[16,+∞)【解析】选D.因为x>1,所以x-1>0,所以y=x+QUOTE=x+QUOTE=x+9+QUOTE=x-1+QUOTE+10≥2QUOTE+10=16,当且仅当x-1=QUOTE,即x=4时,y取最小值16,所以函数y=x+QUOTE的值域为[16,+∞).二、填空题(每小题5分,共10分)7.已知y=4x+QUOTE(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a=________.

【解析】y=4x+QUOTE≥2QUOTE=4QUOTE(x>0,a>0),当且仅当4x=QUOTE,即x=QUOTE时等号成立,此时y取得最小值4QUOTE.因为在x=3时y取得最小值,所以QUOTE=3,即a=36.答案:368.若a<1,则a+QUOTE与-1的大小关系是________.

【解析】因为a<1,即1-a>0,所以-QUOTE=(1-a)+QUOTE≥2QUOTE=2(当且仅当a=0时等号成立).即a+QUOTE≤-1.答案:a+QUOTE≤-1【补偿训练】若实数x,y满意4x+4y=2x+1+2y+1,则t=2x+2y的取值范围是________.

【解析】设a=2x,b=2y,则a>0,b>0,由条件得a2+b2=2(a+b),因为(a+b)2=a2+b2+2ab≤2(a2+b2),当且仅当a=b时取等号,所以(a+b)2≤4(a+b),所以a+b≤4,又(a+b)2-2(a+b)=2ab>0.所以a+b>2,所以2<a+b≤4,即2<t≤4.答案:(2,4]三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知x>0,y>0,z>0.求证:QUOTE≥8.【证明】因为x>0,y>0,z>0,所以QUOTE+QUOTE≥QUOTE>0,QUOTE+QUOTE≥QUOTE>0,QUOTE+QUOTE≥QUOTE>0,所以QUOTE≥QUOTE=8,当且仅当x=y=z时等号成立.10.(1)已知x>0,y>0,且2x+3y=6,求xy的最大值.(2)已知x>0,y>0,QUOTE+QUOTE=1,求x+y的最小值.【解析】(1)因为x>0,y>0,2x+3y=6,所以xy=QUOTE(2x·3y)≤QUOTE·QUOTE=QUOTE×QUOTE=QUOTE,当且仅当2x=3y,即x=QUOTE,y=1时,xy取到最大值QUOTE.(2)因为QUOTE+QUOTE=1,所以x+y=(x+y)·QUOTE=1+QUOTE+QUOTE+9=QUOTE+QUOTE+10,又因为x>0,y>0,所以QUOTE+QUOTE+10≥2QUOTE+10=16,当且仅当QUOTE=QUOTE,即y=3x时,等号成立.由QUOTE得QUOTE即当x=4,y=12时,x+y取得最小值16.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.设a>0,b>0,则下列不等式中不肯定成立的是 ()A.a+b+QUOTE≥2QUOTEB.QUOTE≥QUOTEC.QUOTE≥a+bD.(a+b)QUOTE≥4【解析】选B.因为a>0,b>0,所以a+b+QUOTE≥2QUOTE+QUOTE≥2QUOTE,当且仅当a=b且2QUOTE=QUOTE,即a=b=QUOTE时取等号,故A肯定成立.因为a+b≥2QUOTE>0,所以QUOTE≤QUOTE=QUOTE,当且仅当a=b时取等号,所以QUOTE≥QUOTE不肯定成立,故B不肯定成立.因为QUOTE≤QUOTE=QUOTE,当且仅当a=b时取等号,所以QUOTE=QUOTE=a+b-QUOTE≥2QUOTE-QUOTE,当且仅当a=b时取等号,所以QUOTE≥QUOTE,所以QUOTE≥a+b,故C肯定成立.因为(a+b)QUOTE=2+QUOTE+QUOTE≥4,当且仅当a=b时取等号,故D肯定成立.2.设x>0,则y=3-3x-QUOTE的最大值是 ()A.3 B.3-2QUOTEC.3-2QUOTE D.-1【解析】选C.y=3-3x-QUOTE=3-QUOTE≤3-2QUOTE=3-2QUOTE,当且仅当3x=QUOTE,即x=QUOTE时取等号.3.设x>0,则函数y=x+QUOTE-QUOTE的最小值为 ()A.0 B.QUOTE C.1 D.QUOTE【解析】选A.因为x>0,所以x+QUOTE>0,所以y=x+QUOTE-QUOTE=QUOTE+QUOTE-2≥2QUOTE-2=0,当且仅当x+QUOTE=QUOTE,即x=QUOTE时等号成立,所以函数的最小值为0.4.(多选题)规定:“⊗”表示一种运算,即a⊗b=QUOTE+a+b(a,b为正实数).若1⊗k=3,函数f(x)=QUOTE,1≤x≤4,则下列说法正确的是 ()A.f(x)的最小值为3 B.f(x)的最小值为2C.f(x)的最大值为QUOTE D.f(x)的最大值为QUOTE【解析】选AC.由题意得1⊗k=QUOTE+1+k=3,即k+QUOTE-2=0,解得QUOTE=1或QUOTE=-2(舍去),故k的值为1.又f(x)=QUOTE=QUOTE=1+QUOTE+QUOTE≥1+2=3,当且仅当QUOTE=QUOTE,即x=1时取等号,故函数f(x)的最小值为3.由函数单调性知:f(x)=QUOTE=QUOTE=1+QUOTE+QUOTE在x=4时有最大值为QUOTE.二、填空题(每小题5分,共20分)5.函数y=2x+QUOTE(x>1)的最小值为________.

【解析】因为y=2x+QUOTE(x>1),所以y=2x+QUOTE=2(x-1)+QUOTE+2≥2+2QUOTE=2QUOTE+2.当且仅当x=1+QUOTE时取等号,故函数y=2x+QUOTE(x>1)的最小值为2QUOTE+2.答案:2QUOTE+26.定义运算“⊗”:x⊗y=QUOTE(x,y∈R,xy≠0).当x>0,y>0时,x⊗y+(2y)⊗x的最小值为________.

【解析】因为x>0,y>0,所以x⊗y+(2y)⊗x=QUOTE+QUOTE=QUOTE=QUOTE≥QUOTE,当且仅当QUOTE=QUOTE,即x=QUOTEy时取等号,故x⊗y+(2y)⊗x的最小值为QUOTE.答案:QUOTE7.已知正数a,b满意2a2+b2=3,则aQUOTE的最大值为________.

【解析】aQUOTE=QUOTE×QUOTEaQUOTE≤QUOTE×QUOTE(2a2+b2+1)=QUOTE×(3+1)=QUOTE,当且仅当QUOTEa=QUOTE,且2a2+b2=3,即a2=1,b2=1时,等号成立,故aQUOTE的最大值为QUOTE.答案:QUOTE8.已知正实数a,b满意a+b=4,则QUOTE+QUOTE的最小值为________.

【解析】因为a+b=4,所以(a+1)+(b+3)=8,所以8QUOTE=[(a+1)+(b+3)]QUOTE=QUOTE+QUOTE+2≥2QUOTE+2=4,所以QUOTE+QUOTE≥QUOTE,当且仅当a+1=b+3时,等号成立,所以QUOTE+QUOTE的最小值为QUOTE.答案:QUOTE三、解答题(每小题10分,共30分)9.若正数a,b满意ab=a+b+3,求:(1)ab的取值范围.(2)a+b的取值范围.【解析】(1)因为ab=a+b+3≥2QUOTE+3,令t=QUOTE>0,所以t2-2t-3≥0所以(t-3)(t+1)≥0.所以t≥3即QUOTE≥3,所以ab≥9,当且仅当a=b=3时取等号.(2)因为ab=a+b+3,所以a+b+3≤QUOTE.令t=a+b>0,所以t2-4t-12≥0,所以(t-6)(t+2)≥0.所以t≥6即a+b≥6,当且仅当a=b=3时取等号.10.(1)若x>0,求函数y=x+QUOTE的最小值,并求此时x的值.(2)设0<x<QUOTE,求函数y=4x(3-2x)的最大值.(3)已知x>2,求x+QUOTE的最小值.【解析】(1)当x>0时,x+QUOTE≥2QUOTE=4,当且仅当x=QUOTE,即x2=4,x=2时取等号.所以函数y=x+QUOTE(x>0)在x=2时取得最小值4.(2)因为0<x<QUOTE,所以3-2x>0,所以y=4x(3-2x)=2[2x(3-2x)]≤2QUOTE=QUOTE.当且仅当2x=3-2x,即x=QUOTE时,等号成立.因为QUOTE∈QUOTE.所以函数y=4x(3-2x)QUOTE的最大值为QUOTE.(3)因为x>2,所以x-2>0,所以x+QUOTE=x-2+QUOTE+2≥2QUOTE+2=6,当且仅当x-2=QUOTE,即x=4时,等号成立.所以x+QUOTE的最小值为6.11.我们学习了二元基本不等式:设a>0,b>0,QUOTE≥QUOTE,当且仅当a=b时,等号成立,利用基本不等式可以证明不等式,也可以利用“和定积最大,积定和最小”求最值.(1)对于三元基本不等式请猜想:设a>0,b>0,c>0,QUOTE≥________,当且仅当a=b=c时,等号成立(把横线补全).

(2)利用(1)猜想的三元基本不等式证明:设a>0,b>0,c>0,a+b+c=1,求证:QUOTE≥9abc.(3)利用(1)猜想的三元基本不等式求最值:设a>0,b>0,c>0,a+b+c=1,求QUOTE的最大值.【解析】(1)对于三元基本不等式请猜想:设a>0,b>0,c>0,QUOTE≥QUOTE