2023-2024学年江苏省南京十三中高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江苏省南京十三中高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x∈N∗|0≤x≤3}，B={0,1,2}，则A∩B=(

)A.{1} B.{0,1} C.{1,2} D.{0,1,2}2.已知a=(13)1A.c>b>a B.b>c>a C.b>a>c D.a>b>c3.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π，将f(x)的图象向右平移π6A.φ=π3 B.φ=π6 C.4.已知tanα=−2，则3sin(π−α)−2cos(π+α)cos(π2A.−2 B.−1 C.1 D.25.已知函数f(x)=|3x−2|−m有两个不同的零点，则实数m的取值范围是A.[0,2] B.(0,2) C.[0,2) D.(0,2]6.已知等比数列{an}的公比为q，若a1+a2=12，且a1A.32 B.−32 C.37.已知函数y=f(x)的大致图象如图所示，则y=f(x)的解析式可能为(

)A.f(x)=x⋅3x9x−1 B.f(x)=8.已知0<α<π2，0<β<π2，且sin(2α+β)=4sinβ时，tan2α=4A.56 B.53 C.23二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.数列an的前n项和为Sn，已知Sn=−A.an是递增数列 B.a10=−12

C.当n>4时，an<0 D.当n=310.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是(

)A.函数f(x)的周期为T=π

B.函数f(x)的图象关于x=−π12对称

C.函数f(x)在区间[−π3,π2]上的最大值为211.已知x>0，y>0，且x+y+xy−3=0，则(

)A.xy的取值范围是[1,9] B.x+y的取值范围是[2,3)

C.x+4y的最小值是3 D.x+2y的最小值是4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.计算：2cos10°−sin20°cos20∘13.已知函数f(x)=ax−1−lnx(a∈R)，若f(x)在x=1处取得极值，不等式f(x)≥bx−2对∀x∈(0,+∞)恒成立，则实数b的取值范围为______．14.已知定义在R上的函数f(x)的导函数f′(x)，若f′(x)<ex，且f(2)=e2+2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

计算：

(1)(338)−1316.(本小题15分)

已知{an}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．

(1)求数列{an}的通项；

(2)17.(本小题15分)

已知函数f(x)=cos(π2−x)⋅cos(π3−x)−34．

18.(本小题17分)

已知函数f(x)=3+aex1+ex是定义域上的奇函数．

(1)求实数a的值；

(2)求函数f(x)的值域；

(3)若关于θ的不等式f(k)+f(19.(本小题17分)

已知函数f(x)=ex−1x+alnx(a∈R)．

(1)当a=0时，证明：f(x)>1；

(2)若f(x)在区间(1,+∞)上有且只有一个极值点，求实数参考答案1.C

2.C

3.D

4.A

5.B

6.C

7.D

8.A

9.BCD

10.ACD

11.BD

12.313.(−∞,1−114.(0,e15.解：1)(338)−13+0．316.解：(1)设公差为d(d≠0)，

∵a1=1，且a1，a3，a9成等比数列，

∴a32=a1⋅a9，即(1+2d)217.解：(1)f(x)=cos(π2−x)⋅cos(π3−x)−34

=sinx(12cosx+32sinx)−34

=14sin2x+32⋅1−cos2x2−34

=1418.解：(1)因为f(x)=3+aex1+ex是定义域R上的奇函数，

所以f(0)=3+a2=0，即a=−3，

所以f(x)=3−3ex1+ex，经检验f(x)此时为奇函数，符合题意；

(2)由(1)得f(x)=3−3ex1+ex=−3(1−21+ex)，

因为1+ex>1，

所以−1<1−21+ex<1，

所以−3<f(x)<3，即函数f(x)的值域为(−3,3)．

(3)因为3sinθcosθ+cos2θ=32sin2θ+12cos2θ+19.解：(1)证明：因为函数的定义域为(0,+∞)，当a=0时，f(x)=ex−1x．

要证f(x)>1，只需证：当x>0时，ex>x+1，

令p(x)=ex−x−1，则p(x)=ex−1>0，

则p(x)在x∈(0,+∞)单调递增，

所以p(x)>p(0)=0，即ex>x+1．

(2)f′(x)=(x−1)ex+1x2+ax=1x⋅[(x−1)ex+1x+a]，

令g(x)=(x−1)ex+1x+a(x>1)，

则g′(x)=ex(x2−x+1)−1x2>(x2−x+1)−