人教九年级数学上册第六单元《一元二次方程的根与系数的关系》教学课件

*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系1.通过阅读课本学生可以掌握一元二次方程根与系数的关系，提高学生解决问题的能力.2.通过自主探究经历探索一元二次方程根与系数的关系的过程，发展学生的逻辑推理和数学运算能力.3.通过对根与系数之间关系的探究，体会事物之间的联系，发展学生归纳和推理论证的能力.重点难点1.一元二次方程的一般形式是什么？2.一元二次方程的求根公式是什么？3.有实数根的条件是什么？旧知回顾

老师的年龄是多少呢？

一天，小王去小明家玩，当时小明正为墨迹不小心污染了一道解一元二次方程的习题而愁眉不展，小王翻看了后面的答案后立马帮他补全了题目.这让解方程一向熟练的小明很惊讶，忙急着问小王有什么“秘法”.小王的“秘法”韦达,1540年生于法国的普瓦图,他把符号系统引入代数学，对数学的发展发挥了巨大的作用,人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”.

解下列方程并完成填空：（1）

x2+3x-4=0；（2）2x2

-3x-2=0；（3）5x2+6x+1=0.一元二次方程两

根x1x2x2+3x-4=0

-41-3-42x2

-3x-2=0

25x2+6x+1=0

-1x1+x2=？x1·x2=？想一想

方程的两根

x1和

x2与系数

a，b，c有什么关系？自主探究2.完成表格后请同学们思考以下问题：

③你能证明一下上述两个猜想吗？

小组讨论

小组展示我提问我回答我补充我质疑提疑惑：你有什么疑惑？越展越优秀教师讲评知识点1：一元二次方程的根与系数的关系（重点）

注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.

教师讲评知识点2：一元二次方程的根与系数的关系的应用（难点）

（1）验根.不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；（2）已知方程的一个根，求方程的另一个根及未知系数；（3）不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x₁、x₂的对称式的值.此时常常涉及代数式的一些重要变形；教师讲评

教师讲评

教师讲评(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程.以两个数x₁,x₂为根的一元二次方程是x²

-

(x₁+x₂)x+x₁x₂=0

.(5)已知一元二次方程的两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围.教师讲评(6)利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.设一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两根为x₁、x₂,则①当Δ≥0且x₁x₂>0时，两根同号.当Δ≥0且x₁x₂>0,x₁+x₂>0时，两根同为正数；当Δ≥0且x₁x₂>0,x₁+x₂<0时，两根同为负数.②当Δ>0且x₁x₂<0时，两根异号.当Δ>0且x₁x₂<0,x₁+x₂>0时，两根异号且正根的绝对值较大;当Δ>0且x₁x₂<0,x₁+x₂<0时，两根异号且负根的绝对值较大.教师讲评

【题型二】已知方程及方程的一个根

1

A

【题型三】求与根有关的代数式的值

-1【题型三】求与根有关的代数式的值

3

【题型四】给出两根满足的条件，求参数的值

例4:已知一元二次方程x²-(2m-1)x+m²=0的两根分别为x1,x2,且满足x₁+x₂+4=x₁x₂,则m的值为

.

-

1

1点拨：由根与系数的关系，得x₁+x₂=2,∴x₁+2x₂=x₁+x₂+x₂=2+x₂=5,∴x₂=3.把x₂=3代入x²-2x-3m=0,解得m=1.今天我们学习了哪些重要的知识呢？