2024年一元二次方程的解法归纳总结

壹元二次方程的解法归纳總結壹元二次方程的解法是每壹种中學生都必须掌握的,共有5种解法,其中直接開平措施、因式分解法、配措施和公式法是教材上重點讲解的四种措施,并没有提到换元法,我們在這次归纳總結中給于详细的讲解.此外,還将简介某些特殊的壹元二次方程的解法.在上面提到的四种解壹元二次方程的措施中,直接開平措施是最直接的措施,因式分解法是最简朴的措施,配措施是最基本的措施,而公式法是最萬能的措施.我們要根据壹元二次方程的特點选择合适的解法,如壹元二次方程缺乏壹次项,选择用直接開平措施求解;壹元二次方程缺乏常数项,选择用因式分解法（缺常选因）求解.壹、直接開平措施解形如（≥0）和（≥0）的壹元二次方程,用直接開平措施.用直接開平措施解壹元二次方程的壹般环节:（1）把壹元二次方程化為（≥0）或（≥0）的形式;（2）直接開平方,把方程转化為两個壹元壹次方程;（3）分别解這两個壹元壹次方程,得到壹元二次方程的两個解.注意:（1）直接開平措施是最直接的解壹元二次方程的措施,并不适合所有的壹元二次方程的求解;（2）對于壹元二次方程,當時,方程無解;（3）對于壹元二次方程:=1\*GB3①當時,壹元二次方程有两個不相等的实数根;=2\*GB3②當時,壹元二次方程有两個相等的实数根;=3\*GB3③當時,壹元二次方程没有实数根.例1.解下列方程:（1）;（2）.分析:观测到两個方程的特點,都可以化為（≥0）的形式,所有选择用直接開平措施求解.當壹元二次方程缺乏壹次项時,考虑使用直接開平措施求解.解:（1）∴;（2）∴.例2.解下列方程:（1）;（2）.分析:观测到两個方程的特點,都可以化為（≥0）的形式,所有选择用直接開平措施求解.解:（1）∴或∴;（2）∴∴或∴.习題1.下列方程中,不能用直接開平措施求解的是【】（A）（B）（C）（D）习題2.若,则_________.习題3.若為方程的两根,且,则【】（A）（B）（C）1（D）3习題4.解下列方程:（1）;（2）.习題5.解下列方程:（1）;（2）.习題6.對于实数,我們用符号表达两数中较小的数,如.（1）_________;（2）若,则_________.习題7.已知直角三角形的两边長满足,求這個直角三角形第三边的長.（注意分类讨论第三边的長）二、因式分解法因式分解法解壹元二次方程的壹般环节是:（1）移项把方程的右边化為0;（2）化积将方程的左边分解為两個壹次因式的乘积;（3）转化令每個因式等于0,得到两個壹元壹次方程;（4）求解解這两個壹元壹次方程,得到壹元二次方程的两個解.例1.用因式分解法解方程:.解:∴或∴.例2.用因式分解法解方程:.解:∴或∴.例3.解方程:.解:∴.例4.解方程:.解:∴或∴.因式分解法解高次方程例5.解方程:.解:∴或或或∴.例6.解方程:.解:∵∴∴或∴.用拾字相乘法分解因式解方程對于壹元二次方程,當≥0且的值為完全平方数時,可以用拾字相乘法分解因式解方程.例7.解方程:.分析:,其成果為完全平方数,可以使用拾字相乘法分解因式.解:∴或∴.例8.解方程:.分析:,其成果為完全平方数,可以使用拾字相乘法分解因式.解:∴或∴,.例9.设方程的较大根為,方程的较小根為,求的值.解:∴或∴∵是该方程的较大根∴∴或∴∵是该方程的较小根∴∴.习題1.方程的根是__________.习題2.方程的根是__________.习題3.方程的解是__________.习題4.方程的解是__________.习題5.假如,那么的值為【】（A）2或（B）0或1（C）2（D）习題6.方程的根是__________.习題7.已知等腰三角形的腰和底的長分别是壹元二次方程的根,则该三角形的周長為__________.习題8.解下列方程:（1）;（2）;（3）;（4）.习題9.解下列方程:（1）;（2）.习題10.解方程:.三、配措施解用配措施解壹元二次方程共分六步:壹移、二化、三配、四開、五转、六解.（1）壹移把常数项移到方程的右边,注意变号;（2）二化在方程的左右两边同步除以二次项系数,化二次项系数為1;（3）三配即配方,把方程的左边配成完全平方的形式,需要在方程的左右两边同步加上壹次项系数二分之壹的平方;（4）四開直接開平方;（注意:當≥0時方程有实数根）（5）五转把第（4）步得到的成果转化為两個壹元壹次方程;或（6）解解這两個壹元壹次方程,得到壹元二次方程的两個解..阐明:由上面配方的成果可以确定壹元二次方程有实数根的条件和求根公式:壹元二次方程有实数根的条件是≥0,求根公式為:.例1.用配措施解方程:.解:∴或∴.例2.解方程:.分析:按照用配措施解壹元二次方程的壹般环节,在移项之後,要化二次项系数為“1”.解:∴或∴.例3.用配措施解有关的方程:（≥0）.解:∴∵≥0∴.阐明:≥0既是二次根式故意义的条件,也是壹元二次方程有实数根的前提.因此把叫做壹元二次方程的根的鉴别式.习題1.用配措施解方程,配方後的方程是【】（A）（B）（C）（D）习題2.若方程可以通過配方写成的形式,那么可以配成【】（A）（B）（C）（D）习題3.用配措施解方程:（1）;（2）;（3）;（4）.四、公式法壹元二次方程的求根公式壹元二次方程（）的求根公式為:（≥0）當時,壹元二次方程無实数根.例1.证明壹元二次方程的求根公式.分析:用配措施可以证明壹元二次方程的求根公式.证明:∴或∴即壹元二次方程（）的根為（≥0）.注意:當≥0時,壹元二次方程（）有实数根;當時,二次根式無意义,方程無实数根.公式法解壹元二次方程的壹般环节:用公式法解壹元二次方程的壹般环节是:（1）把壹元二次方程化為壹般形式;（2）确定的值,包括符号;（3）當≥0時,把的值代入求根公式求解;當時,方程無实数根.例1.用公式法解方程:.分析:用公式法解壹元二次方程時要先将方程化為壹般形式,并對的确定的值,包括符号.解:∴∴∴.例2.解下列方程:（1）;（2）.解:（1）∴∴;（2）∴∴.阐明:當時,壹元二次方程（）有两個相等的实数根.例3.解方程:.解:∴∴.用公式法解壹元二次方程获得的启示對于壹元二次方程（）,可以用的值确定方程解的状况以及方程的解,并且求根公式裏面的二次根式故意义的条件即為方程有解的条件:當≥0時,二次根式,壹元二次方程有实数根;當時,二次根式無意义,壹元二次方程無实数根.（1）當時,壹元二次方程有两個不相等的实数根;（2）當時,方程有两個相等的实数根.把叫做壹元二次方程根的鉴别式,用“”表达,因此.在不解方程的前提下,可以由的符号确定壹元二次方程根的状况.习題1.解方程:（1）;（2）;（3）;（4）.习題2.已知是壹元二次方程的两個实数根中较小的根.（1）求的值;（2）化简并求值:.五、换元法解某些高次方程或具有壹定构造特點的方程時,我們可以通過整体换元的措施,把方程转化為壹元二次方程進行求解,從而到达降次或变复杂為简朴的目的.换元法的实质是换元,关键是构造元和设元,体現的是转化化归思想.用换元法解某些高次方程例1.解方程:.分析:這是壹元四次方程,可设（注意:≥0）,這样通過换元就把原方程转化為有关的壹元二次方程.解:设,则有:≥0∴∴或∴∵≥0∴（舍去）∴∴.用换元法解具有壹定构造特點的方程例2.解方程:.分析:注意到该方程中整体出現了两次,可整体设元,從构造上简化方程.解:设,则有:∴或∴∴或∴.例3.解方程:.分析:本題中的方程若展開整顿,则得到的是壹种高次方程,但方程自身具有非常明显的构造特點,可整体换元,不用展開即可得到壹种简洁的壹元二次方程.解:设,则有:∴或∴∴或解方程得:;解方程得:综上,原方程的解為.例4.解方程:.分析:方程中与互為倒数,若设,则,通過這样的换元,最终可把原方程转化為有关的整式方程,且為壹元二次方程.解:设,则有:整顿得:∴∴或由得:,此時方程無解;由得:,解之得:.综上,原方程的解為.例5.解方程:.分析:设,则.解:设,则有:∴或∴∴或由得:,此時方程無解;由得:,解之得:.综上,原方程的解為.本題变式:已知实数满足,那么的值是【】（A）1或（B）或2（C）1（D）例6.已知,求的值.分析:整体设元:设,则≥0,据此注意根的取舍.解:设,则有:≥0∴整顿得:解之得:∵≥0∴∴的值為3.习題1.解下列方程:（1）;（2）.习題2.解方程:.习題3.阅讀下面的材料,回答問題:解方程,這是壹种壹元四次方程,根据该方程的特點,它的解法壹般是:设,则原方程变形為:=1\*GB3①解之得:當時,,解之得:;當時,,解之得:.综上,原方程的解為:.（1）在由原方程得到方程=1\*GB3①的過程中,运用_________法到达_________的目的,体現了数學的转化思想;（2）解方程:.特殊壹元二次方程的解法举例某些方程的解需采用特殊的处理和措施,下面列举几例.例1.解方程:.分析:若把该方程展開并整顿,會得到壹种壹元四次方程,這不是我們想看到的成果.可使用换元法解该方程:设,這样就能把原方程转化為有关的壹元二次方程.解:设,则原方程可转化為:∴∴或∴∴或由得:,解之得:;由得:,此時方程無解.综上,原方程的解為.例2.解方程:.解法1:當≥0,原方程可化為:,解之得:（舍去）;當時,原方程可化為:,解之得:（舍去）.综上所述,原方程的解為.解法2:原方程可化為:∴∵∴∴∴原方程的解為.解法3