2023-2024学年北京市西城区三帆中学九年级（上）期中数学试卷【含解析】

第1页（共1页）2023-2024学年北京市西城区三帆中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）1．（2分）下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（2分）抛物线y＝﹣3（x﹣2）2+4的开口方向和顶点坐标分别是（）A．向上，（2，4） B．向上，（﹣2，4） C．向下，（2，4） D．向下，（﹣2，4）3．（2分）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，若∠D＝70°，则∠B的度数为（）A．100° B．110° C．70° D．109°4．（2分）把抛物线y＝x2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（）A．y＝（x+3）2﹣1 B．y＝（x+3）2+3 C．y＝（x﹣3）2﹣1 D．y＝（x﹣3）2+35．（2分）抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3与x轴交于A，B两点，若点A的坐标是（﹣1，0），则点B的坐标为（）A．（3，0） B．（5，0） C．（0，﹣3） D．（1，0）6．（2分）如图，已知⊙O的半径OC经过弦AB的中点D，分别连接OB，AC，则2∠A+∠B的度数为（）A．80° B．45° C．90° D．70°7．（2分）数学课上，邱老师提出如下问题：已知：如图，AB是⊙O的直径，射线AC交⊙O于C．求作：BC的中点D．同学们分享了如下四种方案：①如图1，连接BC，作BC的垂直平分线，交⊙O于点D．②如图2，过点O作AC的平行线，交⊙O于点D．③如图3，作∠BAC的平分线，交⊙O于点D．④如图4，在射线AC上截取AE，使AE＝AB，连接BE，交⊙O于点D．上述四种方案中，正确的方案的序号是（）A．①② B．②③ C．②③④ D．①②③④8．（2分）下面的三个问题中都有两个变量：①边长为3dm的正方形纸片中间剪去一个边长为xdm的正方形纸片，剩下纸片的面积y与x；②用长为50cm的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x；③某种商品的价格为4元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y与x．其中变量y与x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（）A．① B．② C．③ D．①③二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分）9．（2分）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣6＝0的一个根，则m＝．10．（2分）已知抛物线y＝（x﹣1）2+4经过两点A（2，y1）和B（3，y2），则y1y2（填“＞”，“＜”或“＝”）．11．（2分）扇形圆心角为120°，半径长为6cm，（计算结果保留π）则弧长为cm，扇形的面积为cm2．12．（2分）杭州亚运会射击项目比赛，中国队取得16金9银4铜的成绩，继续保持着亚洲射击运动霸主的位置．如图，是射击靶的示意图，环靶为圆形，直径122cm，自中心向外共10个等宽的同心圆环区，得分标准如图所示．若最小的圆半径为6.1cm，最大的圆半径为61cm，某运动员一次训练中，击中了与圆心O的距离为15cm的位置，则该运动员本次射击得分为分．13．（2分）如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，若AB＝4，∠A＝15°，则弦CD的长为．14．（2分）二次函数y＝x2﹣4x+c满足以下条件：当3＜x＜4时，它的图象位于x轴的下方；当4＜x＜5时，它的图象位于x轴的上方，则c的值为．15．（2分）如图，是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，有下面四个结论：①ac＜0；②b＞2a；③9a﹣3b+c＜0；④关于x的方程ax2+bx+c＝1（a≠0）有两个不相等的实数根．其中所有正确结论的序号是．16．（2分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（3，0），T（0，2）．点C为坐标平面内的一个动点，满足∠ACB＝60°，则线段CT长度的最大值为．三、解答题（共12小题，满分68分，17-19，21-23每题5分，20，24-26每题6分，27，28每17．（5分）解方程：x2﹣4x+3＝0．18．（5分）已知关于x的方程x2﹣（k+4）x+2k+4＝0．（1）求证：不论k为何值，该方程总有两个实数根；（2）设该方程有两个根为x1，x2，若x1+x2＝7，求k的值．19．（5分）如图，A是⊙O外一点，AB与⊙O相切于点B，连接OA，交⊙O于点C．若AC＝2，AB＝2，求圆的半径．20．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如下表：x…﹣10123…y…﹣3010﹣3…（1）根据上表画出函数图象，并填空：①该函数的顶点坐标为；②抛物线与坐标轴的交点坐标为；③当y＞0时，x的取值范围是；（2）求该二次函数的解析式．21．（5分）2023年9月，以“人文自主庚七秩，二附一心向未来”为主题的北师大二附中建校70周年庆祝活动在校隆重举行，师生校友参与了丰富多彩的校庆活动，并通过购买文创纪念品的方式献上爱心，其中的“三帆熊”和“二附兔”受到大家青睐，这两种吉祥物成本价均为每个40元，设两种吉祥物的销售单价均为x元，每小时共售出两种吉祥物y个，经研究发现y与x之间有如下关系：y＝﹣x+60．设在这次活动中两种吉祥物每小时的利润共w元．（1）求w与x之间的函数表达式（需写出x的取值范围）．（2）这两种吉祥物的销售单价定为多少元，可以使每小时的利润最大？22．（5分）阅读对话，解答问题．（1）分别用m，n表示好好从珊珊、帆帆袋子中抽出卡片上标有的数字，请用列表法写出（m，n）的所有取值：nm1234（2）求在（m，n）的所有取值中使关于x的一元二次方程x2﹣mx+2n＝0有实数根的概率P．23．（5分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC．求作：△ABC的外接圆．下面是小张的作法：①如图，作BC的垂直平分线l1；②作AC的垂直平分线l2，与l1交于点O；③以O为圆心，OA长度为半径作圆．则⊙O是△ABC的外接圆．（1）请你用无刻度直尺和圆规在图中补全图形．（2）小李看到他的作法后灵机一动，找到了△ABC的内心．下面是小李的作法：直线l2与交于点D，连接DB，交AO于点I，则点I是△ABC的内心．请你补全下面证明．∵l2⊥AC，l2经过点O，∴（①）（填推理的依据），∴∠ABD＝②（③）（填推理的依据），∵l2⊥BC，AB＝AC，∴∠BAO＝∠CAO，∵DB与AO交于点I，∴点I是△ABC的内心．24．（6分）篮球是大家平时接触非常多的运动之一，投篮时，球出手后篮球飞行的轨迹可以近似的看作一条抛物线的一部分，建立如图所示平面直角坐标系，从出手到球进篮筐的过程中，篮球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．（1）某球员一次投篮时，记录了篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m00.511.522.533.5…竖直高度y/m22.723.283.683.9243.923.68…请你根据表格中数据，直接写出篮球飞行轨迹的最高点坐标，并求出满足的函数解析式．（2）小明同学在此基础上想要研究自己的投篮情况，已经求得第一次的投篮轨迹近似满足函数关系式：y＝﹣（x﹣2.4）2+4.5，请回答下列问题：①小明同学第一次投篮的出手点高度为m；②已知篮筐中心位置在水平距离4.2m，竖直高度3m处．当篮球的竖直高度为3m时对应的水平距离与篮筐中心位置的水平距离相差0.1m以内，篮球可以进入篮筐．若小明第二次的投篮轨迹近似满足函数关系式：y＝﹣（x﹣2.1）2+4，已知两次投篮只有一次投中，则投中（填写“第一次”或“第二次”）．25．（6分）如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上一点，PO⊥AB，PB⊥BO于B，分别连接AC，AP．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）作AD平分∠BAC交⊙O于点D，连接CD．若AB＝OB，，请补全图形，并求OP的长．26．（6分）平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝t．（1）若抛物线经过点（2，c），求t的值；（2）若抛物线上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜3，且y1＝y2，求t的取值范围．27．（7分）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于D，E为线段BC上的一动点，连接ED，将ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，连接AF交直线CD于点G．（1）当E与C重合时，如图1，求证：AG＝FG；（2）当E与C不重合时，如图2，则（1）中的结论是否成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（3）若AC＝2，直接写出CG长的最大值．28．（7分）设T是平面内的几何变换，它使得平面内任意一点P都有唯一的对应点P′，从而使任何图形G都能经过变换T得到另一图形G′．在此基础上：若点P的对应点是它本身，则称点P是变换T的不动点；若图形G经过变换T后得到的图形仍然是它本身，则称图形G是变换T的不动图形．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（0，2），C（2，0）．（1）变换T1：先关于y轴对称，再将坐标为（a，b）的点变为点（4﹣a，b）．①若点A在经过变换T1后得到点A′，则AA′＝；②有下列图形：（A）过点A且平行于x轴的直线；（B）开口向下，且以B为顶点的抛物线；（C）以点C为圆心的半径为1的圆．其中是变换T1的不动图形的是；（2）变换T2：先关于直线y＝kx+1对称，再关于y轴对称．请判断点B、点C中哪个点经过变换T2后可能得到点A，并求出此时k的值；（3）变换T3：先绕点O顺时针旋转90°，再绕点C逆时针旋转60°．①以C为圆心作半径为r的圆，若⊙C上存在点M，它经过变换T3后的对应点恰好在x轴上，直接写出r的取值范围；②变换T3是否有不动点？若有，写出其不动点的坐标；若没有，说明理由．

2023-2024学年北京市西城区三帆中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）1．（2分）下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意．故选：A．【点评】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．2．（2分）抛物线y＝﹣3（x﹣2）2+4的开口方向和顶点坐标分别是（）A．向上，（2，4） B．向上，（﹣2，4） C．向下，（2，4） D．向下，（﹣2，4）【分析】根据题意可知a＝﹣3，然后依据抛物线的顶点式做出判断即可．【解答】解：∵a＝﹣3＜0，∴抛物线开口向下．∵抛物线的解析式为y＝﹣3（x﹣2）2+4，∴顶点坐标为（2，4）．故选：C．【点评】本题主要考查的是二次函数的性质，掌握二次函数的三种形式是解题的关键．3．（2分）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，若∠D＝70°，则∠B的度数为（）A．100° B．110° C．70° D．109°【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠B+∠D＝180°，∵∠D＝70°，∴∠B＝180°﹣70°＝110°，故选：B．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．4．（2分）把抛物线y＝x2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（）A．y＝（x+3）2﹣1 B．y＝（x+3）2+3 C．y＝（x﹣3）2﹣1 D．y＝（x﹣3）2+3【分析】易得原抛物线的顶点及平移后抛物线的顶点，根据平移不改变抛物线的二次项系数可得新的抛物线解析式．【解答】解：由题意得原抛物线的顶点为（0，1），∴平移后抛物线的顶点为（3，﹣1），∴新抛物线解析式为y＝（x﹣3）2﹣1，故选：C．【点评】考查二次函数的几何变换；用到的知识点为：二次函数的平移不改变二次项的系数；得多新抛物线的顶点是解决本题的突破点．5．（2分）抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3与x轴交于A，B两点，若点A的坐标是（﹣1，0），则点B的坐标为（）A．（3，0） B．（5，0） C．（0，﹣3） D．（1，0）【分析】根据抛物线解析式，可以得到对称轴，然后根据二次函数具有对称性，即可写出点B的坐标．【解答】解：∵抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3，∴该抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∵抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3与x轴交于A，B两点，点A的坐标是（﹣1，0），∴点B的坐标为（3，0），故选：A．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．6．（2分）如图，已知⊙O的半径OC经过弦AB的中点D，分别连接OB，AC，则2∠A+∠B的度数为（）A．80° B．45° C．90° D．70°【分析】由圆周角定理得到∠O＝2∠A，即可得到结论．【解答】解：∵OC⊥AB，∴∠ODB＝90°，∴∠O+∠B＝90°∵∠O＝2∠A，∴2∠A+∠B＝90°，故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理的知识，解题的关键是得到∠O＝2∠A，难度不大．7．（2分）数学课上，邱老师提出如下问题：已知：如图，AB是⊙O的直径，射线AC交⊙O于C．求作：BC的中点D．同学们分享了如下四种方案：①如图1，连接BC，作BC的垂直平分线，交⊙O于点D．②如图2，过点O作AC的平行线，交⊙O于点D．③如图3，作∠BAC的平分线，交⊙O于点D．④如图4，在射线AC上截取AE，使AE＝AB，连接BE，交⊙O于点D．上述四种方案中，正确的方案的序号是（）A．①② B．②③ C．②③④ D．①②③④【分析】①利用垂径定理可以证明．②证明BC⊥OD，可得结论．③利用圆周角定理可得结论．④利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可．【解答】解：①由∵OD⊥BC，∴＝．②如图2中，连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵OD∥AC，∴OD⊥BC，∴＝．③∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∴＝．④如图4中，连接AD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BE，∵AB＝AE，∴AD平分∠BAC，∴＝．故答①②③④正确，故选：D．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理，圆周角定理解决问题，属于中考常考题型．8．（2分）下面的三个问题中都有两个变量：①边长为3dm的正方形纸片中间剪去一个边长为xdm的正方形纸片，剩下纸片的面积y与x；②用长为50cm的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x；③某种商品的价格为4元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y与x．其中变量y与x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（）A．① B．② C．③ D．①③【分析】①根据正方形的面积公式解答即可；②根据矩形的面积公式解答即可；③根据每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y，列出函数关系式即可求解．【解答】解：①边长为3dm的正方形纸片中间剪去一个边长为xdm的正方形纸片，剩下纸片的面积y与x的关系式为y＝32﹣x2（x＞0），y是x的二次函数，抛物线的开口方向向下，故①不符合题意；用长为50cm的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x的关系式为y＝＝﹣x2+25x（x＞0），y是x的二次函数，抛物线的开口方向向下，故②不符合题意；③某种商品的价格为4元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y与x．其中变量y与x之间的函数关系为y＝4（1﹣x）2（x＞0），y是x的二次函数，抛物线的开口方向向上，故③符合题意．故选：C．【点评】本题考查了利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分）9．（2分）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣6＝0的一个根，则m＝5．【分析】把x＝1代入一元二次方程得1+m﹣6＝0，然后解一次方程即可．【解答】解：把x＝1代入一元二次方程x2+mx﹣6＝0得1+m﹣6＝0，解得m＝5，即m的值为5．故答案为：5．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．10．（2分）已知抛物线y＝（x﹣1）2+4经过两点A（2，y1）和B（3，y2），则y1＜y2（填“＞”，“＜”或“＝”）．【分析】由a＞0可得抛物线开口方向，由二次函数解析式可得抛物线的对称轴，进而求解．【解答】解：∵a＞0，∴抛物线开口向上，∵y＝（x﹣1）2+4，∴抛物线对称轴为直线x＝1，∵1＜2＜3，∴y1＜y2，故答案为：＜．【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的增减性是解题关键．11．（2分）扇形圆心角为120°，半径长为6cm，（计算结果保留π）则弧长为4πcm，扇形的面积为12πcm2．【分析】根据弧长公式和扇形的面积公式求出答案即可．【解答】解：∵扇形圆心角为120°，半径长为6cm，∴弧长为＝4π（cm），扇形的面积是＝12π（cm2）．故答案为：4π，12π．【点评】本题考查了扇形面积的计算和弧长的计算，能熟记扇形的面积公式和弧长公式是解此题的关键，注意：圆心角为n度，半径为r的扇形的弧长为，扇形的面积为．12．（2分）杭州亚运会射击项目比赛，中国队取得16金9银4铜的成绩，继续保持着亚洲射击运动霸主的位置．如图，是射击靶的示意图，环靶为圆形，直径122cm，自中心向外共10个等宽的同心圆环区，得分标准如图所示．若最小的圆半径为6.1cm，最大的圆半径为61cm，某运动员一次训练中，击中了与圆心O的距离为15cm的位置，则该运动员本次射击得分为8.0分．【分析】求出10个等宽的同心圆环区的宽，即可解决问题．【解答】解：10个等宽的同心圆环区的宽＝61÷10＝6.1cm，∵6.1×2＜15＜6.1×3，∴该运动员本次得分为8.0分．故答案为：8.0．【点评】本题考查圆环，关键是求出10个等宽的同心圆环区的宽．13．（2分）如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，若AB＝4，∠A＝15°，则弦CD的长为2．【分析】连接OD．判断出∠EOD＝30°，再证明CE＝ED＝OD＝1，可得结论．【解答】解：连接OD．∵OA＝OD＝AB＝2，，∴∠A＝∠ODA＝15°，∴∠EOD＝∠A+∠ODA＝30°，∵AB⊥CD，∴CE＝ED＝OD＝1，∴CD＝2CE＝2．故答案为：2．【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．14．（2分）二次函数y＝x2﹣4x+c满足以下条件：当3＜x＜4时，它的图象位于x轴的下方；当4＜x＜5时，它的图象位于x轴的上方，则c的值为0．【分析】先求出该函数的对称轴，然后根据当3＜x＜4时，它的图象位于x轴的下方，当4＜x＜5时，它的图象位于x轴的上方，即可得到x＝4时，y＝0，从而可以求得c的值．【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+c＝（x﹣2）2﹣4+c，∴该函数的图象开口向上，对称轴是直线x＝2，∵当3＜x＜4时，它的图象位于x轴的下方，当4＜x＜5时，它的图象位于x轴的上方，∴当x＝4时，y＝0，即0＝42﹣4×4+c，解得c＝0，故答案为：0．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．15．（2分）如图，是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，有下面四个结论：①ac＜0；②b＞2a；③9a﹣3b+c＜0；④关于x的方程ax2+bx+c＝1（a≠0）有两个不相等的实数根．其中所有正确结论的序号是①④．【分析】根据二次函数的图象及性质即可判断．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，∴c＜0，∴ac＜0，故①正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，故②错误；∵抛物线与x轴的交点为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，∴抛物线与x轴的另一交点为（﹣3，0），∴9a﹣3b+c＝0，故③错误；由图象可知，1＞c，∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝1有两个交点，∴关于x的方程ax2+bx+c＝1（a≠0）有两个不相等的实数根，故④正确；故答案为：①④．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，正确理解二次函数与方程的关系，本题属于中等题型．16．（2分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（3，0），T（0，2）．点C为坐标平面内的一个动点，满足∠ACB＝60°，则线段CT长度的最大值为3+2．【分析】作△ABC的外接圆⊙P，当C、P、T在同一直线上，且T在⊙P外，线段CT长度的最大，然后利用勾股定理求得OC，进一步即可求得线段CT长度的最大值为3+2．【解答】解：作△ABC的外接圆⊙P，当C、P、T在同一直线上，且T在⊙P外，线段CT长度的最大，如图，∵点A（﹣3，0），B（3，0），∴OA＝OB，∵点P在AB的垂直平分线上，∴点P在y轴上，∵T（0，2）在y轴上，∴点C在y轴上时，线段CT长度的最大，∴CT垂直平分AB，∴AC＝BC，∵∠ACB＝60°，∴此时△ACB是等边三角形，∴AC＝AB＝6，∴OC＝＝3，∵OT＝2，∴CT＝3+2，故线段CT长度的最大值为3+2．故答案为：3+2．【点评】本题考查了点与圆的位置关系，坐标与图形性质，圆周角定理，勾股定理，明确C、P、T在同一直线上时，线段CT长度的最大是解题的关键．三、解答题（共12小题，满分68分，17-19，21-23每题5分，20，24-26每题6分，27，28每17．（5分）解方程：x2﹣4x+3＝0．【分析】利用因式分解法解出方程．【解答】解：x2﹣4x+3＝0（x﹣1）（x﹣3）＝0x﹣1＝0或x﹣3＝0x1＝1，x2＝3．【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．18．（5分）已知关于x的方程x2﹣（k+4）x+2k+4＝0．（1）求证：不论k为何值，该方程总有两个实数根；（2）设该方程有两个根为x1，x2，若x1+x2＝7，求k的值．【分析】（1）求出Δ＝[﹣（k+4）]2﹣4（2k+4）＝k2，可知Δ≥0，故x2﹣（k+4）x+2k+4＝0总有两个实数根；（2）由x2﹣（k+4）x+2k+4＝0两个根为x1，x2，可得x1+x2＝k+4，故k+4＝7，即可解得k的值为3．【解答】（1）证明：Δ＝[﹣（k+4）]2﹣4（2k+4）＝k2+8k+16﹣8k﹣16＝k2，∵k2≥0，∴Δ≥0，∴x2﹣（k+4）x+2k+4＝0总有两个实数根；（2）∵x2﹣（k+4）x+2k+4＝0两个根为x1，x2，∴x1+x2＝k+4，∵x1+x2＝7，∴k+4＝7，解得k＝3；∴k的值为3．【点评】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程有实数根的条件和根与系数的关系．19．（5分）如图，A是⊙O外一点，AB与⊙O相切于点B，连接OA，交⊙O于点C．若AC＝2，AB＝2，求圆的半径．【分析】根据切线的性质可得三角形AOB是直角三角形，再根据勾股定理列方程求解即可．【解答】解：如图，连接OB，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠OBA＝90°，设半径为r，即OB＝r，OA＝2+r，在Rt△AOB中，由勾股定理得，OB2+AB2＝OA2，即r2+（2）2＝（r+2）2，解得r＝2，答：圆的半径为2．【点评】本题考查切线的性质，掌握切线的性质以及勾股定理是正确解答的前提．20．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如下表：x…﹣10123…y…﹣3010﹣3…（1）根据上表画出函数图象，并填空：①该函数的顶点坐标为（1，1）；②抛物线与坐标轴的交点坐标为（0，0），（2，0）；③当y＞0时，x的取值范围是0＜x＜2；（2）求该二次函数的解析式．【分析】（1）根据表格中的数据，可以画出相应的函数图象；①根据图象中的数据，可以直接写出顶点坐标；②根据图象中的数据，可以直接写出抛物线与坐标轴的交点坐标；③根据图象中的数据，可以写出当y＞0时，x的取值范围；（2）先设该函数的顶点式，再根据经过点（0，0），即可求得a的值，从而可以写出该函数解析式．【解答】解：（1）图象如右图所示，①该函数的顶点坐标为（1，1）；②抛物线与坐标轴的交点坐标为（0，0），（2，0）；③当y＞0时，x的取值范围是0＜x＜2；故答案为：①（1，1）；②（0，0），（2，0）；③0＜x＜2；（2）设该函数解析式为y＝a（x﹣1）2+1，∵点（0，0）在该函数图象上，∴0＝a（0﹣1）2+1，解得a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣1）2+1．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用数形结合的思想解答．21．（5分）2023年9月，以“人文自主庚七秩，二附一心向未来”为主题的北师大二附中建校70周年庆祝活动在校隆重举行，师生校友参与了丰富多彩的校庆活动，并通过购买文创纪念品的方式献上爱心，其中的“三帆熊”和“二附兔”受到大家青睐，这两种吉祥物成本价均为每个40元，设两种吉祥物的销售单价均为x元，每小时共售出两种吉祥物y个，经研究发现y与x之间有如下关系：y＝﹣x+60．设在这次活动中两种吉祥物每小时的利润共w元．（1）求w与x之间的函数表达式（需写出x的取值范围）．（2）这两种吉祥物的销售单价定为多少元，可以使每小时的利润最大？【分析】（1）根据“两种吉祥物每小时的利润＝两种吉祥物的单个利润×每小时销售数量”列函数解析式即可；并根据单个利润非负，每小时销售量非负列不等式组即可求出x的范围；（2）根据二次函数的性质即可求出答案．【解答】解：（1）根据题意，得w＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣x+60），即w＝﹣x2+100x﹣2400，自变量x需满足，解得40≤x≤60，答：w＝﹣x2+100x﹣2400，40≤x≤60；（2）w＝﹣x2+100x﹣2400＝﹣（x﹣50）2+100，∵a＝﹣1＜0，对称轴为直线x＝50，∴抛物线开口向下，有最大值，∴在40≤x≤60时，当x＝50时，w有最大值，最大值为100元，答：这两种吉祥物的销售单价定为50元，可以使每小时的利润最大．【点评】本题考查二次函数的应用，理解题意，弄清题目中的数量关系时解题的关键．22．（5分）阅读对话，解答问题．（1）分别用m，n表示好好从珊珊、帆帆袋子中抽出卡片上标有的数字，请用列表法写出（m，n）的所有取值：nm1234（2）求在（m，n）的所有取值中使关于x的一元二次方程x2﹣mx+2n＝0有实数根的概率P．【分析】（1）根据题意列表即可．（2）由题意可得Δ＝（﹣m）2﹣4×1×2n＝m2﹣8n≥0，由表格可得出所有等可能的结果数以及能使m2﹣8n≥0的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）列表如下：nm1231（1，1）（1，2）（1，3）2（2，1）（2，2）（2，3）3（3，1）（3，2）（3，3）4（4，1）（4，2）（4，3）（2）∵关于x的一元二次方程x2﹣mx+2n＝0有实数根，∴Δ＝（﹣m）2﹣4×1×2n＝m2﹣8n≥0．由表格可知，共有12种等可能的结果，其中能使m2﹣8n≥0的结果有：（3，1），（4，1），（4，2），共3种，∴在（m，n）的所有取值中使关于x的一元二次方程x2﹣mx+2n＝0有实数根的概率P＝＝．【点评】本题考查列表法与树状图法、根的判别式，熟练掌握列表法与树状图法以及根的判别式是解答本题的关键．23．（5分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC．求作：△ABC的外接圆．下面是小张的作法：①如图，作BC的垂直平分线l1；②作AC的垂直平分线l2，与l1交于点O；③以O为圆心，OA长度为半径作圆．则⊙O是△ABC的外接圆．（1）请你用无刻度直尺和圆规在图中补全图形．（2）小李看到他的作法后灵机一动，找到了△ABC的内心．下面是小李的作法：直线l2与交于点D，连接DB，交AO于点I，则点I是△ABC的内心．请你补全下面证明．∵l2⊥AC，l2经过点O，∴（①垂直平分弦的直径平分弦所对的劣弧）（填推理的依据），∴∠ABD＝②∠DBC（③等弧所对的圆周角相等）（填推理的依据），∵l2⊥BC，AB＝AC，∴∠BAO＝∠CAO，∵DB与AO交于点I，∴点I是△ABC的内心．【分析】（1）根据要求作出图形；（2）根据内心是角平分线的交点即可．【解答】（1）解：图形如图所示：（2）证明：∵l2⊥AC，l2经过点O，∴（①垂直平分弦的直径平分弦所对的劣弧）（填推理的依据），∴∠ABD＝②∠DBC（③等弧所对的圆周角定理）（填推理的依据），∵l2⊥BC，AB＝AC，∴∠BAO＝∠CAO，∵DB与AO交于点I，∴点I是△ABC的内心．故答案为：垂直平分弦的直径平分弦所对的劣弧，∠DBC，等弧所对的圆周角定理．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外心，内心等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．24．（6分）篮球是大家平时接触非常多的运动之一，投篮时，球出手后篮球飞行的轨迹可以近似的看作一条抛物线的一部分，建立如图所示平面直角坐标系，从出手到球进篮筐的过程中，篮球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．（1）某球员一次投篮时，记录了篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m00.511.522.533.5…竖直高度y/m22.723.283.683.9243.923.68…请你根据表格中数据，直接写出篮球飞行轨迹的最高点坐标（2.5，4），并求出满足的函数解析式．（2）小明同学在此基础上想要研究自己的投篮情况，已经求得第一次的投篮轨迹近似满足函数关系式：y＝﹣（x﹣2.4）2+4.5，请回答下列问题：①小明同学第一次投篮的出手点高度为2.1m；②已知篮筐中心位置在水平距离4.2m，竖直高度3m处．当篮球的竖直高度为3m时对应的水平距离与篮筐中心位置的水平距离相差0.1m以内，篮球可以进入篮筐．若小明第二次的投篮轨迹近似满足函数关系式：y＝﹣（x﹣2.1）2+4，已知两次投篮只有一次投中，则第一次投中（填写“第一次”或“第二次”）．【分析】（1）根据二次函数的对称性即可确定篮球飞行轨迹的最高点坐标；利用待定系数法即可求出函数解析式；（2）①当x＝0时，求出函数值，即可求出第一次投篮的出手点高度；②分别求出y＝3时，x的值，在与4.2比较，相差0.1以内的即可以进入篮筐．【解答】解：（1）由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴为直线x＝＝2.5，∴可由表格知篮球飞行轨迹的最高点坐标为（2.5，4），故答案为：（2.5，4），函数关系可设为：y＝a（x﹣2.5）2+4，将点（0，2）代入，得2＝a（0﹣2.5）2+4，解得a＝，∴满足的函数解析式为：y＝（x﹣2.5）2+4；（2）①当x＝0时，y＝﹣（x﹣2.4）2+4.5＝﹣（0﹣2.4）2+4.5＝2.1，故答案为：2.1；②第一次投篮：当y＝3时，3＝﹣（x﹣2.4）2+4.5，解得x1＝2.4+0.6，x2＝2.4﹣0.6（舍去），|2.4+0.6﹣4.2|＜0.1，故篮球可以进入篮筐；第二次投篮：当y＝3时，3＝﹣（x﹣2.4）2+4，解得x1≈3.95，x2≈0.85（舍去），|3.95﹣4.2|＝0.25＞0.2，故篮球不能进入篮筐，故答案为：第一次．【点评】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握二次函数的性质时解题的关键．25．（6分）如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上一点，PO⊥AB，PB⊥BO于B，分别连接AC，AP．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）作AD平分∠BAC交⊙O于点D，连接CD．若AB＝OB，，请补全图形，并求OP的长．【分析】（1）根据“经过直径的外端，且垂直于直径的直线是圆的切线”进行证明；（2）根据等边三角形的性质、勾股定理、圆的性质求解．【解答】（1）证明：连接OA，∵OA＝OB，PO⊥AB，∴∠AOP＝∠BOP，∴OP＝OP，∴△AOP≌△BOP（SAS），∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵OA是⊙O的半径，∴AP是⊙O的切线；（2）解：补全图形如图所示：连接BD，∵AB＝OB＝OA，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠POB＝∠AOB＝30°，∵AD平分∠BAC，∴BD＝CD＝2，∵BC是直径，∴∠CDB＝90°，∴CB＝2，∴OB＝，∴OP＝＝2．【点评】本题考查了基本作图，掌握等边三角形的性质、勾股定理、圆的性质及切线的判定定理是解题的关键．26．（6分）平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝t．（1）若抛物线经过点（2，c），求t的值；（2）若抛物线上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜3，且y1＝y2，求t的取值范围．【分析】（1）利用抛物线的对称性即可求得t的值；（2）利用抛物线的对称性即可求得t的取值范围．【解答】解：（1）由y＝ax2+bx+c可知，抛物线与y轴的交点为（0，c），∵抛物线经过点（2，c），∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝t＝＝1，∴t的值为1；（2）∵抛物线上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），y1＝y2，∴t＝，∵﹣1＜x1＜0，1＜x2＜3，∴＜t＜，即0＜t＜．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知抛物线的对称性是解题的关键．27．（7分）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于D，E为线段BC上的一动点，连接ED，将ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，连接AF交直线CD于点G．（1）当E与C重合时，如图1，求证：AG＝FG；（2）当E与C不重合时，如图2，则（1）中的结论是否成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（3）若AC＝2，直接写出CG长的最大值．【分析】（1）由“AAS”可证△ADG≌△FCG，可得AG＝FG；（2）由“SAS”可证△DEJ≌△FEB，可得∠EBF＝∠EJB＝45°，由平行线分线段成比例可求解；（3）由（2）可知，点F过点B且垂直于AB的直线上运动，由等腰三角形的性质可求解．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB，∴AD＝CD＝DB，∵将ED绕点E逆时针旋转90°，∴CD＝CF，∠DCF＝∠ADC＝90°，∴AD＝CF，由∠AGD＝∠CGF，∴△ADG≌△FCG（AAS），∴AG＝FG；（2）解：结论仍然成立，理由如下：连接BF，过点E作EJ⊥BC，交AB于J，∵EJ⊥BC，∠ABC＝45°，∴∠EJB＝∠ABC＝45°，∴EJ＝EB，∵∠JEB＝∠DEF＝90°，∴∠JED＝∠BEF，又∵DE＝EF，∴△DEJ≌△FEB（SAS），∴∠EBF＝∠EJB＝45°，∴∠ABF＝90°，∴CD∥BF，∴，∵AD＝DB，∴AG＝GF；（3）解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，CD⊥AB，∴AB＝2，∴AD＝CD＝DB＝，由（2）可知，点F过点B且垂直于AB的直线上运动，∴当点E与点B重合时，DG＝EF＝，此时CG有最大值为，∴CG的最大值为．【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质等知识