1-2 倒易点阵与晶带定律

倒易点阵与晶带定律材料研究方法

课程内容一一一、背景二二、定义

三、正倒空间之间的关系四四、倒易矢量的基本性质五五、晶带定律与广义晶带定律

六、结论一、背景X射线衍射单晶体多晶体非晶体织构电子衍射

倒易点阵是一个虚拟点阵，是由厄瓦尔德1921年在处理晶体衍射时根据Gibbs倒易空间的概念建立的，理论基础：傅立叶变换

正空间中的晶面按一定的规则转变为倒空间的一阵点，所有晶面转变为一系列规则排列的阵点，组成倒空间的倒易点阵。倒空间的原点出发至该点为响应的倒易矢量，矢量的方向垂直与晶面，矢量的大小为晶面间距的倒数。二、倒易点阵的定义规则：3）结果：正空间中的晶面在倒空间中表现为一个倒易阵点1）正点阵参数：a、b、c、

、

、

，基矢量为2）倒易点阵参数：a*、b*、c*、

*、

*、

*，基矢量为ONA(hkl)1/dhklxyzN

（1-29）该矢量即为晶面（hkl）的倒易矢量倒易矢量的构建定义：因为矢量方向平行于晶面法矢量矢量大小等于晶面间距的倒数三、正倒空间之间的关系（1）同名基矢点积为1，异名基矢点积为0。（2）

垂直于所在面：

垂直于所在面：

垂直于所在面：立方晶系时：三、正倒空间之间的关系（3）倒空间的倒空间即为正空间（4）正倒空间的单胞体积互为倒数：（5）正倒空间中角度之间的关系：

（6）倒易点阵保留了正点阵的全部宏观对称性（7）正倒空间矢量的点积为一整数。（8）正空间的一族平行晶面，对应于倒空间中的一个直线点列。证明：设G为正空间中的一个点群操作为正空间矢量，G-1为G的逆操作，则对任一倒易矢量

因为点群操作是正交变换，操作前后空间中两点的距离不变，因此两个矢量的点积在某一点群的操作下应保持不变，所以有：这就说明了倒空间中同样存在着点群对称性。也为正空间矢量为倒易矢量。同理，也是倒易矢量有(n为整数)四、倒易矢量的基本性质证明，倒易量的方向垂直于正点阵中的晶面（hkl）（1）假设晶面（hkl），该晶面离原点最近，且h、k、l为互质的整数。三轴交点为A、B、C，面截距为：坐标轴单位矢量为：OA,OB,OC对应的矢量：则AC、CB、BA矢量分别为：同理（2）倒易矢量的大小等于（hkl）晶间距的倒数,即证明因为由性质1可知为晶面（hkl）法向矢量；其单位矢量为同时因该晶面又是距原点最近的晶面，所以，原点到该晶面的距离即为晶面间距由矢量关系可得晶面间距为该晶面的单位法向矢量与面截距交点矢量的点积：

当晶面不是距离原点最近的晶面，而是平行晶面中的一个，其干涉面指数为（HKL），H=nh，K=nk，L=nl，此时晶面的三个面截距分别为同可证：

注意：五、晶带定律与广义晶带定律

晶带定律广义晶带定律1）可以判断空间两个晶向或两个晶面是否相互垂直；2）可以判断某一晶向是否在某一晶面上（或平行于该晶面）；3）若已知晶带轴，可以判断哪些晶面属于该晶带；4）若已知两个晶带面为（h1k1l1)和(h2k2l2)，可由式（1-48）求出晶带轴；5）已知两个不平行但相交的晶向，可求出过这两个晶向的晶面；6）已知一个晶面及其面上的任一晶向，可求出在该面上与该晶向垂直的另一晶向；7）已知一晶面及其在面上的任一晶向，可求出过该晶向且垂直于该晶面的另一晶面。晶带定律的作用六、小结1）倒易矢量的端点表示正空间中的晶面；端点坐标由不带括号的三位数表示；2）倒易矢量的长度表示正空间中晶面间距的倒数；3）倒易矢量的方向表示