江苏省盐城市射阳中学2025届高三上学期8月月考数学试题（解析版）

数学学科阶段练习（二）时间：120分钟分值：150分命题人：审核人一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先解一元二次不等式和对数函数不等式求出集合，由并集定义求解即可.【详解】由可得：，所以，由可得：，所以，所以.故选：D2.若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，得，则化简后利用基本不等式可求出其最小值为4，从而得，解不等式可求得答案.【详解】由，，可得，所以，当且仅当，即时等号成立．所以，解得或，所以实数的取值范围是．故选：C．3.函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】对比选项中的图象，再分别计算和时，的取值情况，即可作出选择．【详解】当时，，，则，排除选项B和C；当时，，排除选项A，选项D符合题意.故选：D4.已知函数，记，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，判断函数的对称性及单调性，再比较大小即可.【详解】函数定义域为，，则函数的图象关于直线对称，而函数在上单调递增，函数在定义域上单调递增，于是函数在上单调递增，又，，则，所以.故选：B5.已知，是定义域为R的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据奇偶函数构造方程组求出的解析式，再根据题意得到在单调递增，分类讨论即可求解.【详解】由题意可得，因为是奇函数，是偶函数，所以，联立，解得，又因为对于任意的，都有成立，所以，所以成立，构造，所以由上述过程可得在单调递增，（1）若，则对称轴，解得；（2）若，则在单调递增，满足题意；（3）若，则对称轴恒成立；综上，.故选：D.6.函数与函数公切线的纵截距为（）A.1或0 B.-1或0 C.1或 D.-1或【答案】B【解析】【分析】先设切点分别为，并通过点斜式方程写出两条切线方程，根据公切线方程得，最后计算值即可.【详解】设切点分别为，,且导数为，所以切斜方程为既为，也为，所以，所以，所以，所以或，所以公切线的纵截距为或.故选：B.【点睛】本题考查求公切线问题，解题关键是分别在函数上设不同切点并求切线方程，根据两切线方程一样来求解公切线斜率.7.已知函数，则满足的x的取值范围为（）A.1,+∞ B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由奇偶函数的定义得出为偶函数，当时，令，由导数判断其单调性进而得出在上单调递增，根据抽象函数不等式解法求解即可．【详解】由题意得，的定义域为，，因为，所以为偶函数，当时，令，则，因为和在上单调递增，所以，所以在上单调递增，所以在上单调递增．由，得，所以，两边平方并整理，得，解得．故选：B．8.已知函数若恰有三个不同实根，则的取值范围是（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】对于嵌套函数的零点问题，一般需要用换元法，再结合函数图象进行讨论.【详解】令，则，①当时，的图象如图所示若恰有三个不同实根，则一定要有两个不同的根，所以，设的两根为且则一定有所以解得当时，如图所示，若恰有三个不同实根，则必须有，即解得②当时，或时，只有一个根，此时不能有三个不同实根.③当时，，、的图象如图所示，若有三个不同的实根则，即，此不等式无解综上所述：故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得θ分．9.下列说法正确是（）A.若，则B.命题“，”的否定是“，或”C.若，则函数的最小值为2D.当时，不等式恒成立，则的取值范围是【答案】BD【解析】【分析】特殊值法判断A,特称命题的否定判断B,应用基本不等式判断C,应用恒成立得出判别式即可求参判断D.【详解】对于A，当时，，故A错误；对于B，命题“”的否定是“或”，故B正确；对于C，则，当且仅当，此时无解，故取不到等号，所以，故C错误；对于D，当时，恒成立，当时，则，解得，综上所述，，故D正确.故选：BD.10.已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（）A. B.为奇函数C.在R上单调递减 D.当时，【答案】ABD【解析】【分析】A选项，赋值法得到，，；B选项，先赋值得到，令得，故B正确；C选项，令，且，当时，，故，从而在R上单调递增；D选项，先变形得到，又，故，由函数单调性得到D正确.【详解】A选项，中，令得，，又，故，令中，令得，令得，即，A正确；B选项，中，令得，解得，中，令得，故为奇函数，B正确；C选项，中，令，且，故，即，当时，，故，即，故在R上单调递增，C错误；D选项，，，又，故，又在R上单调递增，所以，D正确.故选：ABD11.已知定义在上的函数满足为偶函数，为奇函数，当时，，则下列说法正确的是（）A. B.函数为周期函数C.函数为上的偶函数 D.【答案】AB【解析】【分析】首先利用函数的奇偶性得到函数的对称轴和对称中心，结合关系式的变换得到函数周期判断B，利用特殊值代入判断A，根据导函数判断函数单调性结合关系式和偶函数定义判断C，根据函数的关系式和单调性判断D.【详解】因为为偶函数，，故函数图象关于直线对称，f2x+1为奇函数，1），函数图象关于对于B，，故2是函数的周期，函数为周期函数，故B正确；对于A，，令，故f1=0，又，故A正确；对于C，，当时，f'x>0，即函数在上递增，函数图象关于1,0对称，故函数在上递减，故函数在上递增，所以，故函数不是偶函数，故C错误；对于D，，故D错误，故选：AB.【点睛】抽象函数的判断一般会从函数奇偶性、周期性和对称性的定义推得相关的函数性质；三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数是定义域为的奇函数，且.若对任意的、且，都有成立，则不等式的解集是______.【答案】【解析】【分析】依题意不妨令，即可得，令，x∈-∞,0∪0,+∞，即可得到在0,+∞上单调递增，再由及奇偶性得到在0,+∞上的取值情况，从而得到【详解】因为对任意的、且，都有成立，不妨令，则，即，所以，令，x∈-则当且时，，所以在0,+∞上单调递增，又函数y=fx是定义域为R的奇函数且，则所以，所以当时，gx<0，当时，gx>0则当时，，当时，，又为奇函数，所以当时，，当时，，所以不等式的解集是.故答案为：13.函数的极小值点为，则实数的值为______.【答案】2【解析】【分析】对求导，得到，由题设可得或，再进行检验，即可求解.【详解】因为，得到，由题知，解得或，当时，，由，得到或，由，得到，则在上单调递增，在上单调递减，此时是极大值点，不合题意，当时，，由，得到或，由，，则f(x)在上单调递增，在上单调递减，此时是极小值点，符合题意，故答案为：.14.中国的5G技术领先世界，5G技术中的数学原理之一是香农公式：，它表示在被高斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪音功率N的大小，其中叫做信噪比．己知当x比较大时，，按照香农公式，由于技术提升，宽带W在原来的基础上增加20%，信噪比从1000提升至8000，则C大约增加了____________（附：）【答案】【解析】【分析】利用对数运算性质，由香农公式分别计算信噪比为1000和8000时C的比值即可求得结果.【详解】根据题意可设技术提升前最大信息传送速率，信道带宽，信噪比；提升后分别为，信道带宽，信噪比；且满足，；易知，所以；所以可得C大约增加了.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.回答下面两个题：（1）（2）【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）根据分数指数幂的运算公式，化简求值；（2）根据对数运算公式，化简求值.【小问1详解】原式．【小问2详解】原式.16.已知奇函数处取得极大值16.（1）求的解析式；（2）求经过坐标原点并与曲线相切的切线方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先由是奇函数求得，再结合在处取得极大值16构成方程组即可求得a和c，则解析式可求；（2）先设切点坐标为，再结合导数的几何意义即可求出切线方程.【小问1详解】因为是奇函数，所以f-x即，则，从而，.因为在处取得极大值16，所以解得经检验知此时在处取得极大值，故.【小问2详解】由（1）可设切点坐标为，则，切线方程.因为切线经过坐标原点，所以，解得，故经过坐标原点并与曲线y=fx17.已知函数．（1）若，在上恒成立，求实数a的取值范围；（2）若函数在区间上的值域是（m、），求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）由，在恒成立，采用分离参数求最值，即可求出实数a的取值范围；（2）因为函数在上为严格增函数，所以时左端点取得最小值，在右端点取得最大值，再借助一元二次函数根的分布列出不等式，从而求出实数a的取值范围．【小问1详解】由可得：，即，在上恒成立，又因为当时，，当且仅当，即时等号成立，所以.【小问2详解】因为函数在上为严格增函数，所以当时，；当时，，即m、n为方程的两个不同的正根，也就是方程有两个不同的正根，于是，解得．18.已知函数，，．（1）讨论：当时，的极值点的个数；（2）当时，，使得，求实数a的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）．【解析】【分析】（1）对函数求导，分别讨论当和导函数的正负，即可得到函数的单调性，从而求出极值点的个数；（2）对求导，确定其最小值，从而将问题转化成不等式成立，进而构造函数，求导确定其单调性，即可求解.【小问1详解】，，①当时，为增函数，因为时，；时，，所以有唯一的零点，当时，，当时，，所以有一个极小值点，无极大值点．②当时，令，则，令，得，当时，，单调递增；当时，，单调递减．所以，即，所以的极值点的个数为0．综上所述，当时，的极值点个数为1，当时，的极值点个数为0．【小问2详解】，由，得，由，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以在上单调递减，在上单调递增，所以，因为当时，，使得，所以只需成立，即不等式成立．令，则，则，则在上恒成立，故在上单调递增，又，所以，故实数a的取值范围为．【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用导数求出，从而转化为求出不等式成立．19.给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．已知函数．（1）若是函数的“拐点”，求a的值和函数的单调区间；（2）若函数的“拐点”在y轴右侧，讨论的零点个数．【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为和；（2）答案见解析【解析】【分析】（1