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文档简介
2025届高平市第一中学高三年级第二学期第一次联合测试试卷数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若非零实数、满足,则下列式子一定正确的是()A. B.C. D.2.如图,四边形为正方形,延长至,使得,点在线段上运动.设,则的取值范围是()A. B. C. D.3.半正多面体(semiregularsolid)亦称“阿基米德多面体”,是由边数不全相同的正多边形为面的多面体,体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体,是由正方体切截而成的,它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示,图中网格是边长为1的正方形,粗线部分是某二十四等边体的三视图,则该几何体的体积为()A. B. C. D.4.双曲线:(),左焦点到渐近线的距离为2,则双曲线的渐近线方程为()A. B. C. D.5.我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为:“今有十等人,每等一人,宫赐金以等次差降之,上三人先入,得金四斤,持出,下三人后入得金三斤,持出,中间四人未到者,亦依次更给,问各得金几何?”则在该问题中,等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金()A.多1斤 B.少1斤 C.多斤 D.少斤6.复数满足,则()A. B. C. D.7.已知函数,给出下列四个结论:①函数的值域是;②函数为奇函数;③函数在区间单调递减;④若对任意,都有成立,则的最小值为;其中正确结论的个数是()A. B. C. D.8.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图所示,圆柱表面上的点在正视图上的对应点为,圆柱表面上的点在左视图上的对应点为,则在此圆柱侧面上,从到的路径中,最短路径的长度为()A. B. C. D.29.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A. B.C. D.10.已知平面平面,且是正方形,在正方形内部有一点,满足与平面所成的角相等,则点的轨迹长度为()A. B.16 C. D.11.已知双曲线,为坐标原点,、为其左、右焦点,点在的渐近线上,,且,则该双曲线的渐近线方程为()A. B. C. D.12.已知函数是上的偶函数,是的奇函数,且,则的值为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.某部队在训练之余,由同一场地训练的甲、乙、丙三队各出三人,组成小方阵开展游戏,则来自同一队的战士既不在同一行,也不在同一列的概率为______.14.如图所示,直角坐标系中网格小正方形的边长为1,若向量、、满足,则实数的值为_______.15.已知函数,若关于x的方程有且只有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围是_______________.16.已知双曲线的左右焦点分别关于两渐近线对称点重合,则双曲线的离心率为_____三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)分别为的内角的对边.已知.(1)若,求;(2)已知,当的面积取得最大值时,求的周长.18.(12分)随着电子阅读的普及,传统纸质媒体遭受到了强烈的冲击.某杂志社近9年来的纸质广告收入如下表所示:根据这9年的数据,对和作线性相关性检验,求得样本相关系数的绝对值为0.243;根据后5年的数据,对和作线性相关性检验,求得样本相关系数的绝对值为0.984.(1)如果要用线性回归方程预测该杂志社2019年的纸质广告收入,现在有两个方案,方案一:选取这9年数据进行预测,方案二:选取后5年数据进行预测.从实际生活背景以及线性相关性检验的角度分析,你觉得哪个方案更合适?附:相关性检验的临界值表:(2)某购物网站同时销售某本畅销书籍的纸质版本和电子书,据统计,在该网站购买该书籍的大量读者中,只购买电子书的读者比例为,纸质版本和电子书同时购买的读者比例为,现用此统计结果作为概率,若从上述读者中随机调查了3位,求购买电子书人数多于只购买纸质版本人数的概率.19.(12分)(1)已知数列满足:,且(为非零常数,),求数列的前项和;(2)已知数列满足:(ⅰ)对任意的;(ⅱ)对任意的,,且.①若,求数列是等比数列的充要条件.②求证:数列是等比数列,其中.20.(12分)在中,角,,所对的边分别为,,,已知,,角为锐角,的面积为.(1)求角的大小;(2)求的值.21.(12分)已知函数.(1)若关于的不等式的整数解有且仅有一个值,当时,求不等式的解集;(2)已知,若,使得成立,求实数的取值范围.22.(10分)已知(1)当时,判断函数的极值点的个数;(2)记,若存在实数,使直线与函数的图象交于不同的两点,求证:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】
令,则,,将指数式化成对数式得、后,然后取绝对值作差比较可得.【详解】令,则,,,,,因此,.故选:C.本题考查了利用作差法比较大小,同时也考查了指数式与对数式的转化,考查推理能力,属于中等题.2.C【解析】
以为坐标原点,以分别为x轴,y轴建立直角坐标系,利用向量的坐标运算计算即可解决.【详解】以为坐标原点建立如图所示的直角坐标系,不妨设正方形的边长为1,则,,设,则,所以,且,故.故选:C.本题考查利用向量的坐标运算求变量的取值范围,考查学生的基本计算能力,本题的关键是建立适当的直角坐标系,是一道基础题.3.D【解析】
根据三视图作出该二十四等边体如下图所示,求出该几何体的棱长,可以将该几何体看作是相应的正方体沿各棱的中点截去8个三棱锥所得到的,可求出其体积.【详解】如下图所示,将该二十四等边体的直观图置于棱长为2的正方体中,由三视图可知,该几何体的棱长为,它是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的,该几何体的体积为,故选:D.本题考查三视图,几何体的体积,对于二十四等边体比较好的处理方式是由正方体各棱的中点得到,属于中档题.4.B【解析】
首先求得双曲线的一条渐近线方程,再利用左焦点到渐近线的距离为2,列方程即可求出,进而求出渐近线的方程.【详解】设左焦点为,一条渐近线的方程为,由左焦点到渐近线的距离为2,可得,所以渐近线方程为,即为,故选:B本题考查双曲线的渐近线的方程,考查了点到直线的距离公式,属于中档题.5.C【解析】设这十等人所得黄金的重量从大到小依次组成等差数列则由等差数列的性质得,故选C6.C【解析】
利用复数模与除法运算即可得到结果.【详解】解:,故选:C本题考查复数除法运算,考查复数的模,考查计算能力,属于基础题.7.C【解析】
化的解析式为可判断①,求出的解析式可判断②,由得,结合正弦函数得图象即可判断③,由得可判断④.【详解】由题意,,所以,故①正确;为偶函数,故②错误;当时,,单调递减,故③正确;若对任意,都有成立,则为最小值点,为最大值点,则的最小值为,故④正确.故选:C.本题考查三角函数的综合运用,涉及到函数的值域、函数单调性、函数奇偶性及函数最值等内容,是一道较为综合的问题.8.B【解析】
首先根据题中所给的三视图,得到点M和点N在圆柱上所处的位置,将圆柱的侧面展开图平铺,点M、N在其四分之一的矩形的对角线的端点处,根据平面上两点间直线段最短,利用勾股定理,求得结果.【详解】根据圆柱的三视图以及其本身的特征,将圆柱的侧面展开图平铺,可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽,圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处,所以所求的最短路径的长度为,故选B.点睛:该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题,在解题的过程中,需要明确两个点在几何体上所处的位置,再利用平面上两点间直线段最短,所以处理方法就是将面切开平铺,利用平面图形的相关特征求得结果.9.A【解析】
根据题意,可得几何体,利用体积计算即可.【详解】由题意,该几何体如图所示:该几何体的体积.故选:A.本题考查了常见几何体的三视图和体积计算,属于基础题.10.C【解析】
根据与平面所成的角相等,判断出,建立平面直角坐标系,求得点的轨迹方程,由此求得点的轨迹长度.【详解】由于平面平面,且交线为,,所以平面,平面.所以和分别是直线与平面所成的角,所以,所以,即,所以.以为原点建立平面直角坐标系如下图所示,则,,设(点在第一象限内),由得,即,化简得,由于点在第一象限内,所以点的轨迹是以为圆心,半径为的圆在第一象限的部分.令代入原的方程,解得,故,由于,所以,所以点的轨迹长度为.故选:C本小题主要考查线面角的概念和运用,考查动点轨迹方程的求法,考查空间想象能力和逻辑推理能力,考查数形结合的数学思想方法,属于难题.11.D【解析】
根据,先确定出的长度,然后利用双曲线定义将转化为的关系式,化简后可得到的值,即可求渐近线方程.【详解】如图所示:因为,所以,又因为,所以,所以,所以,所以,所以,所以,所以渐近线方程为.故选:D.本题考查根据双曲线中的长度关系求解渐近线方程,难度一般.注意双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚轴长度的一半.12.B【解析】
根据函数的奇偶性及题设中关于与关系,转换成关于的关系式,通过变形求解出的周期,进而算出.【详解】为上的奇函数,,而函数是上的偶函数,,,故为周期函数,且周期为故选:B本题主要考查了函数的奇偶性,函数的周期性的应用,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
分两步进行:首先,先排第一行,再排第二行,最后排第三行;其次,对每一行选人;最后,利用计算出概率即可.【详解】首先,第一行队伍的排法有种;第二行队伍的排法有2种;第三行队伍的排法有1种;然后,第一行的每个位置的人员安排有种;第二行的每个位置的人员安排有种;第三行的每个位置的人员安排有种.所以来自同一队的战士既不在同一行,也不在同一列的概率.故答案为:.本题考查了分步计数原理,排列与组合知识,考查了转化能力,属于中档题.14.【解析】
根据图示分析出、、的坐标表示,然后根据坐标形式下向量的数量积为零计算出的取值.【详解】由图可知:,所以,又因为,所以,所以.故答案为:.本题考查向量的坐标表示以及坐标形式下向量的数量积运算,难度较易.已知,若,则有.15.【解析】
画出函数的图象,再画的图象,求出一个交点时的的值,然后平行移动可得有两个交点时的的范围.【详解】函数的图象如图所示:因为方程有且只有两个不相等的实数根,所以图象与直线有且只有两个交点即可,当过点时两个函数有一个交点,即时,与函数有一个交点,由图象可知,直线向下平移后有两个交点,可得,故答案为:.本题主要考查了方程的跟与函数的图象交点的转化,数形结合的思想,属于中档题.16.【解析】
双曲线的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合,可得一条渐近线的斜率为1,即,即可求出双曲线的离心率.【详解】解:双曲线的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合,一条渐近线的斜率为1,即,,,故答案为:.本题考查双曲线的离心率,考查学生的计算能力,确定一条渐近线的斜率为1是关键,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)(2)【解析】
(1)根据正弦定理,将,化角为边,即可求出,再利用正弦定理即可求出;(2)根据,选择,所以当的面积取得最大值时,最大,结合(1)中条件,即可求出最大时,对应的的值,再根据余弦定理求出边,进而得到的周长.【详解】(1)由,得,即.因为,所以.由,得.(2)因为,所以,当且仅当时,等号成立.因为的面积.所以当时,的面积取得最大值,此时,则,所以的周长为.本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形,涉及到基本不等式的应用,意在考查学生的转化能力和数学运算能力.18.(1)选取方案二更合适;(2)【解析】
(1)可以预见,2019年的纸质广告收入会接着下跌,前四年的增长趋势已经不能作为预测后续数据的依据,而后5年的数据得到的相关系数的绝对值,所以有的把握认为与具有线性相关关系,从而可得结论;(2)求得购买电子书的概率为,只购买纸质书的概率为,购买电子书人数多于只购买纸质书人数有两种情况:3人购买电子书,2人购买电子书一人只购买纸质书,由此能求出购买电子书人数多于只购买纸质版本人数的概率.【详解】(1)选取方案二更合适,理由如下:①题中介绍了,随着电子阅读的普及,传统纸媒受到了强烈的冲击,从表格中的数据中可以看出从2014年开始,广告收入呈现逐年下降的趋势,可以预见,2019年的纸质广告收入会接着下跌,前四年的增长趋势已经不能作为预测后续数据的依据.②相关系数越接近1,线性相关性越强,因为根据9年的数据得到的相关系数的绝对值,我们没有理由认为与具有线性相关关系;而后5年的数据得到的相关系数的绝对值,所以有的把握认为与具有线性相关关系.(2)因为在该网站购买该书籍的大量读者中,只购买电子书的读者比例为,纸质版本和电子书同时购买的读者比例为,所以从该网站购买该书籍的大量读者中任取一位,购买电子书的概率为,只购买纸质书的概率为,购买电子书人数多于只购买纸质书人数有两种情况:3人购买电子书,2人购买电子书一人只购买纸质书.概率为:.本题主要考查最优方案的选择,考查了相关关系的定义以及互斥事件的概率与独立事件概率公式的应用,考查阅读能力与运算求解能力,属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向,这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识,解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题,只有吃透题意,才能将实际问题转化为数学模型进行解答.19.(1);(2)①;②证明见解析.【解析】
(1)由条件可得,结合等差数列的定义和通项公式、求和公式,即可得到所求;(2)①若,可令,运用已知条件和等比数列的性质,即可得到所求充要条件;②当,,,由等比数列的定义和不等式的性质,化简变形,即可得到所求结论.【详解】解:(1),,且为非零常数,,,可得,可得数列的首项为,公差为的等差数列,可得,前项和为;(2)①若,可令,,且,即,,,,对任意的,,可得,可得,,数列是等比数列,则,,可得,,即,又,即有,即,数列是等比数列的充要条件为;②证明:对任意的,,,,,当,,,可得,即以为首项、为公比的等比数列;同理可得以为首项、为公比的等比数列;对任意的,,可得,即有,所以对,,,可得,,即且,则,可令,故数列,,,,,,,,,是以为首项,为公比的等比数列,其中.本题考查新定义的理解和运用,考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用,考查分类讨论思想方法和推理、运算能力,属于难题.20.(1);(2)7.【解析】分析:(1)由三角形面积公式和已知条件求得sinA的值,进而求得A;(2)利用余弦
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