第一章集合与常用逻辑用语全章总结提升课件高一上学期数学人教A版

第1章集合与常用逻辑用语人教A版

数学必修第一册知识网络·整合构建专题突破·素养提升专题一集合的基本概念与集合的关系1.理解集合的有关概念,元素与集合的表示方法、元素与集合之间的关系,能在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合,能在集合不同的表示方法之间进行转化.2.集合间的基本关系包括包含、真包含、相等.能从实例中抽象并识别出子集、真子集、空集的概念,能根据集合间的关系,会利用数形结合和分类讨论的思想求参数的值或范围.3.掌握集合的基本概念与集合间的基本关系,提升数学抽象、逻辑推理和直观想象素养.【例1】

(1)已知集合A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},若1∈A,求实数a的取值集合.解

因为1∈A,所以①若a+2=1,解得a=-1,此时集合为{1,0,1},元素重复,所以不成立,即a≠-1.②若(a+1)2=1,解得a=0或a=-2,当a=0时,集合为{2,1,3},满足条件,即a=0成立.当a=-2时,集合为{0,1,1},元素重复,所以不成立,即a≠-2.③若a2+3a+3=1,解得a=-1或a=-2,由①②知都不成立.所以满足条件的实数a的取值集合为{0}.(2)集合A={x|(a-1)x2-2x+3=0}.①若A是⌀,求实数a的取值范围.②是否存在实数a,使得集合A有且仅有两个子集?若存在,求出实数a的值及对应的子集;若不存在,说明理由.解

①若A=⌀,即方程(a-1)x2-2x+3=0没有实数根,当a=1时,方程有实数根不合题意,则a≠1,当二次方程没有实数根时,判别式Δ=4-12(a-1)<0,规律方法

1.解决集合的概念问题应关注两点研究一个集合,首先要看集合中的代表元素,然后再看元素的限制条件;对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合是否满足元素的互异性.2.处理集合间关系问题的关键点已知两集合间的关系求参数时,关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系,进而转化为参数满足的关系.常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析,更要注意“空集”这一“陷阱”,尤其是集合中含有字母参数时,要分类讨论,讨论时要不重不漏.变式训练1(1)[2024重庆万州高一期中]已知a∈R,b∈R,若集合

={a2,a-b,0},则a2023+b2024的值为(

)

A.-2 B.-1 C.1

D.2B∴b=0,a2=1,且a2≠a-b=a,解得a=-1,∴a2

023+b2

024=-1.故选B.(2)已知M={x|x2-2x-3=0},N={x|x2+ax+1=0,a∈R},且N⫋M,则a的取值范围为

.

{a|-2<a≤2}解析

由题意,集合M={x|x2-2x-3=0}={-1,3},当N=⌀,即Δ=a2-4<0时,解得-2<a<2,此时满足N⫋M.当N≠⌀时,要使得N⫋M,则-1∈N或3∈N,当-1∈N时,可得(-1)2-a+1=0,即a=2,此时N={-1},满足N⫋M;专题二集合的综合运算集合的运算有交、并、补这三种常见的运算,它是集合中的核心内容.在进行集合的运算时,往往由于运算能力差或考虑不全面而出错,此时,数轴分析(或Venn图)是个好帮手,能将复杂问题直观化.在具体应用时要注意检验端点值是否符合题意,以免增解或漏解.【例2】

已知集合A={x|x>3a+1},集合B={x|x<2或x>3}.(1)当a=3时,求A∩B;(2)若A∪B=B,求实数a的取值范围.解

(1)当a=3时,集合A={x|x>10},集合B={x|x<2或x>3},所以A∩B={x|x>10}.规律方法1.求解集合运算问题应该明确集合的类型以及集合的表示方法,按照运算法则进行运算.2.注意运算的步骤:如果含有补集,先求补集.3.如果是三个集合之间的交并运算,按照从左到右的顺序逐次求解.4.对于连续的数集运算可以借助数轴表达集合间的关系,但操作时要规范,如区间端点的顺序、虚实不能标反.变式训练2(1)[2024黑龙江齐齐哈尔高三校联考]已知集合A,B满足A={x|x>1},B={x|x≤a-1},若A∪B=R,则实数a的取值范围为(

)A.{a|a≤1} B.{a|a≤2}C.{a|a≥1} D.{a|a≥2}D解析

因为A∪B=R,所以a-1≥1,解得a≥2.故选D.(2)设集合A={x|x<2或x≥4},B={x|x<a},若(∁RA)∩B≠⌀,则a的取值范围是(

)A.{a|a<2} B.{a|a>2}C.{a|a≤4} D.{a|a≥4}B解析

由集合A={x|x<2或x≥4},则∁RA={x|2≤x<4}.又集合B={x|x<a},且(∁RA)∩B≠⌀,则a>2.故选B.(3)[2024广东揭阳高一校考期中]设集合U={x|x≤5},A={x|1≤x≤2},B={x|-1≤x≤4}.求:①A∩B;②∁U(A∪B);③(∁UA)∩(∁UB).解

①由集合交集的定义,A∩B={x|1≤x≤2}.②由集合并集和补集的定义,A∪B={x|-1≤x≤4},∁U(A∪B)={x|x<-1或4<x≤5}.③由集合补集和交集的定义,∁UA={x|x<1或2<x≤5},∁UB={x|x<-1或4<x≤5},(∁UA)∩(∁UB)={x|x<-1或4<x≤5}.专题三充分条件、必要条件与充要条件1.若p⇒q,且q不能推出p,则p是q的充分不必要条件,同时q是p的必要不充分条件;若p⇔q,则p是q的充要条件,同时q是p的充要条件.2.掌握充要条件的判断和证明,有利于提升逻辑推理数学素养.【例3】

已知集合A={x|-1<x<3},集合B={x|-1<x<m+1}.(1)若x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件,求实数m的取值范围;(2)若x∈A是x∈B成立的充要条件,求实数m的值.解

(1)由题A⫋B,所以m+1>3,即m>2.所以实数m的取值范围为{m|m>2}.(2)因为x∈A是x∈B成立的充要条件,所以A=B.所以m+1=3,即m=2.所以实数m的值为2.规律方法根据一个条件是另一个条件的充分条件、必要条件、充要条件确定某个参数的取值范围时,首先弄清楚条件和结论,再利用集合间的包含关系进行讨论.若A={x|x满足条件甲},B={x|x满足条件乙}.当A⊆B时,甲为乙的充分条件;当B⊆A时,甲为乙的必要条件;当且仅当A=B时,甲为乙的充要条件.变式训练3

是否存在实数m,使2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件?

解

存在.理由如下,欲使2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件,故存在实数m≥2,使2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件.

专题四全称量词命题与存在量词命题1.全称量词命题的否定一定是存在量词命题,存在量词命题的否定一定是全称量词命题.含有量词的命题否定时,首先改变量词,把全称量词改为存在量词,把存在量词改为全称量词,然后把判断词加以否定.2.通过含有量词的命题的否定及利用命题的真假求参数范围等,主要培养逻辑推理和数学运算素养.【例4】

(1)命题“∀x∈R,x2-2x+1≥0”的否定是(

)A.∃x∈R,x2-2x+1≤0 B.∃x∈R,x2-2x+1≥0C.∃x∈R,x2-2x+1<0 D.∀x∈R,x2-2x+1<0C解析

∵命题“∀x∈R,x2-2x+1≥0”为全称量词命题,∴命题的否定为“∃x∈R,x2-2x+1<0”.故选C.

(2)已知命题p:∃x∈R,x2+2x+2-a=0为真命题,则实数a的值不能是(

)A.1 B.2

C.3

D.-3D解析

因为命题p:∃x∈R,x2+2x+2-a=0为真命题,所以方程x2+2x+2-a=0有实根,所以Δ=4-4(2-a)≥0,解得a≥1,结合选项可得实数a的值不能是-3,故选D.规律方法全称量词命题、存在量词命题的真假判断(1)要判定一个全称量词命题“∀x∈M,p(x)”为真,必须对限定集合M中每一个x验证p(x)成立,一般用推理的方法加以证明;要判定一个全称量词命题为假,只需举出一个反例即可.(2)要判定一个存在量词命题“∃x∈M,p(x)”为真,只要在限定集合M中,找到一个x,使p(x)成立即可;否则,这一存在量词命题为假.C(2)已知命题p:∀x∈[1,2],x2-a≥0,命题q:∀x∈R,x2+2ax+2-a≠0,若命题q的否定和命题p都是真命题,则实数a的取值范围是

.

{a|a≤-2或a=1}

解析

当命题p:∀x∈[1,2],x2-a≥0为真时,a≤1;当命题q:∀x∈R,x2+2ax+2-a≠0为真时,Δ=4a2-4(2-a)<0,即-2<a<1.因为命题p和¬q都是真命题,所以a≤1且a≥1或a≤-2.专题五化归与转化思想在解题中的应用【例5】

设全集为R,集合A={x|a≤x≤a+3},∁RB={x|-1≤x≤5}.(1)若A∩B≠⌀,求a的取值范围;(2)若A∩B≠A,求a的取值范围.解

因为全集为R,∁RB={x|-1≤x≤5},所以B={x|x<-1,或x>5}.所以当A∩B≠⌀时,a的取值范围是{a|a<-1,或a>2}.(2)假设A∩B=A,则A⊆B,结合数轴得a+3<-1或a>5,即a<-4或a>5.所以当A∩B≠A时,a的取值范围是{a|-4≤a≤5}.规律方法若所求问题的已知条件含有“不相等”或“不包含”等不易直接求解或者较难分析的问题,可利用“正难则反”的思想转化.“正难则反”策略运用的是补集思想,即已知全集U,求子集A,若直接求A困难,可先求∁UA,再由∁U(∁UA)=A求A.变式训练5

已知集合A={y|y>a+3或y<a},B={y|2≤y≤4},若A∩B≠⌀,求实数a的取值范围.解

A={y|y>a+3或y<a},B={y|2≤y≤4},我们不妨先考虑当A∩B=⌀时a的范围.如图.故A∩B=⌀时a的范围为{a|1≤a≤2}.而A∩B≠⌀时a的范围显然是其补集,从而,易知所求范围为{a|a<1或a>2}.易错易混·衔接高考1.已知集合M={x∈N*|-1≤x≤2},则下列关系中,正确的是(

)A.0∈M

B.⌀∈MC.{0,1}⊆M D.{1,2}⊆MD解析

因为集合M={x∈N*|-1≤x≤2}={1,2},对于A,因为0∉M={1,2},故选项A错误;对于B,⌀是一个集合,且⌀⊆M,故选项B错误;对于C,因为集合M={1,2},所以集合{0,1}与集合M不存在包含关系,故选项C错误;对于D,因为集合M={1,2},任何集合都是它本身的子集,所以{1,2}⊆M,故选项D正确,故选D.2.若命题p:∀x<0,2023x-x3+2<0,则命题p的否定为(

)A.∀x≥0,2023x-x3+2<0B.∀x≥0,2023x-x3+2≥0C.∃x≥0,2023x-x3+2<0D.∃x<0,2023x-x3+2≥0D解析

全称量词命题的否定,先改写量词,再否定结论,可得命题p的否定为“∃x<0,2

023x-x3+2≥0”.故选D.3.(多选题)已知集合