2021-2022学年河南省郑州市高二上学期期末考试数学（文）试题

20212022学年河南省郑州市高二上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．设a，b，c为非零实数，且，则（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】对于A、B、D：取特殊值否定结论；对于C：利用作差法证明.【详解】对于A：取符合已知条件，但是不成立.故A错误；对于B：取符合已知条件，但是，所以不成立.故B错误；对于C：因为，所以.故C正确；对于D：取符合已知条件，但是，所以不成立.故D错误；故选：C.2．在等差数列中，，则（

）．A．9 B．6 C．3 D．1【答案】A【分析】直接由等差中项得到结果.【详解】由得.故选：A.3．椭圆的长轴长是（

）．A．3 B．6 C．9 D．4【答案】B【分析】根据椭圆方程有，即可确定长轴长.【详解】由椭圆方程知：，故长轴长为6.故选：B4．中，三边长之比为，则为（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不存在这样的三角形【答案】C【分析】利用余弦定理可求得最大角的余弦值小于零，由此可知最大角为钝角.【详解】设三边分别为，，，中的最大角为，，为钝角，为钝角三角形.故选：C.5．若函数的导函数在区间上是减函数，则函数在区间上的图象可能是（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】根据导数概念和几何意义判断【详解】由题意得，图象上某点处的切线斜率随增大而减小，满足要求的只有A故选：A6．设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为（

）．A．3 B．1 C．0 D．﹣1【答案】C【分析】线性规划问题，作出可行域后，根据几何意义求解【详解】作出可行域如图所示，，数形结合知过时取最小值故选：C7．2021年11月，郑州二七罢工纪念塔入选全国职工爱国主义教育基地名单．某数学建模小组为测量塔的高度，获得了以下数据：甲同学在二七广场A地测得纪念塔顶D的仰角为45°，乙同学在二七广场B地测得纪念塔顶D的仰角为30°，塔底为C，（A，B，C在同一水平面上，平面ABC），测得，，则纪念塔的高CD为（

）．A．40m B．63mC．m D．m【答案】B【分析】设，先表示出，再利用余弦定理即可求解.【详解】如图所示，，设塔高为，因为平面ABC，所以，所以，又，即，解得.故选：B.8．已知各项都为正数的等比数列，其公比为q，前n项和为，满足，且是与的等差中项，则下列选项正确的是（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意求得，即可判断AB，再根据等比数列的通项公式即可判断C；再根据等比数列前项和公式即可判断D.【详解】解：因为各项都为正数的等比数列，，所以，又因是与的等差中项，所以，即，解得或（舍去），故B错误；所以，故A错误；所以，故C错误；所以，故D正确.故选：D.9．设的内角的对边分别为的面积，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角形面积公式、二倍角正弦公式有，再由三角形内角的性质及余弦定理化简求即可.【详解】由，∴，在中，，∴，解得.故选：A.10．已知命题，；命题，，那么下列命题为假命题的是（

）．A． B．C． D．【答案】B【分析】由题设命题的描述判断、的真假，再判断其复合命题的真假即可.【详解】对于命题，仅当时，故为假命题；对于命题，由且开口向上，故为真命题；所以为真命题，为假命题，综上，为真，为假，为真，为真.故选：B11．下列说法错误的是（

）．A．命题“，”的否定是“，”B．若“”是“或”的充分不必要条件，则实数m的最大值为2021C．“”是“函数在内有零点”的必要不充分条件D．已知，且，则的最小值为9【答案】C【分析】对于A：用存在量词否定全称命题，直接判断；对于B：根据充分不必要条件直接判断；对于C：判断出“”是“函数在内有零点”的充分不必要条件，即可判断；对于D：利用基本不等式求最值.【详解】对于A：用存在量词否定全称命题，所以命题“，”的否定是“，”.故A正确；对于B：若“”是“或”的充分不必要条件，所以，即实数m的最大值为2021.故B正确；对于C：“函数在内有零点”，则，解得：或，所以“”是“函数在内有零点”的充分不必要条件.故C错误；对于D：已知，且，所以（当且仅当，即时取等号）.故D正确.故选：C12．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题意可知，对任意的恒成立，可得出对任意的恒成立，利用基本不等式可求得实数的取值范围.【详解】因为，则，由题意可知，对任意的恒成立，所以，对任意的恒成立，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，所以，.故选：A.二、填空题13．函数的图象在点处的切线方程为______．【答案】【分析】求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.【详解】因为，则，所以，，，故所求切线方程为，即.故答案为：.14．已知抛物线的焦点为，点在上，且，则______．【答案】【分析】由抛物线的焦半径公式可求得的值.【详解】抛物线的准线方程为，由抛物线的焦半径公式可得，解得.故答案为：.15．已知数列，点在函数的图象上，则数列的前10项和是______．【答案】【分析】将点代入可得，从而得，再由裂项相消法可求解.【详解】由题意有，所以，所以数列的前10项和为：.故答案为：16．若点P为双曲线上任意一点，则P满足性质：点P到右焦点的距离与它到直线的距离之比为离心率e，若C的右支上存在点Q，使得Q到左焦点的距离等于它到直线的距离的6倍，则双曲线的离心率的取值范围是______．【答案】【分析】若Q到的距离为有，由题设有，结合双曲线离心率的性质，即可求离心率的范围.【详解】由题意，，即，整理有，所以或，若Q到的距离为，则Q到左、右焦点的距离分别为、，又Q在C的右支上，所以，则，又，综上，双曲线的离心率的取值范围是.故答案为：【点睛】关键点点睛：若Q到的距离为，根据给定性质有Q到左、右焦点的距离分别为、，再由双曲线性质及已知条件列不等式组求离心率范围.三、解答题17．△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．(1)求角B的大小；(2)若△为锐角三角形，且，，求△的面积．【答案】(1)或；(2).【分析】（1）根据正弦定理边角关系可得，再由三角形内角的性质求其大小即可.（2）由（1）及题设有，应用余弦定理求得、，最后利用三角形面积公式求△的面积．【详解】(1)由正弦定理得：，又，所以，又B为△的一个内角，则，所以或；(2)由△为锐角三角形，即，又，，由余弦定理，，得（舍去负值），则．∴．18．已知命题p：点在椭圆内；命题q：函数在R上单调递增．(1)若p为真命题，求m的取值范围；(2)若为假命题，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意列不等式组求解（2）判断的真假性后分别求解【详解】(1)由题意得，解得且．故m的取值范围是(2)∵为假命题，∴p和q都是真命题，对于命题q，由题意得：恒成立，∴，∴，∴，解得．故m的取值范围是19．设数列的前n项和为，且，数列．(1)求和的通项公式；(2)设数列的前n项和为，证明：．【答案】(1)，(2)证明见解析【分析】（1）根据可得，从而可得；（2）利用错位相减法可得，从而可得，又，即可证明不等式成立.【详解】(1)解：∵，∴当时，，当时，，∴，经检验，也符合，∴，；(2)证明：因为，∴，∴∴，又∵，∴，所以．20．已知函数．(1)当时，求的单调区间与极值；(2)若不等式在区间上恒成立，求k的取值范围．【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减，极大值为﹣1，无极小值(2)【分析】（1）利用导数求出单调区间，即可求出极值；（2）令，利用分离参数法得到，利用导数求出的最大值即可求解.【详解】(1)当时，，定义域为，．当时，，单调递增；当时，，单调递减．∴当时，取得极大值﹣1．所以在上单调递增，在上单调递减．极大值为﹣1，无极小值．(2)由，得，令，只需.求导得，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，∴当时，取得最大值，∴k的取值范围为．21．球形物体天然萌，某食品厂沿袭老字号传统，制造并使用球形玻璃瓶用于售卖酸梅汤，其中瓶子的制造成本c（分）与瓶子的半径r（cm）的平方成正比，且当cm时，制造成本c为3.2π分，已知每出售1mL的酸梅汤，可获得0.2分，且制作的瓶子的最大半径为6cm．(1)写出每瓶酸梅汤的利润y与r的关系式（提示：）；(2)瓶子半径多大时，每瓶酸梅汤的利润最大，最大为多少？（结果用含π的式子表示）．【答案】(1)，(2)当【分析】（1）直接由条件写出关系式即可；（2）直接求导确定单调性后，求出最大值即可.【详解】(1)设瓶子的制造成本c与瓶子的半径r的平方成正比的比例系数等于k，则瓶子的制造成本，由题意，当时，．∴，即瓶子的制造成本．∴每瓶酸梅汤的利润是，∴每瓶酸梅汤的利润关于r的函数关系式为：，．(2)由（1）知，则，令，则，当时，；当时，．∴函数在上单调递减，在上单调递增，∴当时，每瓶酸梅汤的利润最大，最大利润为28.8π.22．从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点，A是椭圆C与x轴正半轴的交点，直线AP的斜率为，若椭圆长轴长为8．(1)求椭圆C的方程；(2)点Q为椭圆上任意一点，求面积的最大值．【答案】(1)(2)18【分析】（1）易得，，进而有，再结合已知即可求解；（2）由（1）易得直线AP的方程为，，设与直线AP平行的直线方程为，由题意，当该直线与椭圆相切时，记与AP距离比较远的直线与椭圆的切点为Q，此时的面积取得最大值，将代入椭圆方程，联立即可得与AP距