内积空间与等距变换 第二章

内积空间与等距变换第二章第二章内积空间与等距变换本章将对一般的线性空间引进内积运算，从而导出内积空间，引入向量之间度量关系，如长度、距离等，并建立标准正交基。第一节内积空间的基本概念一.内积空间的定义定义

设V为数域P

（P为R或C）上的线性空间,若按照某种对应法则,使得V中任两个元素都可以确定一实数,且这个对应法则满足：对,有（1）共轭对称性：（2）齐次性：（3）可加性：（4）正定性：，当且仅当时，.则称该对应法则为V上的一个内积,实数称为与的内积.定义了内积的线性空间称为内积空间.

当P=R时，定义了内积的实线性空间V称为欧几里德空间（简称欧氏空间），也称实内积空间. 当P=C时，定义了内积的复线性空间V称为酉空间，也称复内积空间.例1 在实线性空间中，对任意两个向量，，定义

易证这样定义的满足内积的4个条件,所以是的一种内积,称为的标准内积。例3对，定义内积为用定积分的性质可证明这样定义的是的内积。例2 对,定义

可验证这样定义的也是的内积。定理2.1 （Cauchy-Schwarz不等式）设V为内积空间，对，有

其中等号当且仅当与线性相关时成立注：把Cauchy-Schwarz不等式应用到例1的中，得把Cauchy-Schwarz不等式应用到例3的中，得分析中著名的不等式二.向量的长度与夹角定义 在欧氏空间V中,对，称非负实数为向量的长度（或范数、模）,记为.当时，称为单位向量。向量的长度具有下列性质：1）非负性：，；2）齐次性：，，；3）三角不等式：.对,是与同方向的单位向量，由求的过程称为把向量单位化。定义 对欧氏空间V中任意非零元素,规定为非零元素与的夹角。若，则称向量与正交，记为.由定义可知，与几何向量一样有（1），有；（2），若；（3）若是非零元素，则与的夹角为.例在C[a,b]中，由例3中内积的定义,证明三角函数组是两两正交的，但它们不是单位向量。第二节标准正交基与Schmidt正交化一.标准正交基定义 在内积空间V中，一组两两正交的非零向量称为V中的正交向量组。定理2.2 若是正交向量组，则线性无关。定义 设是内积空间V的一组基，且它们两两正交,则称为V的一组正交基。当正交基都是单位向量时，则称为这组正交基为标准正交基。由定义知，是内积空间的标准正交基的充要条件是定理2.3 设是内积空间V的一组标准正交基，有下列结论成立：1）对，设向量在这组基下的坐标为，则；2）若在这组基下的坐标为X和Y,则；3）对，设向量在这组基下的坐标为，则.此定理说明在标准正交基下,向量的坐标都可以用内积简单地表示出来,且向量的内积和长度的计算都可以归结为它们对应坐标的内积和长度的计算。二.Schmidt正交化方法（1）正交化取下面介绍把向量组正交规范化的施密特（Schmidt）正交化方法：（2）单位化令

由此得一组两两正交的单位向量上述过程就是Schmidt正交化过程.它不仅满足与等价,还满足：对,向量组与等价。例设是全体次数小于3的实系数多项式构成一个实线性空间，定义内积为

不难验证这样定义的是的内积，求的一组标准正交基。第三节正交子空间定义 设与是内积空间V的非空子集，若对,都有,则称与互相正交,记为;若,对，都有，则称与正交，记为.由定义知：若,则，所以两个互相正交的子空间之和为直和。定义设V是一个内积空间，集合称为W的正交补。由定义知：无论W是否为V的子空间，必是V的子空间。定理2.4设V是一个n维内积空间，是V的一标准正交基,记,,则，.定理2.5（内积空间正交直和分解）设V是n维内积空间,W是V的子空间,则.由定理2.5知，对每一个，有唯一的表示称为沿着空间向的正交投影，为沿着空间向的正交投影。例设欧氏空间中的内积定义为取，构造子空间，（1）求的一组正交基；（2）将分解为两个正交的非零子空间的和。第四节等距变换一.等距变换的定义定义

设T是内积空间V上的一个线性变换，若对，成立则称T是等距变换.特别地，当V是酉空间时，则称T是酉变换；当V是欧氏空间时，则称T是正交变换.注：等距变换就是内积空间中保持内积不变的线性变换.例设,且,定义变换,则所以H是上的酉变换，称为Householder镜象变换.定理2.5设T是内积空间V上的一个线性变换，则下列命题等价：（1）