高三数学一轮复习：函数模型的应用专项训练

函数模型的应用

一、单项选择题

1.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下

列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（）

X1.992345.156.126

y1.5174.04187.51218.01

A.y—2x~2B.y=1(x2-1)

C.y=log2XD.y=\ogix

2

2.视力检测结果有两种记录方式，分别是小数记录与五分记录，其部分数据如

表所示.

小数记录%0.10.120.15・・・11.21.52.0

五分记录y4.04.14.2・・・55.15.25.3

现有如下函数模型：①y=5+lgx,②尸5+施x表示小数记录数据，y表

示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医

生告诉他的视力为4.7,则小明同学的小数记录数据为（附：10°3-2,5°22-o.7,

10-01^0.8）（）

A.0.3B.0.5

C.0.7D.0.8

3.美国生物学家和人口统计学家雷蒙德•皮尔提出一种能较好地描述生物生长

规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简

化为/。）=五篇而仍＞°，左＜0）的形式.已知/（X）=/G（X©N）描述的是一

种果树的高度/（x）（单位：m）随着栽种时间x（单位：年）变化的规律，若刚栽种（x

=0）时该果树的高为1.5m,经过2年，该果树的高为4.5m,则该果树的高度不

低于5.4m,至少需要（）

A.2年B.3年

C.4年D.5年

4.食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用给人民群众的健康

带来了一定的危害.为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入资金

200万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入资金40万元，

其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜.根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年

收入P（单位：万元）、种黄瓜的年收入。（单位：万元）与各自的投入资金ai,或（单

位：万元）满足尸=80+4同，Q=+2+120.设甲大棚的投入资金为其单位：

万元），每年两个大棚的总收入为/（x）（单位：万元），则总收入/Q）的最大值为

（）

A.282万元B.228万元

C.283万元D.229万元

二、多项选择题

5.预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是P„=Po（l+

其中p”为预测期人口数，Po为初期人口数，左为预测期内人口年增

长率，〃为预测期间隔年数，则（）

A.当左©（—1,0）,则这期间人口数呈下降趋势

B.当左©（—1,0）,则这期间人口数呈摆动变化

C.当左=1，2三2Po时，〃的最小值为3

D.当左=一%时，〃的最小值为3

6.噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级4

=20Xlg其中常数2。3）>0）是听觉下限阈值，?是实际声压.下表为不同声

Po

源的声压级：

声源与声源的距离/D1声压级/dB

燃油汽车1060~90

混合动力汽车1050〜60

电动汽车1040

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为pi,

P2,。3,则（）

A.pi2p2B./72>10/73

C./?3=100/70D.piW100/72

三、填空题

7.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方

法如表所示.

每户每月用水量水价

不超过12m3的部分37U/m3

超过12m3但不超过18m3的部分6元/n?

超过18m3的部分9元/n?

若某户居民本月缴纳的水费为54元，则此户居民的用水量为m3.

8.当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的

一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千

分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用一

般的放射性探测器探测不到，则它至少要经过_______个“半衰期”.

9.某同学设想用“高个子系数上”来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，成

年男子身高160cm及其以下不算高个子，其高个子系数左应为0；身高190cm

及其以上的是高个子，其高个子系数左应为1,请给出一个符合该同学想法的成

年男子高个子系数左关于身高x(cm)的函数关系式.

四、解答题

10.某科研小组研制钛合金产品时添加了一种新材料，该产品的性能指标值y是

这种新材料的含量式单位：克)的函数.研究过程中的部分数据如表所示.

式单位：克)02610•・・

1・・・

y-488

9

%-m

已知当xN7时，y=(1),其中机为常数.当0Wx<7时，y和x的关系为以

下三种函数模型中的一个：①,=加+法+(;；②产左•"(a>0且aWl)；③尸

0ogoX(a>O且aWl),其中左，a,b,c均为常数.

(1)选择一个恰当的函数模型来描述x,y之间的关系，并求出其解析式；

(2)求该新材料的含量x为多少克时，产品的性能达到最大

参考答案

1.B[由题表可知函数单调递增，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，

分析选项可知B符合.故选B.]

2.B[由表格中的数据可知，函数单调递增，合适的函数模型为y=5+lgx,

令y=5+lgx=4.7,解得X=10°3=0.5.]

3.B[由题意可得/(0)=搐=1.5且〃2)=]+嬴=4.5,

解得6=1,k=-i,故/(x)=]+3：“i，

函数/(%)=在(0,+8)上单调递增，且〃3)=三==5.4,

故该果树的高度不低于5.4m,至少需栗3年.故选B.]

4.A[由题意可知甲大棚的投入资金为x(单位：万元)，乙大棚的投入资金为200

—x(单位：万元),

所以/(x)=80+4岳+?200—X)+12O=—卜+4后+250,

由产她可得40WE60,

(200—%240,

令/=«,则4V10],

g(0=--Z24-4V2/+250=--(/-8V2)2+282,

44

所以当1=8/，即x=128时总收入最大，最大收入为282万元.故选A.]

5.AC[当左©(一1,0)时，Po>O,0<1+左<1,由指数函数的性质可知，P„=Po(l

+女产(左>一1)是关于n的单调递减函数，

即人口数呈下降趋势，故A正确，B不正确；

n

当上三时，P；i=Po(0^2Po,所以电”三2,所以后log±2(〃GN),

log42G(2,3),所以〃的最小值为3,故C正确；

3

当左=—1时，P„=Po(|)n|Po,所以所以心10g|*neN),

Iog2i=logs2£(l,2),所以〃的最小值为2,故D不正确.故选AC.]

322

6.ACD[因为〃=20Xlg二随着p的增大而增大，且£©[60,90],[50,

PoIN

Lp

60],所以“1三%2,所以pi2p2,故A正确；由&=20Xlg亘，得夕=皿10元，因为

LL

40P2P3

%3=4°，所以。3=，。1020=100〃0,故©正确；假设〃2>10.3,则polO20>1O/?O1O20,

所以10参一点>10,所以Lp-Lv>20,不可能成立，故B不正确；因为您驾

*2*3P1

^£2L

pLp

=ioopoW^=1()___+2^1>所以piWlOO。，故D正确.综上，故选ACD.]

PQIO20

7.15[设此户居民本月用水量为xn?,缴纳的水费为y元，则当x©[0,12]Hf,

y=3xW36元，不符合题意；

当xG(12,18]时，y=12X3+(x-12)X6=6x—36,令6%—36=54,解得x=15,

符合题意；

当x©(18,+8)时，y=12X3+6X6+(x-18)X9=9x-90>72,不符合题意.

综上所述，此户居民本月用水量为151n3.]

8.10[设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1,则经过〃个“半衰期”后的

含量为(另,由3"<焉,得心"

所以若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过

10个“半衰期”.]

(0,0<%W160,

9.2长(％-160),160<%<190(只要写出的函数满足在区间(160,190)±

11,%2190

单调递增，且过点(160,0)和(190,1)即可，答案不唯一)[由题意知，函数网x)

在(160,190)上单调递增，设网x)=ax+b(a>0),xG(160,190),

由上。a+G。，解得卜Ri

(190a+b=l,(匕=一段，

所以出)=亲_(=曰(%—160),

f0,0<%W160,

所以上=总(%—160),160<x<190,]

11,ei9o.

10.解：(1)由表格知当x=0时，y=-4,

若选①yuaf+for+c,则°=一4；

若选②'=左•a%a>0且a?l),则左=—4,

此时y=—4qx(a>0且aWl)不