平面向量（易错题+三大题型）（原卷版）-2024年高考数学复习（新高考专用）

平面向量

目录

【高考预测】概率预测+题型预测+考向预测

【应试】总结常考点及应对的策略

【误区点拨】点拨常见的易错点

易错点：投影向量、投影向量的模与向量的投影

【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略

【题型一】奔驰定理

【题型二】极化恒等式

【题型三】等和线

高考预测

概率预测☆☆☆☆

题型预测选择题、填空题☆☆☆☆☆

考向预测投影向量的概念

应试

平面向量是近几年小题的热点必考题型，主要考察学生对于向量的转化也就是基底思想的熟练程度，

包含了对于复杂知识的简单化也就是化归与转化的思想的掌握。近几年的向量也出现过单选的压轴题，考

察的大多为向量的三大定理之一。还有新教材新加的投影向量也是今年的热门知识点。注意题目的问法，

分清投影向量、向量的投影和投影向量的模之间的区别。

误区点拨

易错点：投影向量、投影向量的模与向量的投影

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的同方向单位向量为旦,

1.同方向单位向量:Z指的是方向和。相同，模长为1的向量。

2.向量］在£方向上的投影：设。为15的夹角，则W-cose为］在£方向上的投影.

3.投影也是一个数量，不是向量.当。为锐角时投影为正值；当。为钝角时投影为负值；当夕为直角时投影为

0；当0=0。时投影为㈤；当夕=180°时投影为一同.

4.向量］在£方向上的投影向量：设。为£、］的夹角，则W-cos6・3为］在£方向上的投影向量.

同

5.向量的数量积的几何意义：数量积7石等于£的长度与B在a方向上投影的乘积.

易错提醒：L投影和投影向量的模都是数量，区别在于投影有正负，投影向量的模永远是正值。

2.投影向量结果是向量，所以是其投影（大小）乘上其同方向单位向量（方向）。

例（多选）（2023•海南•模拟预测）已知向量3=（sin0,cos。）e=（1,网,d=（3,网，则（）

A.若3//B，则。=］

B.B在/方向上的投影向量为;

C.存在0,使得3在3方向上投影向量的模为1

D.归-同的取值范围为［1,3］

变式1：（2024•辽宁鞍山、二模）已知非零向量］,b满足同=2同，向量方在向量B方向上的投影向量是同,

则I与B夹角的余弦值为（）

A.—B.—C.—D.1

3623

变式2：（多选）（2024•广东广州•一模）已知向量入3不共线，向量2+1平分G与石的夹角，则下列结论

一定正确的是（）

A.〃♦6=0B.（a+Z?）_L（a—/））

c.向量入5在2+日上的投影向量相等D.|a+s|=p-s|

变式3：（2024・青海，一模）已知向量3=（3,2）,6=（-2,1）,则向量£+5在石方向上的投影为.

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抢分通关

【题型一】奔驰定理

P为A248c内一点，axPA+b~x.PB+cxPC=0>则SAPBC：^^PAC:^APAB=b：c.

*'S^BCa+b+c'S^BCa+b+c'SMBCa+b+c'

结论1：对于AA8C内的任意一点?，若"BC、NPCA.A/M2的面积分别为、SB.Sc,则:

SA-PA+SB-PB+SC-PC=O.

即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积.

结论2：对于A4BC平面内的任意一点尸，若点P在A4BC的外部，并且在N8/C的内部或其对顶角的内部所

在区域时，则有-%%•2+SA/MC•丽+Spg正=°•

结论3：对于A48c内的任意一点?，若4方+4万+4定=。，则APBC、APCA、AP48的面积之比为

即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比.

结论4：对于A4BC所在平面内不在三角形边上的任一点尸，4秒+办方+4正=0,则APBC、NPCA.

AP4B的面积分别为同：田：同.

奔驰定理与三角形四心的关系：

一、三角形的“重心”

1、重心的定义：中线的交点，重心将中线长度分成2:1A

三角形中线向量式：AM=^（AB+AC}

2、重心的性质:

（1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:lo

（2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

所以瓦＜+砺+击=6

二、三角形的“垂心”

垂心的定义：高的交点。

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锐角三角形的垂心在三角形内:

直角三角形的垂心在直角顶点上:

钝角三角形的乖心在三角形外。

奔驰定理推论：SABOC：SACOA：SAAOB-tanA\tanB:tanC,

tanA-OA+tanB-OB+tanC-OC—0.

三、三角形的“内心”

1、内心的定义：角平分线的交点（或内切圆的圆心）。

2、常见内心向量式：P是△力BC的内心，

（1）\AB\PC+\BC\PA+\CA\PB=0（或a而+bPB+cPC=0）

其中a,b,c分别是A4BC的三边BC、AC、AB的长，

四、三角形的“外心”

1、外心的定义：三角形三边的垂直平分线的交点（或三角形外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等

2、常用外心向量式：。是AA8C的外心，

1、|o2|=\0B\=|oc|qa2=OB2=OC2

2、(OA+0B)-AB=(OB+0C)-BC=(OA+0C)-AC=0

3、若01+0B")-AB=(OB+0C")-BC=(OC+0A")-CA=0,则。是△力BC的外

心.

I—I

典例精讲

【例1】（2021•四川凉山•三模）如图，P为“BC内任意一点,角A,B,C的对边分别为a,b,c.总有

优美等式S"8c万+S»4c而+近=0成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下

②若a沙+6方+cU成立，则尸是的内心；

_—>2—►1-►_

（3）^AP=-AB+—AC,则以物产：=2:5；

④若P是“6C的外心，N=W，PA=mPB+nPC>则比+

则正确的命题有.

【例2】（多选）（22-23高一下•山东•阶段练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量

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中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容

是：已知〃是AASC内一点，的面积分别为邑,Ss，Sc，且

疝+邑•筱+Sc・庆=。・以下命题正确的有（）

A.若邑：&:品=1:1:1,则/为A/MC的重心

B.若“为“BC的内心，则3c.而+/C.磁+48.流=6

C.ABAC=45°,ZABC=60°,〃为“BC的外心，则邑：：S©=6：2:1

D.若M为AABC的垂心，3MA+4MB+5MC=6>贝！Icos乙4儿e=-"

6

【例3】（2023高一•江苏•专题练习）已知。是平面上的一个定点，4&C是平面上不共线的三点，动点尸

(AeR),贝!］点尸的轨迹一定经过〃8c的（

A.重心B.外心C.内心D.垂心

1=1

名校模拟

【变式1］（2023・吉林•一模）在直角三角形4BC中，/=90。，”8C的重心、外心、垂心、内心分别为G〉

G-G3,G4,若布=%荏+从就（其中i=l,2,3,4）,当4+4取最大值时，，=（）

A.1B.2C.3D.4

【变式2］（22-23高三上•江西•阶段练习）奔驰定理：已知点。是“BC内的一点，若小。C,"OC,“OB的

面积分别记为耳,邑出，则»刀+邑•砺+邑・前=丘•“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因

为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，己知。是“8C的

垂心，＞04+205+300=0,贝lJcosC=（）

A3Vw

10

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【变式3]（2022•安徽•三模）平面上有“3C及其内一点O,构成如图所示图形，若将AOBC,^OCA

的面积分别记作凡，S0,Sb,则有关系式+S•历+[•历=6.因图形和奔驰车的/映。很相似，常

把上述结论称为“奔驰定理”.已知的内角4,3,C的对边分别为a,6,c,若满足°.刀+6.砺+c.历=6,

则。为AABC的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【题型二】极化恒等式

基础知识：

/——\2-2f--»2

\a+b\=a+2ab+b

/--\2-2---2

\a-b\=a-2ab+b

简化：在△中，。是边的中点，则|2.

48C8C通・/=|诟IM丽I

典例精讲

【例1】已知△NBC是边长为2的等边三角形，尸为平面48C内一点，则莎•（而+4）的最小值是

（）

34

A.-2B.--C.——D.-1

23

【例2】在△48C中，。是3c的中点，E,尸是上的两个三等分点，B2，C2=4'BFCF=-1'

则砺•屈的值是.

【例3】已知球。的半径为1,48是球面上的两点，且48=6,若点P是球面上任意一点，则沙•而

_3£_£3

的取值范围是A.B.C.0,-D.0,-

2’22’222

名校模拟

【变式1】（23-24高三上•云南保山・期末）如图，已知正方形/BCD的边长为4,若动点尸在以48为直径的

半圆上（正方形/BCD内部，含边界），则定.而的取值范围为（）

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【变式2]（2024•江西•一模）如图，正六边形的边长为2a，半径为1的圆。的圆心为正六边形的中心，

若点M在正六边形的边上运动，动点力,3在圆。上运动且关于圆心。对称，则MA,MB的取值范围为（）

A.[4,5]B.[5,7]C.[4,6]D.[5,8]

【变式3]（2024•陕西安康•模拟预测）在平面直角坐标系中，曲线y=--4x+l与坐标轴的交点都在圆C上,

48为圆C的直径，点P是直线3x+4y+10=0上任意一点；则强.丽的最小值为（）

A.4B.12C.16D.18

【题型三】等和线

向量基本定理：

OA=A0B+JLLOC,（2G7?）o2+//=1

___________-f

OF=205+piOC^e7?)2+//=k,则卜=——

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—>—>

证明：OE=kOE,

—>—>—>

又OE-mOA+nOC,m+〃=1

—>—>—>—>—>—>

/.OF-kOE-k(mOA+nOC)-2OA+ROC

km=九,kn=〃

:.九+N=k

i—।

典例精讲

--1—■

【例1】如图，A/AA8C中，P是斜边3C上一点，且满足：AP=—PC,点在过点尸的直线上,

2

若押=2彳瓦前=〃*,（4〃>0）,则4+2〃的最小值为（）

810

A.2B.-C.3D.——

33

【例2】设/,B,。是平面内共线的三个不同的点，点。是/,B,。所在直线外任意-点，且满足

OC=xOA+yOB，若点。在线段48的延长线上，则（）

A.x<0,y>lB.”0,x>\C.0<x<y<1D.0<y<x<l

【例3】如图，Z.BAC=y,圆M与AB、AC分别相切于点D、E,AD=1,点P是圆M及其内部任意一

点，且丽=久而+丫荏（x、ye/?）,则x+y的取值范围是（）

A.[1,4+2网B.[4—2痣4+2网C.[1,2+网D.[2-V3,2+V3]

名校模拟

【变式1］（2024•内蒙古包头•一模）如图，在菱形Z3CD中，AB=4,ZABC=60°,E,F分别为4B,BC上

的点，屉=3成，BF=3FC-若线段E尸上存在一点M,使得两=1■反+x而（xeR）,则方面.而等

于（）

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