人教版九年级数学上册《正多边形和圆（第1课时）》示范教学设计

正多边形和圆（第1课时）教学目标1．了解正多边形和圆的关系；掌握正多边形的中心、半径、边心距等概念．2．掌握圆内接正多边形的相关计算及运用．3．学会与人合作、交流，体验数学在生产、生活中的广泛应用．教学重点了解正多边形的有关概念，并能进行相关计算．教学难点探索正多边形与圆的关系．教学过程知识回顾1．正三角形三条边都相等，三个角都相等．2．正方形四条边都相等，四个角都相等．3．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形．4．正多边形是轴对称图形；当边数为偶数时，正多边形也是中心对称图形．5．圆既是轴对称图形又是中心对称图形．新知探究一、探究学习【问题】观察这些图片，你看到了哪些正多边形？【师生活动】学生独立回答，教师给予肯定．【设计意图】感受生活中的正多边形，体会正多边形的美．【新知】正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．【问题】以正五边形为例，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE．如何证明这个五边形是圆内接正五边形呢？【师生活动】教师引导学生作答，然后给出正确答案．【答案】如图，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE．证明：∵，∴，．∴，同理．又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上，∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形．【设计意图】利用正多边形的性质探究正多边形和圆的关系，让学生利用所学知识展开想象，激发学生的好奇心，引入新知．【追问】正n边形呢？【师生活动】教师组织学生在小组内有序交流，然后给出正确答案．【答案】由上题可知：．当正多边形为正n边形时，只需要将“3”换成“(n－2)”即可求证．【设计意图】通过对特殊问题的学习，让学生积极思考，用类比的方法分析、归纳出一个类型题目的思路．二、新知精讲（一）正多边形的相关概念【新知】圆中的元素和正多边形有什么关系呢？一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．【问题】找出下列正多边形的中心O，并标出正多边形的半径R、边心距r、中心角α．【师生活动】教师组织学生独立作答，然后统一给出正确答案．【答案】解：如图所示．【问题】（1）各边相等的多边形是正多边形吗？（2）各角相等的多边形是正多边形吗？【师生活动】教师组织学生在小组内有序交流，然后给出正确答案．【答案】解：（1）如图，菱形的各边相等，但是各角不相等，所以菱形不是正多边形，即各边相等的多边形不一定是正多边形．（2）如图，矩形的各角相等，但是各边不相等，所以矩形不是正多边形，即各角相等的多边形不一定是正多边形．【追问1】各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？【师生活动】教师引导学生作答，然后给出正确答案．【答案】解：以四边形为例．已知：四边形ABCD内接于⊙O，且AB＝BC＝CD＝DA．求证：四边形ABCD是正四边形．证明：如图，四边形ABCD内接于⊙O．∵，∴．∴．∴．同理，．∴四边形ABCD是正四边形．证明各边相等的圆内接n边形是正n边形时，只需要把“”中的“2”换成“(n－2)”即可．【追问2】各角相等的圆内接多边形是正多边形吗？【师生活动】教师引导学生作答，然后给出正确答案．【答案】解：如图，矩形ABCD内接于⊙O，其中．∵AB≠AD，∴各角相等的圆内接四边形不一定是正四边形，即各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形．【设计意图】感受知识间的联系，学会利用所学知识解决新问题．（二）正多边形的相关计算【例1】已知正三角形的半径为R，求它的边长、边心距和面积．【师生活动】教师引导学生作答，然后给出正确答案．【答案】解：由题意，画出示意图如图所示．由题意，得中心角，OB＝OC＝R，∴．在Rt△OBD中，边心距．根据勾股定理，得，∴边长．∴．【例2】已知半径为R的圆内接正方形，求该正方形的边长、边心距和面积．【师生活动】教师引导学生作答，然后给出正确答案．【答案】解：由题意，画出示意图如图所示．由题意，得中心角，OA＝OB＝R，∴，AC＝OC．在Rt△OAC中，根据勾股定理，得边心距OC＝AC＝，边长．∴面积．【归纳】1．正n边形的角的有关计算：中心角＝．2．正n边形的边心距、周长及面积的计算：如图，设正n边形的边长为a，外接圆半径为R，则边心距，周长，面积．【例3】如图，有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）．【师生活动】教师引导学生将实际问题转化为数学问题作答，然后给出正确答案．【答案】解：如图，连接OB，OC，作OP⊥BC，垂足为P．∵六边形ABCDEF为正六边形，∴∠BOC＝＝60，OB＝OC．∴△BOC是等边三角形．∴OB＝BC＝OC＝4m．∴地基的周长．在Rt△OPC中，OC＝BC＝4m，PC＝BC＝2m．由勾股定理，可得边心距（m）．地基的面积(m2)．【设计意图】引导学生将所求问题一步步转化为由已知可得出的结论，从而找到解题的入手点和整个解题思路．【问题】正n边形的内角的度数是多少？中心角的度数如何计算？正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？【师生活动】学生先独立思考，然后小组内交流，每组派出代表发言，最后教师引导学生归纳．【答案】解：如图．三角形的内角为，中心角为，外角为；正方形的内角为，中心角为，外角为；正六边形的内角为，中心角为，外角为．……由此推出：正n边形的内角为，中心角为，外角为，即正多边形的中心角