人教版九年级数学上册《二次函数的图象和性质（第1课时）》示范教学设计

二次函数的图象和性质（第1课时）教学目标1．从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系．2．理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式．教学重点二次函数的概念和一般形式．教学难点能从实际问题中抽象出二次函数．教学过程知识回顾1．函数的定义是什么？一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．2．目前，我们已经学习了哪几种类型的函数？正比例函数：y＝kx(k是常数，k≠0)．一次函数：y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)．【设计意图】通过复习已经学过的有关函数的知识，为引出二次函数的概念作铺垫．新知探究一、探究学习【问题】正方体的六个面是全等的正方形（如图），设正方体的棱长为x，表面积为y，y与x有什么关系？【师生活动】教师提出问题，学生独立思考并回答．学生回答：y＝6x2．①教师总结：对于x的每一个值，y都有唯一一个对应值，即y是x的函数．【问题】n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．比赛的场次数m与球队数n之间有什么关系？【师生活动】教师提示：每个队要与其他(n－1)个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数怎样表示？学生在教师的提示下思考并回答：比赛的场次数，即．②教师总结：②式表示比赛的场次数m与球队数n之间的关系，对于n的每一个值，m都有唯一一个对应值，即m是n的函数．【问题】某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？【师生活动】教师提问：这种产品的原产量是20t，一年后的产量怎么表示？学生思考并回答：一年后的产量是20(1＋x)t．教师追问：再经过一年后的产量呢？学生思考并回答：再经过一年后的产量是20(1＋x)(1＋x)t．教师总结：两年后的产量y＝20(1＋x)2，即y＝20x2＋40x＋20．③③式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一一个对应值，即y是x的函数．【思考】函数①y＝6x2，②，③y＝20x2＋40x＋20，有什么共同点？【师生活动】教师提问，学生组内交流并派代表回答．【答案】函数都是用自变量的二次式表示的．【新知】一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项．【设计意图】在实际情景中，学生经历探索分析并建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体会如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系．通过组内交流让学生充分发表意见，提出各自看法，提高学生学习的积极性．二、典例精讲【例1】下列函数中，哪些是关于x的二次函数？（1）y＝－5x2； （2）y＝x3＋2x2＋1；（3）y＝(x－1)2－(x＋1)(x－2)； （4）y＝ax2＋4x＋5；（5）y＝x2－．【师生活动】教师提示：可以根据二次函数的定义来判断．学生思考并回答：（1）y＝－5x2是关于x的二次函数；（2）y＝x3＋2x2＋1中x的最高次数是3，不是二次函数；（3）y＝(x－1)2－(x＋1)(x－2)＝－x＋3，不是二次函数；（4）y＝ax2＋4x＋5中a可能为0，不一定是二次函数；（5）y＝x2－中有分式，不是二次函数．【答案】解：只有（1）是关于x的二次函数．【归纳】判断一个函数是否是二次函数，首先要把它化为最简形式，然后再判断含有自变量的代数式是否同时满足以下三个条件：（1）等号右边是整式；（2）自变量的最高次数必须是2；（3）二次项系数不为0．【例2】请指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．（1）y＝9x2； （2）y＝(2x＋1)2－6x；（3）．【师生活动】教师提示：（2）中y＝(2x＋1)2－6x没有化为最简形式．学生根据教师提示，独立思考并作答．【答案】解：函数二次项系数一次项系数常数项y＝9x2900y＝(2x＋1)2－6x4－210－1【设计意图】通过例题1和例题2的练习与讲解，加深学生对二次函数概念的理解，巩固本节课