2024年北京市中考模拟数学试题（含答案解析）

一、单选题

1.如图是某几何体的主视图、左视图和俯视图，则该几何体是（）

A.球B.圆柱C,圆锥D.长方体

2.截至2022年8月底，我国已建设开通了约2102000个5G基站.随着5G基站的规模化

建设，它将为我国经济发展提供新动能.其中数据2102000用科学记数法表示为（）

A.210.2xl04B.21.02xl05C.2.102xl06D.2.102xl07

3.下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）

A△»〃"0dO

4.正十边形的外角和为（）

A.180°B.360°C.720°D.1440°

5.掷一枚质地均匀的硬币加次，正面向上”次，则4的值（)

m

A.一定是gB.一定不是J

C.随着根的增大，越来越接近gD.随着根的增大,在I•附近摆动，呈现一定

的稳定性

6.以下图形绕点。旋转一定角度后都能与原图形重合,其中旋转角最小的是（）

A

AI

D.o

7.2021年3月考古人员在山西阳泉发现目前中国规模最大、保存最完好的战国水井，井壁

由等长的柏木按原始柳卯结构相互搭接呈闭合的正九边形逐层垒砌，关于正九边形下列说法

错误的是（）

A.它是轴对称图形B.它是中心对称图形

C.它的外角和是360。D.它的每个内角都是140。

8.下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示

A.圆的面积y与它的半径无

B.正方形的周长y与它的边长x

C.小丽从家骑车去学校，路程一定时，匀速骑行中所用时间y与平均速度x

D.用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x

二、填空题

9.因式分解：2尤2-18=.

10.一个袋子中装有4个黑球和几个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出

一个，摸到白球的概率为：，则白球的个数〃为.

11.在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为3m,同时测得一根旗杆的影长为21m,

那么这根旗杆的高度为m.

试卷第2页，共8页

12.函数、=区+1供片0）的图象上有两点若％＜为，写出一个符合题意

的左的值：.

13.已知长为6c机宽为4cm的长方形是一个圆柱的侧面展开图，则柱的体积为—（结果

2

14.如图，在矩形AO3C中，点。是坐标原点，点A在反比例函数y=—的图象上，点B在

15.小林、小方和小亮三人玩飞镖游戏，各投5支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，中靶

和得分情况如图，则小亮的得分是—.

16.小夏同学从家到学校有A,3两条不同的公交线路.为了解早高峰期间这三条线路上的

公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这

些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：据此估计，早高峰期间，乘坐B线

路“用时不超过35分钟”的概率为,若要在40分钟之内到达学校，应尽量选择乘坐

（填A或8）线路.

公交车用时25<?<3030<t<3535<?<4040<?<45总计

频数

公交车线路

A59151166124500

B4357149251500

三、解答题

17.计算：(一2022)。+^7-］一；1+V3sin60°.

6-4x>3x-8

18.解不等式3尤+11+2无，并将解集在数轴上表示出来.

----->-----

I23

19.己知关于x的一元二次方程炉-5〃a+4疗=0.

(1)求证：该方程总有两个实数根；

(2)若该方程两个实数根的差为2,求，"的值.

20.已知：。和圆外一点尸，求作：过点尸的,。的切线.

作法：①连接OP；

②分别以。，尸为圆心，大于g。尸长为半径画弧，两弧交于N两点，连接脑V,交。尸

于点C.

③以C为圆心，OC长为半径作C,交C。于点AB；

④作直线PAPB.

所以直线PAPB为O的切线.

(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹);

(2)完成下面的证明.

证明：连接MP,MO,NP,NO,OA,OB.

MP=MO,NP=NO,

试卷第4页，共8页

.1MN是线段。尸的()(填推理的依据).

CP=CO.

OP为。的直径，A3在(C上

■.ZOAP=ZOBP=90°()(填推理的依据).

，半径。4_LAP,半径03J_3P.

直线P4,PB为、。的切线()(填推理的依据).

21.如图，在四边形ABC。中，AD//BC,AC1BD,垂足为O,过点。作8。的垂线交

8c的延长线于点E.

⑴求证：四边形ACE。是平行四边形；

4

⑵若AC=4,AD=2,cosZACB=~,求8C的长.

22.在平面直角坐标系宜刀中，一次函数y=笈+6(ZwO)的图象平行于直线y=gx,且经

过点42,2).

⑴求这个一次函数的表达式；

⑵当x>1时，对于x的每一个值，一次函数y=kx+b(k丰0)的值大于函数y=-(x>0)的值,

直接写出机的取值范围.

23.如图，在AABC中，NACB=90。，以AC为直径的。。交A8于点。，点E为8c的中

点，连接。E.

(1)求证：OE为。。的切线；

(2)若BC=2,ZBAC=30°,求阴影部分的面积.

B

24.某超市销售一种商品，成本是每千克30元，规定每千克售价不低于成本，且不高于90

元，经市场调查，每天的销售量》（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，当售

价每千克50元时，销售量y为80千克：当售价每千克60元时，销售量y为60千克.

⑴求y月x之间的函数表达式；

⑵设该商品每天的总利润为W（元），求W与X之间的函数表达式（利润=收入-成本）并

求当售价为多少时，利润为1600元.

25.如图，4）是。的切线，切点为A,A3是的弦.过点B作交。于

点C,连接AC,过点C作CD〃AB,交于点O.连接49并延长交BC于点闻,交过

点C的直线于点P,且NBCP=NACE>.

（1）判断直线尸C与。的位置关系，并说明理由；

（2）若AB=9,BC=6,求尸C的长.

26.已知二次函数y=ax2+bx+2的图像经过点4（2,2）.

（1）用含。的代数式表示6=;

（2）若直线y=X与抛物线y=+法+2相交所得的线段长为逑，求。的值；

2

（3）若抛物线>=加+乐+2与x轴交于”（司,0）和NG，。）两点（玉<%），且2玉+%>。，直

接写出。的取值范围.

27.已知四边形ABCD,ZA=120°,NC=60。，AB=AD,CD^BC,AE是一区4£）的角

平分线，交射线5C于E,线段。。的延长线上取一点尸使BE=DF,直线所，A3交于点

G.

试卷第6页，共8页

D

Ca

⑴补全图形；

(2)猜想△MG的形状，并证明你的猜想；

(3)求AB与FG的数量关系.

28.在平面上任取一个ABC,则可以定义面积坐标：对平面内任一点P,记H=

S2=SPAC,JMS.BC(若点尸恰好在ABC的某条边所在的直线上，则记相应三角形的面积

⑴如图1,若点A的坐标为(。,3).

①写出点。(1,0)的面积坐标；

②已知几个点的面积坐标分别为:£{3,3,3},F{0,2,7},G{5,5,1},H{2,2,5},则其中不在

内部的点是；

⑵把平面内一点M(x,y)的面积坐标记为{犯，1nl，啊卜

①如图2,当点A的坐标为(-3,3)时，若叫=%，试探究,与x之间的关系；

②当点A的坐标为伍,36)时，点M在以点7(3,。为圆心，半径为1的圆上运动，若点M的

面积坐标始终满足帆+?=9石，直接写出t的取值范围.

试卷第8页，共8页

参考答案：

1.C

【分析】根据主视图与左视图是三角形，俯视图是圆，即可得出该几何体是圆锥，据此即可

求解.

【详解】解：：主视图与左视图是三角形，俯视图是圆，

...该几何体是圆锥，

故选：C.

【点睛】本题考查了根据三视图还原几何体，掌握常见几何体的三视图是解题的关键.

2.C

【分析】对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成。xlO"的形式，其中〃是

比原整数位数少1的数.

【详解】2102000=2.102xl06.

故选C.

【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中

1<1«1<10,"为整数，解题的关键要正确确定a的值以及"的值.

3.A

【分析】根据轴对称图形：一个平面图形，沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，

以及中心对称图形：一个平面图形，绕一点，旋转180。，与自身完全重合，进行判断即可.

【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；

B、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；

C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；

D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；

故选A.

【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别.熟练掌握轴对称图形和中心对称图形

的定义，是解题的关键.

4.B

【分析】根据多边的外角和定理进行选择.

【详解】解：因为任意多边形的外角和都等于360。，

所以正十边形的外角和等于360°,.

故选B.

答案第1页，共23页

【点睛】本题考查了多边形外角和定理，关键是熟记：多边形的外角和等于360度.

5.D

【分析】根据频率与概率的关系以及随机事件的定义判断即可.

【详解】解：投掷一枚质地均匀的硬币正面向上的概率是而投掷一枚质地均匀的硬币正

面向上是随机事件，'是它的频率，随着:"的增加，二的值会在;附近摆动，呈现出一定

的稳定性.

故选：D.

【点睛】本题考查对随机事件的理解以及频率与概率的联系与区别.解题的关键是理解随机

事件是都有可能发生的事件.

6.D

【分析】求出各旋转对称图形的最小旋转角度，再比较即可.

【详解】解：A选项：最小旋转角度3=60三°=120。；

B选项：最小旋转角度=*360°=90。；

C选项：最小旋转角度3=6曹0°=72。；

D选项：最小旋转角度=千=60。；

综上可得：旋转的角度最小的是D.

故选：A.

【点睛】本题考查了旋转对称图形中旋转角度的确定，求各图形的最小旋转角度时，关键要

看各图形可以被平分成几部分，被平分成n部分，旋转的最小角度就是3型60°

n

7.B

【分析】根据轴对称与中心对称的定义可判断A、B的正误；根据正多边形的外角和为360。

可判断C的正误；根据正〃边形的内角为("-2)可判断口的正误.

n

【详解】解：由题意知正九边形是轴对称图形，不是中心对称图形

...A正确，B错误；

由正多边形的外角和为360。可知正九边形的外角和为360°

；.C正确；

答案第2页，共23页

由正〃边形的内角为180°(〃-2),可得180。x(9-2)=]40。

n9

；.D正确；

故选B.

【点睛】本题考查了正多边形的内角、外角和，轴对称，中心对称.解题的关键在于熟练掌

握正多边形的内角、外角与对称性.

8.D

【分析】根据题意求出两个变量之间的函数关系式分别判断即可.

【详解】圆的面积y与它的半径尤的关系式为尸万公

二圆的面积y随半径x的增大而增大，故A选项不符合题意；

正方形的周长y与它的边长尤的关系式为y=4尤

正方形的周长y随边长x的增大而增大，故B选项不符合题意；

设路程为S,则所用时间y与平均速度X的关系式为

X

•••所用时间y随平均速度x的增大而减小，故C选项不符合题意；

设铁丝的长度为则矩形的面积>=尤•史言=-/+)依

,矩形的面积y与边长x的之间的函数关系可以用如图所示的图象表示，故D选项符合题意.

故答案选D.

【点睛】本题考查了函数的图象，准确地得出两个变量之间的关系式是解题的关键.

9.2(x+3)(x-3)

【分析】先提公因式2后，再利用平方差公式分解即可.

【详解】2%2-18=2(x2-9)=2(x+3)(尤-3).

故答案为：2(x+3)(x-3)

【点睛】考点：因式分解.

10.6

【分析】本题考查利用概率求个数，根据白球概率求出黑球概率，黑球共有4个，就可以求

出球的总数，再减去黑球个数即可解答，熟练掌握简单概率公式是解决问题的关键.

【详解】解：•••摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为：，

2

•••摸到黑球的概率为二，

,袋子中有4个黑球和〃个白球，

答案第3页，共23页

42

・・・由简单概率公式可得--=解得〃=6,

〃+45

.••白球有6个,

故答案为：6.

11.14

【分析】利用同时同地物的高与影长成正比列式计算即可.

【详解】解：设旗杆高度为xm由题意得，

：2=怖x解得：x=14

321

故答案为14.

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，掌握同时同地物高与影长成正比例是解答本题的关

键.

12.1（答案不唯一）

【分析】根据Pi和P2的位置，结合％<%可得出k的取值范围，从而可选取一个符合题意

的k的值.

【详解】且

，函数>=丘+1中，k>0,

；.k=l（答案不唯一）

故答案为：1（答案不唯一）

【点睛】此题主要考查了一次函数的图象与性质，确定k>0是解答此题的关键.

13.史cm?或纹n?

7t兀

【分析】分底面周长为4和6两种情况讨论，求得底面半径，即可求出它的体积.

2

【详解】解：①底面周长为4时，圆柱底面圆的半径为4+（2万）此时体积为：

71

。丫G242

\7T）71

②底面周长为6,时，圆柱底面圆的半径为6+（2%）=3，此时体积为：x4^—cm-

冗\71）71

故答案为史cm?或*cm2

7171

【点睛】考查了圆柱的侧面展开图，注意分长为底面周长和宽为底面周长两种情况讨论求解.

答案第4页，共23页

14.-8

【分析】过点A作AE，无轴，垂足为E,过点5作5。，工轴，垂足为D,证明△EAOs△003,

利用三角函数,面积之比等于相似比的平方，求解即可

【详解】如图,过点A作轴，垂足为E,过点5作5。，入轴，垂足为。,

・・•四边形A03C是矩形，

AZAOB=90°,BC=OAAC=OB,

：.ZAOE+ZBOD=90°,ZAOE+ZEAO=90°,

:・/BOD=/EAO,

AEAOSADOB,

,sstA。」

,•OAEAO•°DOB—\，

D(J

,**sin/CAB=—,

5

：.BC：AB=M

5

设BC=g,AB=5k,则AC=2百鼠

：.AO：BO=BC：AC=1:2,

•,S/\EAO：S=(—)=—,

DOB24

••SDOB=4^AEAO，

k2

•・•点5在反比例函数y=—的图象上，顶点A在反比例函数y=—的图象上,

xx

・S-囚S二-1

,•0DOB—f°AEAO--1»

.国=4

2'

.*.1^1=8,

答案第5页，共23页

k

:反比例函数y=*的图象在第二象限，

X

：.k=-8,

故答案为：-8.

【点睛】本题考查了反比例函数左的几何意义，三角函数，矩形的性质，勾股定理，三角形

的相似与性质，熟练运用三角形相似的判定和性质，灵活运用三角函数的意义，反比例函数

人的几何意义是解题的关键.

15.21

【分析】设投中圆环内及小圆内的得分分别为尤，y分，根据题意列出方程组求解即可.

【详解】解：设投中圆环内及小圆内的得分分别为x,y分，

3x+2y=19

依题意得：｛J”，

x+4y=23

\x=3

解这个方程组得：<,

则小亮的得分是2x+3y=6+15=21分.

故答案为21.

【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程组是解题关键.

16.-/0.2A

5

【分析】用“用时不超过35分钟”的班次除以总班次即可求得概率；根据40分钟之内公交车

的班次数，即可判断.

【详解】解：乘坐B线路“用时不超过35分钟”的有43+57=100（班次），

二乘坐B线路“用时不超过35分钟”的概率为=

A线路不超过40分钟的有59+151+166=376（班次），

B线路不超过40分钟的有43+57+149=249（班次），

；・选择A线路，

故答案为：->A.

【点睛】考查了概率公式，根据表格结合概率公式求解是解答本题的关键.

17.-

2

【分析】先计算乘方和开方运算，并把特殊角的三角函数值代入，再计算乘法，最后计算加

减即可求解.

答案第6页，共23页

［一；1+氐in60。

【详解】（-2022）°+竹-

2

【点睛】本题考查实数的混合运算，熟练掌握负整指数募的运算法则和熟记特殊角的三角函

数值是解题的关键.

18.-1<x<2,数轴表示见解析

【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可.

6-4x>3x-8①

【详解】'3尤+11+2尤小

123

解不等式①，移项，合并同类项得，-7x2-14

系数化为1得，%<2；

解不等式②，去分母得，3（3x+l）>2（l+2x）

去括号得，9x+3>2+4x

移项，合并同类项得，5x>-l

系数化为1得，x>-1

故不等式组的解集为：-（<x42.

数轴表示如下：

111I■61■,）■■1,

-5-4-3-2-I_1012345

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找;

大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

19.（1）见解析

⑵机的值为［2或2

答案第7页，共23页

【分析】（1）计算出八二（一5机y—4x4m2=9机220,由此即可得到答案；

（2）根据根与系数的关系可得%+%2=5冽，%1・々=4加2,结合（石—％2）2=4,得出关于加的

方程，解方程即可得到答案.

【详解】（1）证明：根据题意得：

A=（—5m）2-4xx4m2=25m2—16m2=9m2,

m2>0

/.A>0,

•..无论相为何值，该方程总有两个实数根；

（2）解：设耳、演是关于％的一元二次方程炉-5尔+4疗=0的两个实数根,

2

-5m_4m/2

%%=~~=5m,x1-x2=]=4m,

该方程两个实数根的差为2,

Xj-x2=2,

2

「.（再-x2）=4,

22

/.片+%；—2玉%2=（玉+%2）2—=4,即（5m）—4x4m=4,

24

/.m=—,

9

2、2

解得：根=一或根=一一,

33

・二加的值为（2或一2?.

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程依2+bx+c=0（aw0）的根与

△=6?-4°c有如下关系：①A>0,方程有两个不相等的实数根，②A=0,方程有两个相

等的实数根，③A<0,方程没有实数根，关于x的一元二次方程方?+法+。=0（4工0）的两

b

cc

个实数根4，了2和系数。，b,,有如下关系：玉+尤,=—,为•9=—.

aa

20.⑴见解析

（2）垂直平分线；到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；直径所对的

圆周角是直角；经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线

答案第8页，共23页

【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形即可；

（2）先由垂直平分线的判定可得MN是线段0P的垂直平分线，从而得到CP=CO,再由圆

周角定理可得N（MP=NO3P=90。，由此即可得证.

【详解】（1）解：如图，PA,必即为所作，

(2)解：连接MP,MO,NP,NO,OA,OB,

：.MN是线段OP的垂直平分线，（到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线

上），

CP=CO,

OP为。的直径，AB在C上，

AZOAP=ZOBP=90°（直径所对的圆周角是直角），

.,・半径。4_LAP,半径

直线B4,PB为。的切线（经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线），

故答案为：垂直平分线；到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；直径

所对的圆周角是直角；经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

【点睛】本题考查了作图一复杂作图，此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合

几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了线段垂直平分线的判

定与性质、圆周角定理和切线的判定与性质.

21.（1）证明见解析

（2）8C的长为3

答案第9页，共23页

【分析】（1）先判定AC〃叱，再根据题中所给AD〃3c的条件即可利用平行四边形判定

定理证出；

（2）根据三角函数值设0C=4x,BC=5x,利用平行四边形性质得到平行及线段相等，从

而根据ABOCABDE确定的相似比代值求解即可.

【详解】（1）证明：AC1BD,DE±BD,

:.NBOC=NBDE=90°,

:.AC//DE,

在四边形ABC。中，AD//BC,

.•.四边形ACE。是平行四边形；

4

(2)解：在比ABOC中，cos/ACB=y,设0c=4x,BC=5x,

在中，AC//DE,AC=DE=4,AD=CE=2,

■.\BOC&BDE,

BCPCSY4Y3

即二解得,舍弃）或户丁

BE~DE

3

/.BC=5x=5x—=3.

5

【点睛】本题考查了平行线的判定、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、

锐角三角函数定义等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键.

22.（l）^y——x+1

3

（2）0<m<—^m<0

【分析】（1）先根据两直线平行确定上值，再将42,2）代入求解；

（2）分根〉0和根〈0两种情况，利用数形结合思想求解.

【详解】（1）解：.•一次函数>=点+6（左。0）的图象平行于直线>=；%,

1•k=一,

2

将A（2,2）代入y=+得：

2C=—1xC2+b7,

2

解得：b=l,

答案第10页，共23页

，这个一次函数的表达式为y=；x+l；

(2)解：当机＞0时，y=—(X＞0)的图象位于第一象限，

x

113

将％=1代入y=,x+l,^y=-xl+l=-,

将点值)代入丁="，得加=层=工

［乙)x22

3

/.0＜m＜—；

2

mI

当机＜0,x＞0时，＞=竺(尤＞0)的图象位于第四象限，一次函数y=：x+l的图象位于第一

x2

象限，

I

对于％的每一个值，一次函数＞=7工+1的值大于函数＞=一(%＞0)的值，

2x

3

综上可知，加的取值范围为：。〈加或根＜0.

【点睛】本题考查求一次函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是熟

练运用数形结合思想，第二问注意分情况讨论.

23.(1)见解析；(2)遭一g

【分析】(1)连接0。，由直径所对的圆周角是直角得到/ADC=90。，则/8。。=180。-

ZA£)C=90°,由E为8C的中点，可得DE=gBC=BE=CE,则/B=NEDB,再由

OA=OC,得到/A=/OZM,则/(7即=/8+/£。8=2/8,/＜:0。=/4+/0。4=2/4,

根据NB+NA=90。，得到NCED+NCOO=2/B+2/A=2(ZB+ZA)=2x90°=180°,再

利用四边形内角和是360度求解即可；

(2)先利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质得到AC=26，则

S^BC=\AC-BC=2^),再由CE=BE=、C,OC=OA=^AC,得到59少=；5.8，

乙乙乙乙

=X

则S四边形OCED==%CE+S、DCO="S~BCD+-^MCD="^\ABC22G=6,再根据S/猊/=S

四边形OCED-S嬷K。。进行求解即可.

【详解】(1)证明：如图，连接。

：AC是。。的直径，

ZAZ)C=90°,

.•.ZBDC=180°-NAZ)C=90°,

答案第11页，共23页

・・・£为的中点,

・•・DE=1BC=BE=CE,

:,/B=/EDB,

\9OD=OA=OC,

：.ZA=ZODA,

:・/CED=/B+/EDB=2NB,ZCOD=ZA-^-Z0DA=2ZAf

•・・NAC8=90。，

・・・N5+NA=90。，

AZCED+ZCOD=2ZB+2ZA=2(N3+NA)=2x90。=180。,

JZOZ)E=360°-90°-180°=90°,

•・・QE经过半径OD的端点D,且DELOD,

・・・。石是。。的切线.

瓦

(2)VZACB=90°,ZBAC=30°,BC=2,

：.AB=2BC=4,

・•・AC=yjAB2-BC2=273，

•»="=2日

VCE=BE=-BC,OC=OA=-AC,

22

•・S四边形℃ED==SgcE+Sgco=5S^BCD+SAACD=]^AABC=力

ZCOD=2N8AC=2x30。=60。，OC=工AC=L2有=收

22

答案第12页，共23页

**•S阴影=S四边形OCED-S扇形C(

••・阴影部分的面积为百

【点睛】本题主要考查了圆切线的证明，直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质与判

定，直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，扇形面积公式等等，解题

的关键在于能够熟练掌握圆的相关知识.

24.(1»月x之间的函数表达式为：y=-2x+180；

⑵卬与x之间的函数表达式为攸=-2尤2+240彳-5400；当售价为50元或70元时，利润为

1600元.

【分析】(1)直接利用待定系数法求出丁与龙之间的函数关系式即可；

(2)当0=1600时，求二次函数的自变量X的值，即可得出答案.

【详解】(1)设丁=丘+匕，才巴x=50,y=80；X=6O,y=60代入得:

50左+6=80

60k+Z?=60

解得

Z?=180,

・•・，月X之间的函数表达式为：y=-2X+180；

(2)由题意得：VP=(X-30)(-2X+180),

=-2%2+240X-5400,

=-2(X-60)2+1800,

.•.当w=1600时，-2(x-60)2+1800=1600,

(x-60『=100

答案第13页，共23页

x-60=±10

=

%]=70,x250

经检验，为=70,%2=50均符合题意.

答：W与x之间的函数表达式为W=_2，+240X-5400;当售价为50元或70元时，利润为

1600元.

【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数及二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握

一次函数和二次函数的在实际生活中的应用.

25.⑴相切,理由见解析

27

(2)PC=y

【分析】(1)连接OC,由AD为切线及3C〃AD,结合垂径定理可得AP平分/B4C,则

可得=再由C£)〃AB及NBCP=NACD可得/3CP=/P0C,则可得

OC±PC,问题得证；

(2)由勾股定理分别求得AM及圆半径，证明△OMCsAOCP,由相似的性质即可求得尸C

的长.

【详解】(1)解：相切；理由如下：

连接OC,

：A。为切线，

APLAD

'：BC//AD,

：.AP1BC,即AP垂直平分BC,

，AP平分/BAC,即/B4C=2/Q4C,

---OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

：.ZPOC=2ZOAC,

：.NBAC=NPOC,

'：CD//AB,

：.ZBAC=ZACD,

ZBCP=ZACD,ABAC=ZPOC,

答案第14页，共23页

NBCP=NPOC,

,：ZPOC+ZOCM=90°,

：.ZBCP+/OCM=90°,

即OC±PC,

，直线PC与O相切；

在Rt^AMC中，由勾股定理得：AMAC1-CM2=781^9=672；

设圆半径为厂，则OM=4W-QA=6&-r，

在RtOMC中，由勾股定理得：(6V2-r)2+32=r2,

解得：厂=纽1,

8

：.OM=6y/2-r=^^；

8

---Z.OMC=ZOCP=90°,ZMOC=Z.COP,

...AOMCSAOCP,

.OMCM

••一，

OCPC

【点睛】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，垂径定理等

知识，综合运用这些知识是关键.

答案第15页，共23页

26.⑴一2a

2„

⑵a=］或a=2

（3）a<或a>2

【分析】（1）把点A的坐标代入二次函数解析式中，变形即可求解；

（2）由（1）得二次函数解析式，与一次函数解析式联立组成二元一次方程组，求得两交点

的坐标，由题意可得关于。的方程，解方程即可求得。的值；

（3）由判别式确定。的范围，根据。的范围、一元二次方程根与系数的关系、二次函数的

图象即可确定。的范围.

【详解】（1）解：二•二次函数>=改+法+2的图像经过点4（2,2）,

••4a+2b+2=2,

b=-2a,

故答案为：-2a；

（2）解：由（1）得二次函数解析式为y=ax-2QX+2,

y=ax2—2ax+2nfx=2

由题意得：f,解得：:‘jy=2'

3=尤y=l

a

即直线与抛物线的两个交点坐标为（工一］，（2,：

2);

由题意得：2、-2：=1孚，

2

解得：〃=亍或〃=2；

（3）解：・・•抛物线与x轴有两个不同的交点,

A=（-2a）2一4ax2>0,

解得：〃<0或。>2；

当a>2时，

对于y=加一2ax+2,令x=0,有y=2,

即抛物线与y轴交点为（。，2）,

答案第16页，共23页

，抛物线必过(2,2)与(0,2),

0<xl<x2,

.•.必有2%+%>0；

当a<0时，对于分之一2ax+2=0,

则由根与系数的关系有：%+马=2,

2%+%=否+(再+%)=玉+2>0,

即网>—2；

Va<0,抛物线对称轴为直线x=l,且再<%,

.,.当X=—2时，y=ax(-2)2-2ax(-2)+2<0,

解得：a<-；

4

综上，a<一"^或。>2.

4

【点睛】本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式、

根与系数的关系，二次函数图象与坐标轴的交点，灵活运用是解题的关键.

27.⑴见解析

(2)4AEG是等边三角形，理由见解析

(3)FG=2AB,理由见解析

【分析】(1)根据要求画出图形即可；

(2)结论：是等边三角形；通过证明AE垂直平分线段。8,证得丝△A£B,

再证明AD〃EG,推出NG=90。，可得结论；

(3)结论：FG=2AB,过点A作AT〃£>F交EG于点T.证明四边形ADFT是平行四边形,

推出仞=叮，再利用全等三角形的性质证明AD=7U,可得结论.

【详解】(1)解：图形如图所示：

答案第17页，共23页

D

A

IZ^\C\

(2)解：猜想AAEG是等边三角形.

理由如下：

如图，设AE交友)于点”，

'：AD=AB,A石平分—B4D,

：.ZDAH=ZBAH

在：AHD与AHB中,

AD=AB

<ADAH=ZBAH,

AH=AH

：._AHD^AHB(SAS),

・・・ZAHD=ZAHB=90。,DH=BH,

•••AE1垂直平分线段05,

:.ED=EB,

在△AED和AAEB中,

AD=AB

•：\AE=AE,

DE=BE

：.^AED^.AEB(SSS),

：.ZADE^ZABE.

答案第18页，共23页

•・•DF=BE,DE=BE,

:・DE二DF,

；・ZDEF=/DFE,

：.Z.EDF+2NDFE=180。.

VZZMB=120°,ZDCB=60°,

在四边形ADCB中，

,/ZDAB+ZABC+ZBCD+ZCDA=360°,

^ABC+^CDA=1SQ°,

,:ZABC=ZADE,

：.