2024版高考数学总复习：圆的方程

第三节圆的方程

考试要求：掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.

-------、必备知识•回顾教材重“四基

一、教材概念•结论•性质重现

1.圆的定义及方程

平面上到定点的距离等于定长

定义

的点的集合（轨迹）

标准圆心：（a加,

(X—[)2+(1—5)2=产(7>0)

方程半径：2

一般A2+干+0X+£V+F=0(加+厅-圆心：（二§2_二号），

方程4片>0)半径：ZD2±E2_4F

2

微提醒・・・

⑴确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质.

①圆心在过切点且与切线垂直的直线上.

②圆心在任一弦的中垂线上.

③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心共线.

⑵方程必+/+为+班+尸=0,当严+1-4丘＞0时，表示圆心为（一5，-1）,半径r=

空的圆;当加+1-4户=0时，表示一个点（一-1）；当加+甘-4辰0时，不

表示任何图形.

2.点明xo,质）与圆（x-aK+（y-6）2=/的位置关系

⑴若加厢宛在圆外，则（去0-力2+（%-6）2＞产.

（2）若题即㈤在圆上，则（8-2）2+（%-62=7.

⑶若加（的功）在圆内，则（的-a[+（%-加2＜y.

二、基本技能•思想•活动经验

1.判断下列说法的正误，对的画“V”，错的画“x”.

⑴确定圆的几何要素是圆心与半径.（V）

（2）方程*+2ax+/=0一定表示圆.（x）

⑶圆*+2x+/+y=0的圆心是（7,9（x）

（4）若点颂的，为）在圆/+/+打+尸=0内，贝!Jx%++++尸＞0.

（x）

2.若坐标原点在圆(x-㈤2+(y+㈤2=4的内部，则实数m的取值范围是()

A.(-1,1)B.(-V5,VS)

C.(一丘,匹D.(-1，1)

C解析：因为原点(0,0)在圆(x-mV+(y+S产=4的内部，

所以(0-㈤2+(o+m)2<4,解得-'l~2<m<故选C.

3.圆必+卢-4x+6y=0的圆心坐标和半径分别是()

A.(2,3),3B.(-2,3),Vj

C.(-2,-3),13D.(2,-3),V75

D解析：圆的方程可化为(x-2产+(y+3猿=13,所以圆心坐标是(2,-3),半径r=4方.故

选D.

4.经过点(1,0),且圆心是两直线x=1与x+y=2的交点的圆的方程为()

A.(x-l)2+/=l

B.U-l)2+(y-l)2=l

C.*+(y-1K=1

D.(x-1/+(y-1产=2

x=7x=1

B解析：由｛‘得｛'

X+y=2,v=7,

即所求圆的圆心坐标为(1,1).

又由该圆过点(1,0),得其半径为1,

故圆的方程为(x-1)2+(y-I)2=1.故选B.

5,已知aGR,方程aV+(a+2)/+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标是,半径

是________

(-2,-4)5解析：由已知方程表示圆，则比=2+2,解得a=2或a=-l.

当a=2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去.

当a=-l时，原方程为*+/+4x+8y-5=0,

化为标准方程为(x+2)2+(y+4)2=25,表示以(-2,-4)为圆心，5为半径的圆.

---------、关键能力•研析考点强“四翼”/---------

考点1圆的方程——基础性

「多维训练」

1.圆心在y轴上，且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是()

A./+/+lOy=0B.A2+j2-10y=0

C./+j2+Wx=0D./+/-10x=0

B解析：根据题意，设圆心坐标为(0,4半径为r,则圆的方程为d+①-产=产.又圆过(3,

1),故32+(1-#=产，解得r=5,可得圆的方程为？+/-107=0.故选B.

2.已知方程炉+/-2(m+3)x+2(1-4/泊7+16/4+9=0表示一个圆，则实数m的取值范围

为()

A.(一，7)B.[-T，4

c.(-y,7]D.(-8,一夕U[l,+8)

A解析：根据题意，方程炉+/-2(。+3)X+2(1-44)/+16凉+9=0,变形得[x-(m+3)产

+[y+(1-4晒F=一7加+6/77+1.

当且仅当-7nf+6/77+1>0,即7加-6/77-1<0时方程表示圆，

解得即0的取值范围为(一《今・故选A.

3.圆心在直线x-2y-3=0上，且过点力(2,-3),夙-2,-5)的圆的方程为

/+/+2jr+4y-5=0解析：方法一：几何法

设点C为圆心，因为点C在直线x-2y-3=0上，所以可设点C的坐标为(2a+3,a).

又该圆经过48两点，所以IG4I=I切，

即“2a+3_型+g+3)2

=7(2a+3+2)2+(a+5)2,解得a=_2>

所以圆心C的坐标为(-1,-2),半径r=4力

故所求圆的方程为(x+1产+(y+2产=10.

方法二：待定系数法

设所求圆的标准方程为(x-4+(y-济=/,

(2-a)2+(-3-b)2^r2,

由题意得｛(—2—a)2+(-5-%=r<

a—2b—3=0,

解得a=-1,b=-2,/=10,

故所求圆的方程为(x+I)2+(y+2猿=10.

方法三：待定系数法

设圆的一般方程为*+/+Ar+Ey+F=0,

则圆心坐标为(―5，—y)-

一§-2x(一分一3=0,

由题意得｛4+9+2D—3E+F=0,

4+25-2D-5E+F=0,

解得。=2,E=4,F=-5.

故所求圆的方程为/+/+2x+4y-5=0.

解题通法

L⑴若已知圆的切线，则圆心在过切点且与切线垂直的直线上.

⑵若已知圆上两点，则圆心在两点构成的弦的垂直平分线上.

2.用代数法求圆的方程，特别是已知圆上三个点时，可以设出圆的一般方程，用待定系数

法求圆的方程.

考点2与圆有关的轨迹问题——综合性

「典例引领」

例D/已知RQ49C的斜边为4?,且4-1,0),5(3,0).求:

⑴直角顶点C的轨迹方程；

⑵直角边8c的中点〃的轨迹方程.

解：⑴设尔，力因为4B,C三点不共线，所以y#0.

因为AC1.BC,所以RAC,kpc=~!.

又幺c=&，人=皂，

所以+j一i，

X-r/X—J

化简得/+j2-2x-3=0.

因此，直角顶点C的轨迹方程为2x-3=0(yN0).

⑵设Mx,y),CU。，为).因为83,0),M是线段及:的中点，由中点坐标公式得x=等,

所以x°=2x-3,y0=2y.

由⑴知，点C的轨迹方程为(x-l)2+/=4(yW0),将两=2x-3,为=2y代人得(2x-4产+(20工

=4,即—=1.

因此动点M的轨迹方程为(x-2)2+/=l(y#0).

同源异考/

将本例的条件变为：点用与两个定点@0,0),R3,0)的距离的比为(试求点用的轨迹方

程.

^x2+y21

解：设点朋x,力，由题意得

>>(x-3)2+y22'

整理得*+j2+2x-3=0.

解题通法

求与圆有关的轨迹方程的方法

原壁H直接根据题设给定的条件列出方程(组)求解的方法

［定义法H根据圆(或直线)的定义列方程(组)求解的方法

［几何法H利用圆的几何性质，得出方程(组)的方法

金〜空找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满

【1工天足L的'关系式的方法

「多维训练」

L点只4,-2)与圆/+/=4上任意一点连线的中点的轨迹方程是()

A.(x-2)2+(7+1猿=1

B.(x-2)2+(y+l)2=4

C.(x+4产+(y-2K=4

D.(x+2)2+(7-1猿=1

xi+4

x-------x-2x_4

A解析：设圆上任意一点为⑶，㈤，中点为(X,力则｛2，即｛7-‘代入

V=号，y1=2丫+2.

3+/=4,得(22一4)2+(2/+2)2=4,化简得(工-2)2+8+1)2=1.故选人.

2.设定点M-3,4),动点N在圆/+/=4上运动，以OM,加为两边作平行四边形MONP,

求点P的轨迹方程.

解：如图所示，设Hx,y),AU,⑸,

则线段OP的中点坐标为6，券

线段肱V的中点坐标为(写，吟.

因为平行四边形的对角线互相平分，

所以＞与，T

整理得d=x’3

y。=y-4.

又点N蜀，％)在圆*+/=4上，

所以(x+3)2+3-4)2=4.

所以点P的轨迹是以(-3,4)为圆心,2为半径的圆,直线与点P的轨迹相交于两点(-1,

刍和(―弓，第，不符合题意,舍去，所以点P的轨迹为(x+3)2+(尸4)2=4,除去两点(一:,

ODOD

苧和(告，

考点3与圆有关的最值问题——应用性

「典例引领」

考向1斜率型、截距型、距离型最值问题

例❷/已知点颂77,刀)为圆C：/+/-4x-14y+45=0上任意一点.

⑴求m+2n的最大值；

⑵求品的最大值和最小值.

解：⑴依题意，圆心。2,7),半径r=242

设777+2/?=。则点M/77,刀)为直线X+2尸，与圆C的公共点，

所以圆心。到该直线的距离d=常

'2V12+22

解得16-2mW/W16+24力.

所以初+2A的最大值为16+2d而

(2)设点0-2,3).

则直线的斜率h上!

m+2

设直线MQ的方程为y-3=瓜x+2),

即kx-y+2A+3=0.

由直线M2与圆C有公共点，

得呸萨也W2任

7k2+1

解得2AW2+43,

BP2-V5<+V3所以；女的最大值为2+73,最小值为2-73.

胴源异考/

本例的条件不变，试求Im?牛“2的最大值.

解：易知。0)在圆外，所以dm?+心"m_0产+⑺_印,所以所求的最大值为圆上

的点到原点距离的最大值.

因为圆心C(2,7),半径「=2上，

所以圆上的点到原点距离的最大值d=丘+乃+2^2=V55+2丘

解题通法

与圆有关的最值问题的3种几何转化法

⑴形如s=■的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.

X—Q.

⑵形如m^ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.

⑶形如m=(x-aK+(y-步的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题.

考向2利用对称性求最值

例❸产已知圆a：(X-2)2+0-3)2=1,圆a：以一3)2+3-4)2=9,MN分别是圆G,G

上的动点，P为X轴上的动点，则EM+I/W的最小值为()

A,5^2-4B.V77-1

C.6-2V?D.V7?

A解析：P是x轴上任意一点，则的最小值为IPCJ-l,同理I制的最小值为IPQ-3,

则1四+1削的最小值为IPGI+IPQI-4.作圆心Q⑵3)关于x轴的对称点。1(2,-3).所

以IPQI+IPCJ=IP。J+IPGINIC£1=542即19+1削=产。11+1收1一4三54，一4.故选

A.

解题通法

求解形如对4+I网(其中M,N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：

(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离.

⑵“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.

「多维训练」

1.若x,yER,且行力一V,则誉的取值范围是

［习，3］解析：x=V7-+1(x^0),此方程表示圆的一半，如图.设Rx,力是此

曲线上的点，则纭表示过点Hx,力以-1,-2)两点直线的斜率.设切线。4的斜率为左

则它的方程为户2=於+1).从而由导=1,解得又刈=3,所以所求范围是3］.

2.设点Hx,y)是圆V+①-3)2=1上的动点，定点/(2,0),氏-2,0),则PA•PB的最

大值为__________

12解析：由题意，知PA=(2—x,—y),PB=(—2—x,—y),

所以PA•PB=/+/-4.

因为点Hx,D是圆f+(y-3)2=1上的点，

所以*+(y-3)2=1,2W/W4,

所以*=-(y-3产+1,

所以PA-PB=-(y-3)2+l+y-4=6y-12.

因为2WyW4,

所以当y=4时，PA-PB的值最大，最大值为6x4-12=12.

课时质量评价(四十五)

A组全考点巩固练

L(2023•烟台模拟)圆心在x轴上，半径为1,且过点(2,1)的圆的方程是()

A.U-2)2+/=1

B.(x+2)2+/=1

C.(x-+(y-3)2=1

D.*+『2)2=1

A解析：设圆的圆心为(a,0),贝N(a-2)2+(0-T)2=\,解得a=2,所以圆的标准方程

是(x-2产+〃=1.故选A.

->->

2.已知点P为圆C：(x-1产+(y-2)2=4上一点，2。一6),仇4,0),则IPA+PBI的最

大值为()

A.V26+2B.V25+4

C.2府+4D,2府+2

C解析：取4?的中点以2,-3),则PA+PB=2PD,IPA+PB|=I2PDI,田DI的最

大值为圆心Q1,2)与以2,-3)的距离d再力口半径r.又d='l+25=岳,所以d+r=T/荔

+2.

->->__

所以IPA+PBI的最大值为2^26+4.

3.圆f+/Tx-"-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是()

A.30B.18

C.6V?D.5V?

C解析：由圆*+/-4x-4y-10=0知圆心坐标为(2,2),半径为W2则圆上的点到直

线x+y-14=0的最大距离为止浮+345=8<2最小距离为史萨-34，=242故最大

距离与最小距离的差为6/2

4.(2023•荷泽模拟)在平面直角坐标系X0中，以点(0,1)为圆心且与直线x-y-1=0相切

的圆的标准方程为()

A.*+『1)2=2

B.u-i)2+y=i

C./+(y-l)2=V?

D.(x-I)2+7=4

A解析：由题意可得圆心为点(0,1),半径为「=*异=V2所以要求的圆的标准方程为

/+(y-1)2=2,故选A.

5.已知圆*+/=4,/1,1)为圆内一点，P,。为圆上动点.若乙期。=90°,则线段PQ

中点的轨迹方程为

/+7-^-/-1=0解析：设做的中点为NX,V).在Rt△阳。中，\PM=\BN\,设。

为坐标原点，连接则QV_LPQ,所以IOfl2=QN|2+|则2=|删2+1AM2,所以Y2+v2

+(V-I)2+(/-l)2=4.故线段PQ中点的轨迹方程为/+J2-x-y-l=0.

6.已知圆Cl：(x+1产+(7-1)2=4,圆G与圆G关于直线x-y-1=0对称，则圆Q的方程

为____________

(x-2产+(户2猿=4解析：设圆G的圆心为GQ,纨圆G:(£+1)2+=-1)2=4的圆心为

G(-l,1),半径为2.因为圆&与圆Ci关于直线x-y-1=0对称，所以点G与点Q关于直

—=-7,=2

线x-y-l=0对称，且圆G的半径为2,则有｛a+1解得｛a'则圆G

X_史一7=0b=_2,

22'

的方程为(x-2)2+0+2)2=4.

7.已知点力(-3,0),%0),动点尸满足LR432I阳.

⑴若点P的轨迹为曲线C求此曲线的方程；

⑵若点Q在直线Ax+y+3=0上，直线为经过点Q且与曲线C只有一个公共点加求QM

的最小值.

解：⑴设点P的坐标为(x,力

则d(x+界+y2=24x-界+y2.

化简可得(x-5产+/=16,此式即为所求.

⑵曲线C是以点(5,0)为圆心，半径为4的圆，如图所示.

由直线上是此圆的切线，连接CQ,CM,

则IQM\=ACQ\2-\CM\2=V|CQ|^-16.

易知当CQDI时，ca取最小值，

又ICQmin=^=442

所以此时IQM的最小值为右2-76=4.

B组新高考培优练

8.（多选题）（2023・辽宁模拟）以直线2x+y-4=0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个

交点的圆的方程可能为（）

A.*+3-4）2=20

B.（X-4K+/=20

C.V+『2）2=20

D.（X-2K+/=20

AD解析：令x=0,贝i」y=4；令y=0,则x=2.所以设直线2x+y-4=0与两坐标轴的交

点分别为40,4）,/2,0）.\AB\=722+42=24五以力为圆心，过5点的圆的方程为V

+（7-4）2=20.以8为圆心,过力点的圆的方程为（x-2产+7=20.故选AD.

9.在平面直角坐标系X0中，已知（X7-2）2+V=5,恁-2理+4=0,贝1J（M-题）2+①]-及）2

的最小值为（）

A-TB-i

C121c77V5

C'-D'—

B解析：由已知得点（m,K）在圆（入-2）2+/=5上，点（四，及）在直线x-2y+4=0上，故⑶

-就2+（71_及产表示圆（x-2户+尸=5上的点和直线x-2y+4=0上点的距离平方，而距离的

最小值为片^-V5=-y,故⑶-就2+（/I-Ja）2的最小值为孑

10.已知实数x,y满足岁+/=4（"、0）,则勿=，区+y的取值范围是（）

A.（-2乃，4）B.[-2乃，4]

C.[-4,4]D.[-4,2何

B解析：*+7=4伊三0）表示圆必+/=4的上半部分，如图所示，

直线J%，+y-m=0的斜率为-43,在y轴上的截距为m当直线V3x+y-m=0过点（-2,0）

时，0=-243.设圆心（0,0）到直线，3x+y-s=0的距离为d,贝心一’即

d<2,

m>-R3,

{1ml解得/£[一2丁3,4].

"7F-2

11.阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常

数欧Q0且A#l）的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点46间的

距离为2,动点P满足网1=4方阳，当P,A,6不共线时，△K48面积的最大值是（）

A.2V?B.V?

R5y?

Cr--D.

3

A解析：设力(1,0),5(-1,0),Rx,y),

则^^=任化简得（户3产+

当点P到轴