2024年中考数学复习：勾股定理常考题型方法讲练

勾股定理常考题型方法讲练

题型方法：解直角三角形

【常见图形及解题方法】

1.如图，两个直角三角形靠墙。

A

解题方法：在RtAABC中,"2=AB2-BC2,在RtA4DC中,AC2=AD2-。加,那么，可列方程AB2-BC2=AD2-CD?,即可求

解边长。

2.如图，两个直角三角形背靠背。

2222

解题方法：在RtAABD中,AD=AB-BD?,在RtAADC中,AD=AC-CD?,那么,可列方程-B£)2=4c2-

即可求解边长.

3.如图.梯子从CE滑行至(JDF。

解题方法:梯子长度不变,即CE=DF,那么在RtACOE中,CE2=0C2+OE2,KRtADOF中,DF2=OD2+OF2.

那么，可列方程(OC2+OE2=OD2+OF)即可求解边长.

4.如图,秋千从AB处,荡到AC处。

解题方法:绳子长度不变,即AB=AC,那么,过C点作CF±AB于点F,连接BC,利用公共边CF列方程求边长，下方四边形CEDF

是矩形。

例1：如图,在^ABC中,AB=14,BC=15,AC=13*AABC的面积.

B

解:过点A作AD±BC交BC于点D,如图所示:

设BD=x,则CD=15-x.

在RtAABD中,AD2=AB2-BD2=142-x2,

在RtAACD中，AD2=AC2-CD2=132-(15-x)2,

142-x2=132-(15-x)2,解得：x=羡，

止匕时止-偌)2=(丁，

.c56

:，4。=与，

.,.△ABC的面积=|xBCx1x15xy=84.

例2:一架梯子AB长2.5m,如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙0.7m.

⑴这个梯子的顶端距地面有多高？

（2）如果梯子的顶端下滑了0.4m.那么梯子底部在水平方向滑动了0.4m吗？为什么?

A、

fl

BB1

【解答】W：(1)AB=2.5m,BC=0.7m,

AC=y/AB2-BC2=2.4m.

答：这个梯子的顶端距地面有2.4米；

⑵在RtACDE中，•.,CD=AC-0.4=2.4-0.4=2m,DE=2.5m,

CE=y/DE2-CD2=V2.52-22=1.5m.

.•.BE=CE-BC=1.5-0.7=0.8m.

答：梯子底部在水平方向滑动了0.8米.

【变式1］如图,在八ABC中,AD_LBC,AB=20,BC=21.AC=13.求AD的长.

【变式2］如图，有一个绳索拉直的木马秋干，绳索AB的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即DE=3米）,且绳索保持

拉直的状态，则此时木马上升的高度为（）

D

A.1米B.米C.2米D.4米

【变式3】如图，梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上,这时梯子下端B与墙角C距离为L5米，梯子滑动后停在DE位置,BD

长0.5米，则梯子顶端A下落了一米.

【变式4］梯子靠在墙上，梯子的底端A到墙根0的距离2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米，现将梯子的底端向外移动到C,

使梯子底端C到墙根0的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至D,那么BD()

A.等于1米B.大于1米C.小于1米D.以上结果都不对

【变式5】如图，梯子AB斜靠在墙面上，AC1BC.AC=BC,当梯子的顶端A沿AC方向下滑x米时，梯子B沿CB方向滑动y米，

则x与y的大小关系是()

A.x=yB.x>yC.x<yD.不确定

【变式6】如图，在RtAABC中,NC=90。,D为BC上一点,AB=4吗BD=AD=5.求CD的长.

题型方法：格点问题

【题目特征】在正方形网格中的计算问题

【常见问题及解题方法】

问题1.求边长、周长。

解题方法：过线段两端点，分别作横线和竖线，把线段放到直角三角形中，两个直角边数方格就可以得到，然后利用勾股定理

即可求边长。

问题2.求角度。

解题方法：求出三边，然后利用勾股定理逆定理求角度。

问题3.求面积。

解题方法：如果是直角三角形，确定出直角边，利用面积公式求边长。如果图形是不规则图形，利用割补法求面积。过最高、

最低点作横线，过最左、最右点作竖线，这样就把图形补成了一个长方形，然后利用长方形面积减去四周空白图形的面积。

问题4.求高。

解题方法：利用等面积法。用底和高表示面积，再用割补法表示面积，两个面积相等列等式求高。

例：如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点叫格点，已知.A4BC是网格中的格点三角形.

(D求BC的长；

⑵求△48c的面积；

(3)求BC边上的高.

C

____

解：(1)由图可知:BC="2+由=V17.

⑵如图：

SABC-'形.DBF‘BCF，ABD^ACE

111

=4x4--2x2lx4--x22x4--x2x3

=16-2-4-3

=7.

⑶过点A作AH±BC于点H,

,*'SABC=5xBCxAH,

7=jxV17xAH,

BC边上的局i为I“：.

【变式1】如图，在4x4正方形网格中，每个小正方形的边长都为1.

(1)求线段AB的长；

⑵求NABC的度数.

c

(1)求A4BC的周长；

(2)BC边上的高是多少?

B

【变式3】如图，四边形ABCD的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1.

(1)BC=,AD=，连接BD,判断△ABD的形状为一三角形；

(2)求四边形ABCD的面积.

【变式4】如图，每个小正方形的边长都为1.

(1)求四边形ABCD的周长及面积；

(2)连接BD,判断△BCD的形状.

A

题型方法：蚂蚁爬行路径

一、长方体最短路径

如图的长方体盒子，蚂蚁从A爬行到B点的最短路径是多少?

1.第一种爬行方式：

展开后

对应的最短路径：y/a2+(b+c)2

2.第二种爬行方式

展开后

对应的最短路径=yja2+(b+c)2

3第三种爬行方式

展开后

对应的最短路径=Vc2+(a+b)2

4.第四种爬行方式

展开后

A

对应的最短路径=y/c2+(a+by

5第五种爬行方式

B

展开后

对应的最短路径：=y/b2+(a+c)2

6第六种爬行方式

展开后

对应的最短路径="2+（Q+c）2.

综上，最短路径=［最长边2+（中长边+最短边）2.

二、圆柱体最短路径

如图，圆柱底面半径为r,高为h,AC为底面直径，BC±AC,蚂蚁要从A点爬行至B点,爬行的最短路径长如何计算。

把圆柱侧面展开如图所示，那么AC=7tr,

所以，最短路径AB=+（仃）2.

三、楼梯最短路径

如图，楼梯的垂直高度为BC,水平长度为AB,楼梯的宽度为AD,蚂蚁要从D点爬行至C点，爬行的最短路径长如何计算。

把楼梯面展开如图所示，

所以，最短路径为：

DC=/AD2+（AB+BC）2=J楼梯宽2+（水平距离+垂直距离）2.

【变式1］如图,长方体盒子的长宽高分别是15、10、20。BC=5,一只蚂蚁要从A点爬到B点，爬行的最短路径为

【变式2】如图，已知圆柱体盒子的高为10,底面半径为3,一只蚂蚁从A点爬行至B点的最短行走距离是

A

【变式3］某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下,

铺完这个楼道至少需要一元，一只蚂蚁从D点爬行至C点，最短路径是_ni.

题型方法：直角三角形翻折问题

在翻折问题中，常需要利用勾股定理列方程求解，那么如何设未知数呢？

一般情况下，设翻折前的某一边(不是折痕)为x,然后利用翻折的性质表示其他边长。

根据那个直角三角形列方程呢？

通常，根据未重合部分的某一直角三角形，利用勾股定理列方程。

翻折类型一

1.图形:

2.条件及问题:如图,在RtAABC中,/C=90。,将NC沿着AD翻折,AC边刚好落在AB边上,C点落在E点处。若AC=m,BC=n,

贝！JCD=_,BD=___,AD=

3.解题方法：

设CD=x,那么BD=n-x,

根据翻折的性质,AE=AC=m,DE=CD=x,

根据RtAABC,利用勾股定理可得：AB=Vm2+n2,

所以，BE=y/m2+n2—m,

__________2

在RtABDE中，根据勾股定理列方程：x2+(Vm2+n2-m)=(jn—x)2.

(翻折后，未重合部分是RSBDE,所以，利用它的三边列方程)

翻折类型二

1.图形:

2.条件及问题:如图,在RtAABC中,NC=90。,将NB沿着DE翻折,B点刚好和A点

重合。若AC=m,BC=n,贝！］CD=___,BD=_,AD=____.

3.解题方法：

设BD=x,那么CD=n-x,AD=BD=x,

根据翻折的性质,AD=BD=x,

根据RtAACD,利用勾股定理可得：m2+(n-x)2=x2.

(翻折后，未重合部分是RtAACD,所以，利用它的三边列方程)

【变式1】如图,有一块直角三角形纸片,两直角边AB=6,BC=8,将△48c折叠使AB落在AE处,折痕为AD,则BD的长为.

【变式2］如图.在RtAABC中，ZC=90°,AC=16,BC=12,将ABCD沿着BD折叠,使C点落在边AB上的点E处，贝！］折痕BD长等

于一

【变式3】如图，在RtAABC中,zC=90。,4c=6,BC=8,,AD平分则BD=CD=.AD=

题型方法：矩形翻折问题

翻折类型一：

1.图形:

2.条件：如图，将B点沿着AE翻折，翻折后落在对角线AC上的F点处.

3.解题方法：设BE=%，用x表示出其他边长，利用！RtACEF三边关系,建立方程，求出x.

翻折类型二：

1.图彩

2.如图,将D点沿着AE翻折,翻折后落在BC边上的F点处.

3.解题方法:设DE=x,用x表示出其他边长,利用RtACEF或RtAABF三边关系,建立方程，求出x.

翻折类型三：

L图形:

2.条件：如图，将B点沿着对角线AC翻折，翻折后落在矩形外的E点处，CE和AD交于点F.

3.解题方法：

在这个翻折模型中，先利用翻折的性质得到：ZACE=ZACB,再利用平行的性质得到：NCAD=NACB,所以NCAD=N

ACE,从而得至UAF=CF,找至（JAF=CF是解题的关键。

一般情况下，长方形的长和宽是已知的，所以设DF=x,

所以AF=CF=-|x-x.

然后，用x表示出其他边长，利用RtACDF或者RtAAEF三边关系,建立方程，求出x.

翻折类型四：

1.图形

2.条件：如图，将AB边沿着EF翻折，翻折后使得A点和C点重合，B点落在G点处。

3.解题方法：

在这个翻折模型中，先利用翻驻斤的性质得至I」：UEF=NCEF,,再利用平行的性质得至I」：NAEF=NCFE,所以NCEF=NC

FE,从而得至UCF=CE=AE,找至1]CF=CE=AE是解题的关键.

设AE=x,

所以,CE=CF=x,DE=-^-x,FG=BF=K-X,

然后，用x表示出其他边长，利用RtACDE或者|Rt△CFG三边关系，建立方程，求出x.

【变式1】如图,在矩形ABCD中.48=6,BC=10,将矩形沿着AE折叠，使点D落在BC边上的F点处，则（CE=.

【变式2］如图,在矩形ABCD中,A