高中数学竞赛真题分类汇编专题多项式

竞赛专题13多项式(50题竞赛真题强化训练)x²-x²的取值范围为的积为-32,则实数k=比数列，则a³c-b³=ax³+by³=16,ax⁴+by⁴=42.则ax⁵+by⁵=形式，且不能被3整除的数有个.y=kx+b与曲线C有且只有一个交点，则b的取值范围为式，则a—b的值是14.(2019-江西·高三竞赛)设x这种乘积的和为常数整系数多项式的乘积，所有n的可能值的和为为整数.则实数a的值为_的最小值为P(x)是一个6次多项式且满足P(0)=1,P(k)=2*¹(k=1,2,…,6).用f(x)=x⁵+qx⁴+a₂x³+a₃x²+a₄x+a₅,则ab+bc+ca的取值范围是24.(2018·全国·高三竞赛)设实数a使得关于x的一元二次方程5x²-5ax+66a-1715=0的两个根均是整数.则所有这样的a是 _ 证明：a(1-a³=b(1-b)³=c(1-c)³=d(1-d)³.(1)可数个可数集的并为可数集；(2)存在超越数.是一个三元多项式.另两个恰为方程x²+(a-3)x+a²-3a=0的两实根.试求p³+q³+r³的最小可能值.44(x,y,x)(x≤y≤z).的最小值.45.(2019-江苏·高三竞赛)已知实数a、b、c均不等于0,且ab+bc+ca=0的所有实数a、b、c,都有f(a-b)+f(b-c)+f(c-a)=2f(a+b+c).竞赛专题13多项式(50题竞赛真题强化训练)【答案】-8【解析】【分析】【详解】故答案为：-8.【解析】【详解】的积为-32,则实数k=【答案】86【解析】【详解】设多项式x⁴-18x³+kx²+200x-1984的四个根为x、X₂、X₃、x,则由韦达定理，得62(xj+x₂)-32(x₃+x₄)=-200.又x₁+x₂+x₃+x₄=18,所以故答案为86个分数的值等于【答案】【解析】【详解】是一个既约分数，故当n=3时，该分数是既约分数.故答案为5.(2019·全国·高三竞赛)已知关于x的方程x³+ax²+bx+c=0的三个非零实根成等比数列，则a³c-b³=【解析】【详解】故答案为0【答案】82【解析】【分析】【详解】4⇔(1-b²)(1+b)+(1-a²)(1-a)=4(1+a⇔(a-b)[(a-b)²+3ab]-(a-b)²-2ab-(a-a⁵-b⁵=(a²+b²)(a³-b³)-a²b²(a-b)=82.故答案为：82.ax³+by³=16,ax⁴+by⁴=42.则ax⁵+by⁵【答案】20【解析】【详解】→ax⁵+by⁵=42(x+y)-16xy=20.故答案为20【解析】解得-2<k<0.又由k∈Z,知k=-1.由消去y,得x²-3x+1=0.x₁+x₂=3,x₁x₂=1.有个.【答案】无数【解析】【详解】取a=b+1,c=ab-k.由b的任意性知，方程有无数个解.故答案为无数β.若|α-p|=1,则p=【解析】【详解】形式，且不能被3整除的数有个.【答案】501.【解析】【详解】故答案为501y=kx+b与曲线C有且只有一个交点，则b的取值范围为【答案】0.【解析】【详解】法1:由题设，该方程对任意的k∈R,均有且又只有一个实数解，故b的取值范围为0.法2:设方程的根为x₀,则x³-3x²+(2-k)x-b=(x-x₀)(x²+mx+n).由题意得，方程x²+mx+n=0无解，或方程的根为x₀对比两边的系数得：(1)方程(*)无解时，则即b>9x₀对任意x₀≠0恒成立，故b的取值范围为0.。矛盾.综上所述，b的取值范围为0.故答案为：0式，则a-b的值是【解析】【分析】结合因式分解待定系数x²+axy+by²-5x+y+6=(x+y-2)(x+by+m),即可得解.【详解】即x²+axy+by²-5x+y+6=x²+(b+1)xy+by²+(m-2)x+(m-2b)y-2m解得所以a-b的值是1.故答案为：1【点睛】此题考查多项式因式分解，利用待定系数法求解系数，也可利用赋值法，结合特殊值求解.【答案】123【解析】【详解】由所以故答案为：123.【解析】【详解】故答案为：16815.【答案】192【解析】【详解】或(3,1)若(a,d)=(1,3),则-5=1(-1)=(1-b+c)(-3+e),所以(-3+e)|(-5),得e=-2,2,又得e³=3(ne-3n-6),有3|e,矛盾.若(a,d)=(3,1),一方面由一5=(-1)得(e—1)(-5),有e=-4,0,2,6;另一方面f(e)=0,得3e³-ne-n-2=0,故可以求得n的值为38,-2,26,130.故答案为：192.为整数.则实数a的值为_【答案】4024【解析】【详解】(x+1)(x₂+1)=2011.又因为2011为质数，所以，或故a=0(舍)或a=4024.【答案】108.【解析】【详解】②③故→9a²-4ab+1≥0→5a²+1≥4a(b则故答案为108 【答案】625【解析】【详解】由韦达定理得=125(4-x₃)(4-x)(4-x₂)=625.【解析】【详解】【答案】【解析】【详解】【答案】24【解析】【详解】【解析】【详解】由题设得bc=a²-4a-5,b²+c²=-a²+10a+11.实根.【答案】870【解析】【详解】(因为5与5x-66互质)一0⇔5x-66=±1或±4219(因为4219是质数)⇔x=13或857.所以，a=13+857或13+13或857+857,即a=870或26或1714.【详解】数根x,x₂,x₃.则max{x,x,x}的最大值为【答案】2【解析】【详解】【解析】【详解】【答案】4x⁴+ax³+(b-2)x²-ax+1=0有个不同的实数根.【答案】4【解析】【分析】【详解】设x₁与x₂是方程x²+ax+b=0的两个不同的根.=x²-(x+x₂)x³+(x₁x₂-2)x²+(于是x=0,是x=0却明显不是它们的根.故答案为：4.实数，m为这5个实根中最大的根，则m的最大值为【解析】【详解】所以m的最大值为4.故答案为：4.二、解答题(共0分)【解析】【分析】【详解】,,若x₃<x₁<x₂<0<x₄,则矛盾.【答案】证明见解析【解析】【分析】【详解】=xyz-2020(xy+yz+zx)+2020²(x+y+故x、y、z中至少一个为2020.【解析】【详解】【答案】15【解析】【分析】根据x+y+xy=8知x+y+xy+1=9,即(1+x)(1+y)=9,同理对方程组变形，作商求解.【详解】由x+y+xy=8知x+y+xy+1=9,即(1+x)(1+y)=9同理可得故答案为：15【点睛】此题考查解三元二次方程组，涉及利用因式分解整体代入求解处理能力要求较高.【解析】【详解】将n=1,n=2代入检验均满足题意，所以n=1,n=2为所求.【答案】见解析【解析】【详解】(1)可数个可数集的并为可数集；(2)存在超越数.【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【详解】进行自然数编号).将x'与对应(i、j均为正整数),则为有理数.故I中有元素与有理数集中的元素一一对应(2)设所有i次整系数多项式的根构成的集合为I.用数学归纳法证明.对固定的a₁、a。有可数种取值，又a₁有可数种取值，由(1)知可数个可数集的并为可又R为不可数集，故超越数一定存在.是一个三元多项式.【答案】【解析】【详解】故【答案】(1)见解析；(2)c=1,t=2【解析】【详解】另两个恰为方程x²+(a-3)x+a²-3a=0的两实根.试求p³+q³+r³的最小可能值.【解析】【详解】当p=2,q=2,r=-1时，可取到最小值且符合条件.:【答案】见解析【解析】【详解】记n=2006,并定义②由代数基本定理有4p(x)-(2x+1)q(x)=c(x-1)(x-2)…(x-n).③c=4-2(a₁+a₂+…+a).代入式③可得(x,y,x)(x≤y≤z).【解析】【详解】考虑以x、y、z为根的多项式f(1)=(t-x)(t-y)(t-z)=t³-(x+y+x)r²(1)当x=1时，为整数.(2)当x=2时若y=2,则只能是z=1,与z≥y=2矛盾.【答案】【解析】【详解】设正n边形的中心对应的复数为a.将复平面的原点平移到a后，则该正n边形的顶点均匀分布在一个圆周上，即它们是方程(x-a)"=b(b是某个复数)的解故此正n边形的面积不小于而方程x"=1的n个根在复平面上对应一个正n边形的n个顶点，a-b的取值范围.【答案】【解析】【分析】【详解】又-a=s+t,b=st,的最小值.【解析】【详解】一方面，当故a>0,b>0.从而有设,则,的值.【解析】【分析】设a,b,c为方程(t-a)(t-b)(t-c)=0的三个实数根，根据题设条件，化简整理得到代入方程，求得进而得到代入即可求解.【详解】设a,b,c为方程(t-a)(t-b)(t-c)=0的三个,#=4+4+4=12.【点睛】本题主要考查了代数式的运算，以及方程根的应用，其中解化简abc的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.【解析】【详解】②在式口中分别令x=-3,,1.②n+1、n+2两两之间的最大公因数为1、2、3,其中两个奇数互质，则为3“、因此，这两个偶数为8、6或16、18.前者不符，后者得到另两个奇数为15、17或17、19,均导致矛盾.A∩Bs{3}.有质因数2、3、5、7及13(或17),矛盾.中心的轨迹方程.【解析】【详解】②②其中，参数【解析】【详解】(1)必要性y²-py,+r=0(i=1,2).-p²(xy+x₂y₂)+pr(xj+x₂)-pq(y₁+y₂)+2qr-2qr=1.因为p≠0,所以，即(2)充分性.p⁴=1+p⁴(q-r)²+2p²(q+r)≥2p²|q-r+2p²(q+r).p²(q-r)+1=-p(y₁-y₂),则故f(a-b)+f(b-c)+f(c-a)=2f(a+b+c).【解析】【详解】f(a-b)+f(b-c)