2024年中考数学一轮复习：与圆有关的位置关系 讲义

2024年中考数学一轮复习专题24与圆有关的位置关系（讲义）

।似||复习目标

1.探索并了解点和圆、直线和圆以及圆和圆的位置关系.

2.知道三角形的内心和外心.

3.了解切线的概念，并掌握切线的判定和性质，会过圆上一点画圆的切线.

।晤考点梳理।

考点1：点与圆的位置关系

设。。的半径是r,点P到圆心。的距离为d,则有:

d<ru>点P在。0内；

d=ru>点P在上；

d>ru>点P在。O外。

考点2：直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离=>d>r=>无交点；

2、直线与圆相切nd=rn有一个交点；

3、直线与圆相交nd<rn有两个交点；

考点3：切线的性质与判定定理

1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线;

两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可

即：,:MNLOA且MN过半径OA外端

...■V是。。的切线

2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）

推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：

即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

考点4：切线长定理

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条

切线的夹角。

即：•••4、可是的两条切线

：.PA=PB；P0平分NBPA

考点5：三角形的内切圆和内心

（1）三角形的内切圆

与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

（2）三角形的内心

三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。

注意：内切圆及有关计算。

（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。

（2）aABC中，ZC=90°,AC=b,BC=a,AB=c,则内切圆的半径片"J。

2

（3）SAABC=—r（（z+b+c）,其中a,b,c是边长，r是内切圆的半径。/—■

（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。人仁不

如图，BC切。0于点B,AB为弦，NABC叫弦切角，NABC=ND。

B

典例引领

【题型1：点、直线与圆位置关系的判定】

【典例1】（2023•宿迁）在同一平面内，已知。。的半径为2,圆心。到直线/的距离为3,点P为圆上的

一个动点，则点P到直线I的最大距离是（）

A.2B.5C.6D.8

>___________________

号即时战测

1.（2022•六盘水）如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（）

干的Z先■

方—一公益叫无一

A.相切B.相交C.相离D.平行

2.（2021•浙江）已知平面内有。。和点N,B,若。。半径为2c〃z,线段ON=3cm,OB=2cm,则直线4B

与O。的位置关系为（）

A.相离B.相交

C.相切D.相交或相切

W曲例用辐

【题型2：切线的判定与性质】

【典例2】（2023•盐城）如图，在△A8C中，。是/。上（异于点4,C）的一点，。。恰好经过点/,B,

4D_LC3于点。，且48平分/C4D.

（1）判断3C与。。的位置关系，并说明理由.

（2）若/C=10,£>C=8,求。。的半径长.

，即时检测

1.（2023•河南）如图，与。。相切于点/,P。交。。于点3,点C在我上，且CB=C4.若。/=5,

卫4=12,则C4的长为

2.（2023•武汉）如图，在四边形4BC。中，AB//CD,AD±AB,以。为圆心，4D为半径的弧恰好与2c

相

切，切点为E，若空」，则sin。的值是（）

CD3

A.2B.适C.3D.近

3344

3.（2023•内蒙古）如图，48是。。的直径，E为OO上的一点，点C是众的中点，连接3C,过点C的直

线垂直于3E的延长线于点。，交A4的延长线于点P.

U）求证：尸C为。。的切线；

（2）若PC=2®BO,PB=1Q,求BE的长.

4.（2023•东营）如图，在中，AB=AC,以48为直径的。。交3C于点。，DELAC,垂足为£.

（1）求证：DE是。。的切线;

(2)若/C=30°,CD=2M，求BD的长.

AE

■・史例即编

【题型3：三角形的外接圆和内切圆】

【典例3】（2021•毕节市）如图，。。是△/8C的外接圆，点E是△NBC的内心，/E的延长线交3C于点

F,交。。于点D,连接以3BE.

<1）求证：DB=DE；

（2）若AE=3,DF=4,求。8的长.

、加时桧91

1.（2023•攀枝花）己知△N8C的周长为/,其内切圆的面积为irr2,则△NBC的面积为（）

A.L/B.—miC.rlD.nrl

22

2.（2020•济宁）如图，在△43C中，点。为△48C的内心，ZA=60°,CD=2,BD=4.则△D2C的面

积是（）

A.4mB.2愿C.2D.4

3.（2023•镇江）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步.问勾中容圆径几何？”译文：今有一个

直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多

少？书中给出的算法译文如下：如图，根据勾、股，求得弦长.用勾、股、弦相加作为除数，用勾乘以

股，再乘以2作为被除数，商即为该直角三角形内切圆的直径，求得该直径等于一步（注：“步”为

4.（2023•湖州）如图，在RtzMBC中，NNC8=90°,点。在边/C上，以点。为圆心，OC为半径的半

圆与斜边48相切于点。，交04于点E,连结。2.

（1）求证：BD=BC.

（2）已知。C=l,N/=30°,求48的长.

考基

选择题（共8小题）

1.平面内，已知。。的半径是8c机，线段7c加，则点P（）

A.在。。外B.在。。上C.在。。内D.不能确定

2.已知三角形的周长为12,面积为6,则该三角形内切圆的半径为（）

A.4B.3C.2D.1

3.如图，PA.PB、CQ是。。的切线，/、B、E是切点，CD分别交线段B4、PB于C、。两点，若/APB

=40°,则NC。。的度数为（）

A.50°B.60°C.70°D.75°

4.已知。。的半径等于5,圆心。到直线/的距离为6,那么直线/与。。的公共点的个数是（）

A.0B.1C.2D.无法确定

5.已知和直线/相交，圆心到直线/的距离为10cm,则OO的半径可能为（）

A.11cmB.10cmC.9cmD.8cm

6.如图，已知△45C中，AB=AC,ZABC=70°,点/是的内心，则N5/C的度数为（）

A.40°B.70°C.110°D.140°

7.如图，48与。。相切于点3,的延长线交OO于点C,连接2C若//=36°,则NC的度数为（

8.如图，AB为。。的直径，CD切。。于点C,交A8的延长线于点。，且CO=CD,则//的度数为（

二.填空题（共4小题）

9.如图，已知乙4。2=30°,又为08边上任意一点，以M为圆心，2cm为半径作OM,当（W=cm

时，与CU相切.

O.VB

10.如图，4B是O。的直径，点C为。。上一点，过点C作。。的切线，交直径48的延长线于点O,若

ZABC=65°,则/。的度数是度.

8是切点.若/尸=50°,则NNO8

12.如图是一块直角三角形木料，ZA=90°,AB=3,AC=4,木工师傅要从中裁下一块圆形木料，则可

裁圆形木料的最大半径为

三.解答题(共3小题)

13.如图，是。。的直径，C是上的一点，直线上W经过点C,过点/作直线的垂线，垂足为

点、D,且/C平分/A4D

(1)求证：直线是。。的切线；

(2)若4D=4,ZC=5,求O。的半径.

14.如图，为的直径，C为。。上一点，。为/C的中点，过C作的切线交。。的延长线于E,

交的延长线于R连EN.

(1)求证：EA与。O相切；

(2)若CE=3,CF=2,求。。的半径.

15.如图，已知，8E是的直径，8c切于8,笠DE//OC,连接CD并延长交BE的延长线于点/.

(1)证明：CD是。。的切线；

(2)若4D=2,AE=\,求CD的长.

A____

【J力根升

一.选择题(共6小题)

1.如图，Rt4/BC中，ZACB=90°,点。是内心，若C0=2,△/8C的周长为16,则△/2C的面积为

()

A.工B.1C.也D.V3

23

3.如图，已知空间站/与星球3距离为0,信号飞船C在星球2附近沿圆形轨道行驶，B,。之间的距离

为b.数据S表示飞船。与空间站4的实时距离，那么S的最大值是（）

JC

A.aB.bC.a+bD.a-b

4.在平面直角坐标系中，以点N（4,3）为圆心、以R为半径作圆4与x轴相交，且原点。在圆/的外部,

那么半径R的取值范围是（）

A.0<7?<5B.3<7?<4C.3<R<5D.4<R<5

5.在平面直角坐标系xQy中，以点（-3,4）为圆心，4为半径的圆与x轴的位置关系是（）

A.相交B.相离C.相切D.无法判断

6.如图，PA,P3分别与。。相切于N,3两点，ZC=55°,则/尸等于（）

二.填空题（共4小题）

7.在《九章算术》卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如

图，今有直角三角形勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆

（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径为一步.

仇

A.

*

8.如图，PA,P3分别与。。相切于4,3两点，ZP=60°,PA=6,则。。的半径为

9.如图，在等边三角形48c中，BC=2,若。。的半径为1,尸为边上一动点，过点P作。C的切线尸

。，切点为0,则尸。的最小值为

10.如图，已知0P的半径为1,圆心P在抛物线y=/x2-l上运动，当。尸与X轴相切时，请写出所有符

11.如图，△48C中，AB=AC,点、D为BC上一点、,^.AD=DC,过/,B,。三点作。。，/£是。。的

直径，连接。£.

（1）求证：/C是。。的切线；

（2）若sinC=刍，AC=6,求。。的直径.

5

12.如图，在中，ZABC^90°,以48为直径的O。交/C于点£,点。是边上的中点，连

接DE.

（1）求证：与。。相切;

（2）连接。。交DB于点尸，若。。的半径为3,DE=4,求亚的值.

CF

13.如图，N8是。。的直径，BC交。0于点、D,£是BD的中点，连接4B交BC于点尸，ZACB=2ZEAB.

（1）求证：/C是。。的切线;

(2)若cosC=2,4c=6,求3尸的长.

3

1.（2020•广州）如图，RtZUBC中，ZC=9Q°,AB=5,cos/=当，以点。为圆心,r为半径作02，当

5

r=3时，与/C的位置关系是（）

B.相切C.相交D.无法确定

2.（2023•湘西州）如图，N3为。。的直径，点尸在的延长线上，PC,PD与。。相切，切点分别为C,

3.（2020•泰州）如图，直线垂足为〃点P在直线6上，PH=4cm,。为直线6上一动点，若以1

c机为半径的OO与直线。相切，则。P的长为

4.（2021•青海）点P是非圆上一点，若点P到。。上的点的最小距离是4cm,最大距离是9cm,则。。的

半径是.

5.（2023•黑龙江）如图，是。。的直径，为切。。于点/,PO交。。于点C,连接8C,若/B=28

则/P=_______________

6.（2022•黔东南州）如图，在△48C中，NN=80°,半径为3c加的。。是△NBC的内切圆，连接。8、O

C,则图中阴影部分的面积是cm?.（结果用含豆的式子表示）

7.（2023•鄂州）如图，为。。的直径，£为。。上一点，点C为尼的中点，过点C作C£>_L4B,交AE

的延长线于点。，延长DC交的延长线于点E

（1）求证：CD是。。的切线；

（2）若DE=1,DC=2,求。。的半径长.

8.（2023•辽宁）如图，是。。的直径，点C,E在。。上，NC42=2NE4B,点厂在线段48的延长线

上，且

（1）求证：斯与OO相切；

(2)若BF=l,smZAFE=^-,求3c的长.

5

9.（2023•眉山）如图，△48C中，以为直径的。。交于点E,AE平分/B4C,过点E作即_L/C

于点D,延长DE交Z8的延长线于点尸.

(1)求证：尸£是。。的切线；

(2)若sin/P=」，BP=4,求CO的长.

3

10.(2023•朝阳)如图，以△45。的边4g为直径作。0,分别交4C,BC于点E,点F在BC上,ZC

DF=AABD.

(1)求证：。方是。。的切线；

(2)若前=症，tan/C。尸=3,BC=历,求。。的半径.

■3

A

:

[D

C

BEF

答案与解析

复习目标h

1.探索并了解点和圆、直线和圆以及圆和圆的位置关系.

2.知道三角形的内心和外心.

3.了解切线的概念，并掌握切线的判定和性质，会过圆上一点画圆的切线.

1考点梳理

考点1：点与圆的位置关系

设。。的半径是r,点P到圆心。的距离为d,则有:

d<ru>点P在。0内；

d=ru>点P在上；

d>ru>点P在。0外。

考点2：直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离=>d>r=>无交点；

2、直线与圆相切nd=rn有一个交点；

3、直线与圆相交nd<rn有两个交点；

考点3：切线的性质与判定定理

1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线;

两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可

即：,:MNLOA且MN过半径0A外端

...■V是。。的切线

2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）

推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：

即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

考点4：切线长定理

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条

切线的夹角。

即：•••4、可是的两条切线

：.PA=PB；P0平分NBPA

考点5：三角形的内切圆和内心

（1）三角形的内切圆

与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

（2）三角形的内心

三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。

注意：内切圆及有关计算。

（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。

（2）AABC中，ZC=90°,AC=b,BC=a,AB=c,则内切圆的半径片”竺^。

2

（3）SAABC=—r（（z+b+c）,其中a,b,c是边长，r是内切圆的半径。（---、

（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。A（\,0

如图，BC切。0于点B,AB为弦，NABC叫弦切角，NABC=ND。

B

史典例用领

【题型1:点、直线与圆位置关系的判定】

【典例1】（2023•宿迁）在同一平面内，己知。。的半径为2,圆心。到直线/的距离为3,点尸为圆上的

一个动点，则点P到直线/的最大距离是（）

A.2B.5C.6D.8

【答案】B

【解答】解：如图，由题意得，OA=2,OB=3,

当点尸在80的延长线与的交点时，点P到直线/的距离最大，

此时，点尸到直线/的最大距离是3+2=5,

故选：B.

p

Vsonitti

1.（2022•六盘水）如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（)

A.相切B.相交C.相离D.平行

【答案】B

【解答】解：根据直线与圆的位置关系可得，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系相交，

故选：B.

2.（2021•浙江）已知平面内有。。和点/,B,若。。半径为2c相，线段。4=3cw,OB=2cm,则直线N5

与O。的位置关系为（）

A.相离B.相交

C.相切D.相交或相切

【答案】D

【解答】解：。。的半径为2cm,线段。4=3cw,OB2cm,

即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，

点/在。。外，点8在。。上，

二直线A8与。。的位置关系为相交或相切，

故选：D.

W典例用领

【题型2：切线的判定与性质】

【典例2】（2023•盐城）如图，在△NBC中，。是NC上（异于点，，C）的一点，。。恰好经过点B,

AD_LCB于点。，且48平分/C4D

(1)判断3c与。。的位置关系，并说明理由.

(2)若/C=10,DC=8,求。。的半径长.

【答案】(1)8c与相切，理由见解答；

(2)。。的半径长为」立.

4

【解答】解：(1)与。。相切，理由如下:

如图，连接。8,

'：OA=OB,

：.NOAB=NOBA,

'：AB平分NCAD,

ZDAB=ZCAB,

：.NDAB=NOBA,

J.AD//OB,

"：ADLCB,

J.OBLCB,

：。8是O。的半径，

.••8C与。。相切；

(2)VZZ)=90°,/C=10,0c=8,

•',^=VAC2-DC2=6,

,：AD//OB,

.OB=OC

"AD而’

•.•一O―B一_-1-0--OA-,

610

"：OA=OB,

：.OB=^-,

4

...O。的半径长为四.

4

D

1.（2023•河南）如图，与O。相切于点力,尸。交。。于点8,点C在上，且CB=C4.若。/=5,

卫4=12,则C4的长为—也

—3—

：.ZOAP=90°,

'：OA=OB,OC=OC,CA=CB,

:.△OAC冬AOBC(SSS),

：.ZOAP=ZOBC=90°,

在RtZ\CM尸中，OA=5,为=12,

•••0P=VOA2+AP2=V52+122=3

「△CMC的面积+/XOCP的面积=4O4P的面积,

LOA•AC+—OP'BC=—OA・AP,

222

OA'AC+OP-BC^OA-AP,

・・・5/C+135C=5X12,

：.AC=BC=^-,

3

故答案为：IP.

3

2.（2023•武汉）如图，在四边形/BCD中，AB//CD,ADLAB,以。为圆心，/£＞为半径的弧恰好与3C

相

切，切点为E,若空」，则sin。的值是（）

CD3

A.2B.近C.3D.近

3344

【答案】B

【解答】解：连接。8、DE,设/8=%，

..AB=1

,CDT

:・CD=3AB=3m,

是。。的半径，AD1AB,

・・・45是。。的切线，

,/。。与5C相切于点

：.BCLDE,EB=AB=m,ZCBD=ZABD,

•:AB〃CD,

：./ABD=/CDB,

:・/CBD=NCDB,

:・CB=CD=3m,

:・CE=CB-EB=3m-m=2m,

•：NCED=90°,

^=VCD2-CE2=V(3m)2-(2m)2=后'

/.sinC=^=2Z§JB.=2ZL,

CD3m3

故选：B.

3.(2023•内蒙古)如图，A8是。。的直径，£为。。上的一点，点C是AE的中点，连接3C,过点。的直

线垂直于3E的延长线于点D,交A4的延长线于点P.

(1)求证：PC为。0的切线；

(2)若PC=2®BO,依=10,求3E的长.

(1)证明：连接。C,

:点C是AE的中点,

，ZABC=NDBC,

；OC=OB,

：.ZABC=ZOCB,

NDBC=NOCB,

：.OC//DB,

■:PDLBD,

：.PD±CO,

，PC为。。的切线;

(2)解：连接NE,设O5=OC

:PC=2®BO=2®r,

OP=Vr2+（2V2-r）2=3%

・"8=10,

.,.3r+r=10,即r=—.

2

'JOC//DB,

：.△PCOS^PDB,

•.•-0-C=-P-0-,

BDPB

_5_15_

.~2~T

••----z:------,

BD10

：.BD=^-,

3

,：AB是O。的直径，

C.AEVBD,

J.AE//PD,

•.•-B-E=BA'，

BDBP

.BE5

,•叵F，

:.BE="

3

4.（2023•东营）如图，在△NBC中，AB=AC,以48为直径的O。交2c于点。，DELAC,垂足为E.

（I）求证：是。。的切线；

【答案】（1）证明见解答；

（2）前的长是竽.

【解答】（1）证明：连接OD,则。。=。2,

：.4ODB=4B,

'JAB^AC,

:./C=/B,

：./ODB=/C,

：.OD//AC,

:DE_L4C于点E,

：./ODE=NCED=90°,

：。£>是。。的半径，DELOD,

是。。的切线.

(2)解：连接ND,

,：AB是。。的直径，

AZADB=90°,

：.AD±BC,

;AB=AC,CZ)=2禽，

:.BD=CD=2M，

'：ZB=ZC=30°,

：.AD=BD'tan30°=2^X近=2,

3

"：OD^OA,ZAOD=2ZB^60°,

△NOD是等边三角形，

；.OD=AD=2,

VZB(9r>=180°-N/OD=120°,

.._120KX2_4几

,•-----------,

BD1803

.•.而的长是也.

¥典例眄

【题型3：三角形的外接圆和内切圆】

【典例3】（2021•毕节市）如图，。。是△NBC的外接圆，点E是△ABC的内心，/£的延长线交3c于点

F,交。。于点。，连接AD,BE.

(.1)求证：DB=DE；

(2)若/E=3,DF=4,求。3的长.

D

【答案】（1）见解析；

（2）6.

【解答】（1）证明：：点£是△A8C的内心，

.•./£平分N8NC,BE平分NABC,

：.ZBAD=ZCAD,ZABE=ZCBE,

又•:NCAD与NCBD所对弧为商，

ZCAD=ZCBD=ABAD.

"：NBED=/ABE+NBAD,ZDBE=ZCBE+ZCBD,

：.ZBED=ZDBE,

故DB=DE.

（2）解：•:ND=ND,NDBF=NCAD=/BAD,

：.AABDs^BFD,

.•.西M①，

FDBD

VDF=4,AE=3,设EF=x,

由（1）可得。3=DE=4+x,

则①式化为史兰上士

44+x

解得：xi—2,X2—-6（不符题意，舍去），

则DB=4+x=4+2=6.

二即时检测

1.（2023•攀枝花）已知△A8C的周长为/,其内切圆的面积为it户，则△/3C的面积为（

A.—rlB.—urlC.rlD.nrl

22

【答案】A

【解答】解：如图，设内切圆。与△/BC相切于点。，点E,点F，连接CM,OB,OC,OE,OF,OD,

A

,.18切。。于£,

J.OELAB,OE=r,

S^AOB=—ABxOE=LABXR,

22

同理：S^BOC=—BCXr,

2

SAOC=—ACXr,

A2

/.S=S^AO^S^BOC^-SAAOC=—ABXr+^SCXr4-A^cxr=A(AB+BC+AC)Xr,

2222

'：l=AB+BC+AC,

：.S=^lr,

2

故选：4

2.(2020•济宁)如图，在△48。中，点。为△48C的内心，ZA=60a,CD=2,BD=4.则△OBC的面

积是()

A.4'巧B.273C.2D.4

【答案】B

【解答】解：过点B作BHLCD的延长线于点H.

:点。为△4BC的内心，4=60°,

:.NDBC+NDCB=L(ZABC+ZACB)=上(180°-NN),

22

:./BDC=90°+^ZA=90°+Ax60°=120°,

22

则/8。〃=60°,

；BD=4,

：.DH=2,BH=2-j3,

,:CD=2,

的面积=/c£）・8"=/x2X2«=2«，

故选：B.

3.（2023•镇江）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步.问勾中容圆径几何？”译文：今有一个

直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多

少？书中给出的算法译文如下：如图，根据勾、股，求得弦长.用勾、股、弦相加作为除数，用勾乘以

股，再乘以2作为被除数，商即为该直角三角形内切圆的直径，求得该直径等于6步（注：“步”为

勾8

【答案】6.

【解答】解：根据勾股定理得：斜边为182+152=17,

则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径r=8+l§-17=3（步），即直径为6步,

2

故答案为：6.

4.（2023•湖州）如图，在中，ZACB=90°,点。在边/C上，以点O为圆心，0c为半径的半

圆与斜边N2相切于点。，交。/于点E,连结。瓦

（1）求证：BD=BC.

(2)已知。C=l,ZA=30°,求N5的长.

【答案】（1）见解答;

⑵2V3.

【解答】（1）证明如图，连结。£）,

B

COEA

:半圆。与43相切于点。，

C.ODLAB,

VZACB=90°,

：.ZODB=ZOCB=90°,

在RtAODB和RtAOCS中，

'OB=OB,

'OD=OC,

.,.RtAOZ)5^RtAOC5(HL),

：.BD=BC；

(2)解如图，VZA=30a,ZACB=90°,

/.ZABC=60°,

"：RtAODBgRtAOCS,

•■•ZCB0=ZDB0=yZABC=30o-

在RtZXOBC中，

：OC=1,

BC=——^-T—=Vs>

及tan30073

在RtZX/BC中，

基

一.选择题（共8小题）

1.平面内，已知。。的半径是8cm,线段OP=7c%,则点尸（）

A.在。。外B.在。。上C.在。。内D.不能确定

【答案】C

【解答】解：,••平面内，已知O。的半径r是8c加，线段0P=7cm,

：.r>OP,

点P在。o内.

故选：C.

2.已知三角形的周长为12,面积为6,则该三角形内切圆的半径为（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【解答】解：设这个三角形的内切圆半径是r,

:三角形周长为12,面积为6,

."x⑵=6,

2

解得r=1.

故选：D.

3.如图，24、PB、CD是。。的切线，/、B、£是切点，CO分别交线段为、PB于C、。两点，若NAPB

=40°,则/COD的度数为（）

【答案】C

【解答】解：由题意得，连接。/、OC.OE、OD.OB,所得图形如下:

由切线性质得，OALPA,OBLPB,OE1,CD,DB=DE,AC=CE,

,:AO=OE=OB,

:AAOC沿AEOC(&4S),△EOD/ABOD(SAS),

:./AOC=NEOC,/EOD=NBOD,

：.ZCOD=^ZAOB,

2

VZAPB=40°,

ZAOB=140°,

:./COD=10°.

故选：C.

p

4.已知。。的半径等于5,圆心O到直线/的距离为6,那么直线/与。。的公共点的个数是（）

A.0B.1C.2D.无法确定

【答案】A

【解答】解：:。。的半径等于5,圆心。到直线/的距离为6,

即圆心。到直线I的距离大于圆的半径，

...直线/和OO相离，

...直线/与O。没有公共点.

故选：A.

5.已知。。和直线/相交，圆心到直线/的距离为10c%,则。。的半径可能为（）

A.11cmB.10cmC.9cmD.8cm

【答案】A

【解答】解：：。。和直线/相交

'.d<r

又•••圆心到直线/的距离为\Qcrn

.".r>l0cm

故选：A.

6.如图，已知△4BC中，AB^AC,NABC=7Q°，点/是△48C的内心，则/B/C的度数为（）

A.40°B.70°C.110°D.140°

【答案】C

【解答】'JAB^AC,/48C=70°,

:点/是△48C的内心，

/.ZIBC=^ZABC=35°,NICB=Z/ACB=35。，

22

/.ZIBC+ZICB=10°,

/.Z5/C=180°-CZIBC+ZICB)=110°.

7.如图，与O。相切于点3,/。的延长线交OO于点C,连接8C若N/=36°,则NC的度数为（

【答案】B

【解答】解：连接OB,

切圆。于8,

：.OBLAB,

：.ZOBA=90°,

・24=36°,

/.Z/1O5=180°-//-ZOBA=54°,

和是同弧所对的圆周角和圆心角,

：.ZC=^-ZAOB=27°.

2

8.如图，48为。。的直径，CD切。。于点C,交48的延长线于点。，且CO=CD,则//的度数为（

)

C.22.5°D.37.5°

【答案】c

【解答】解：:co切O。于C,

：.OC±CD,

：.ZOCD=9G°,

■:CO=CD,

：.ZCOD=ZD=45°,

'：OA=CO,

.\ZOAC=ZOCA,

ZCOD^ZOAC+ZOCA^45°,

4=22.5°.

二.填空题（共4小题）

9.如图，已知//。8=30°,M为08边上任意一点，以M为圆心，2c加为半径作当0M=4c

m时，与OA相切.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：作必/，。4于点X,如图,

当〃H=2c"?时，与。/相切，

因为NO=30°，

所以此时OM=2MH=4cm,

即OM=4c冽时，。河与。4相切.

点。为。。上一点，过点。作。。的切线，交直径45的延长线于点。，若

ZABC=65°,则NQ的度数是40度.

・・・CQ为。。的切线,

,OCLCD,

：.ZOCD=90°,

OC=OB,

：.ZOCB=ZOBC=65°

：.ZBCD=ZOCD-ZOCB=90°-65°=25°,

•：/OBC=/BCD+/D

：.ZD=65°-25°=40°.

故答案为：40.

11.如图，PA,尸8是。。的切线，A,B是切点.若/尸=50°，则130°

【答案】130°.

【解答】解：♦.•我，心是。。的切线，A,8是切点,

C.OALPA,OBUB,

：.ZOAP=ZOBP^9Q0,

VZOAP+ZAOB+ZOBP+ZP^360°,

/.ZAOB=360°-90°-90°-50°=130°.

故答案为130°.

12.如图是一块直角三角形木料，//=90°,AB=3,AC=4,木工师傅要从中裁下一块圆形木料，则可

裁圆形木料的最大半径为

【答案】见试题解答内容

【解答】解:1//=90°,18=3,AC=4,

BC=VAB2+AC2=VS2+42=5，

...圆形木料的最大半径=生生❷=1,

2

故答案为：1.

三.解答题（共3小题）

13.如图，48是。。的直径，C是。。上的一点，直线MN经过点C,过点工作直线的垂线，垂足为

点、D,且/C平分

（1）求证：直线九W是。。的切线;

(2)若4D=4,AC=5,求OO的半径.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）连接。C,

'：OA=OC,

：.ZOAC^ZOCA,

:NCAB=NDAC,

：.ZDAC=ZOCA,

：.OC//AD,

"JADLMN,

C.OCLMN,

：0C为半径，

是O。切线；

(2)是。。的直径,

/.ZACB=90°,

VZACB=ZADC=90°,

•；ZDAC=ABAC,

：./XADCsAACB,

.AD=AC

,•而AB"

.4_5

••，

5AB

4

，。。半径是工*空=空

14.如图，48为OO的直径，C为。。上一点，。为NC的中点，过C作。。的切线交0。的延长线于E,

交的延长线于F，连

(1)求证：EA与。。相切；

(2)若CE=3,CF=2,求。。的半径.

【答案】见试题解答内容

【解答】(1)证明：如图，连接OC,

:即为切线，

；.NOCE=90°,

・・・。为4C中点，

；・0EL4C,

：.EC=EA,

：.NECA=NEAC,

U：OA=OC,

：.ZOCA=ZOACf

：.ZOAC+ZEAC=ZOCA+ZECA=90°,

即"40=90°,

：.EA为。。的切线；

(2)解：连接3C,

TAB为直径，

/.ZBCA=90°,

：・/CAB+NCBA=90°,

・・•斯为切线，

AZBCF+ZBCO=90°,且N8CO=/CR4,

・・・/BCF=/CAF,

：.△BCFs^CAF,

•・•一CF=BF1，

AFCF

由(1)知E4为O。切线，则E4=EC=3,EF=EC+FC=5,

在RtZ\4E尸中，可求得/尸=4,

二2黑，解得比7=1,

42

:.AB=AF-BF=3,

二。。的半径为3.

15.如图，已知，是。。的直径，3c切。。于5,弦。£〃。。，连接CD并延长交BE的延长线于点4

(1)证明：C〃是。。的切线；

(2)若4D=2,AE=\,求CO的长.

【答案】见试题解答内容

【解答】(1)证明：连接0D,

'CED//OC,

：.ZCOB=ADEO,ZCOD=ZEDO,

•：OD=OE,

：.ZDEO=ZEDO,

：.ZCOB=ZCOD,

在△8C。和△DC。中，

fOB=OD

,ZCOB=ZCOD

LOC=OC

A(&4S),

：.ZCDO=ZCBO,

为圆。的切线，

：.BC±OB,即/C3O=90°,

：.Z