2024年中考数学试题分类汇编：阅读理解与新定义题（31题）（解析版）

专题33阅读理解与新定义题（31题）

一、单选题

1.（2024.四川眉山・中考真题）定义运算：a®b=（a+2b）（a-b）,例如4区3=（4+2乂3）（4-3）,则函数

y=（x+l）02的最小值为（）

A.—21B.—9C.—7D.—5

【答案】B

【分析】本题考查二次函数求最值，根据新定义，得到二次函数关系式，进而利用二次函数的性质，求最

值即可.

【详解】解：由题意得，y=（x+l）02=（x+l+2x2）（x+l-2）=（x+5）（x-l）,

即y=炉+4x-5=（x+2）2-9,

・■.当x=—2时，函数y=（x+l）合2的最小值为一9.

故选：B.

2.（2024.山东威海•中考真题）定义新运算：

①在平面直角坐标系中，{〃,印表示动点从原点出发，沿着x轴正方向（。20）或负方向（a<0）.平移H

个单位长度，再沿着，轴正方向（620）或负方向（b<0）平移例个单位长度.例如，动点从原点出发，

沿着x轴负方向平移2个单位长度，再沿着了轴正方向平移1个单位长度，记作{-2,1}.

②加法运算法则：{a,b}+{c,d}={a+c,b+d},其中a,b,c,d为实数.

若{3,5}+{九〃}={-1,2},则下列结论正确的是（）

A.m=2,n=JB.m=〃=—3

C.m=4,n=3D.m=-4,n=3

【答案】B

【分析】本题考查了新定义运算，平面直角坐标系，根据新定义得出3+根=-1,5+"=2,即可求解.

【详解】解：：{a,b}+{c,d}={a+c/+力，{3,5}+{““}={—1,2}

3+机=—1,5+〃=2

解得：m=—4,n=—3

故选：B.

3.（2024.广东深圳.中考真题）二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些

物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏

季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立

冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为

（）

A.-B.—C.-D.一

21264

【答案】D

【分析】本题考查了概率公式.根据概率公式直接得出答案.

【详解】解：二十四个节气中选一个节气，抽到的节气在夏季的有六个，

则抽到的节气在夏季的概率为三=！,

244

故选：D.

4.（2024・甘肃・中考真题）如图1,“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计.全

套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等.七张桌面分开可

组合成不同的图形.如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为无尺，

长桌的长为y尺，则y与龙的关系可以表示为（）

商

或

小

t金

£

>/阙b

金

图1图2

A.y=3xB.y=4xC.y=3x+lD.y=4尤+1

【答案】B

【分析】本题主要考查了列函数关系式，观察可知，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是2x,再根据

长桌的长等于小桌的长加上2倍的小桌的宽列出对应的函数关系式即可.

【详解】解：由题意可得，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是2x,

y=x+x+2x=4x,

故选：B.

5.（2024•甘肃・中考真题）敦煌文书是华夏民族引以为傲的艺术瑰宝，其中敦煌《算经》中出现的《田积

表》部分如图1所示，它以表格形式将矩形土地的面积直观展示，可迅速准确地查出边长10步到60步的

矩形田地面积，极大地提高了农田面积的测量效率.如图2是复原的部分《田积表》，表中对田地的长和

2

宽都用步来表示，A区域表示的是长15步，宽16步的田地面积为一亩，用有序数对记为。5,16),那么有

序数对记为。2/7)对应的田地面积为()

图1图2

A.一亩八十步B.一亩二十步C.半亩七十八步D.半亩八十四步

【答案】D

【分析】根据(15,16)可得，横从上面从右向左看，纵从右边自下而上看，解答即可.

本题考查了坐标与位置的应用，熟练掌握坐标与位置的应用是解题的关键.

【详解】根据。5,16)可得，横从上面从右向左看，纵从右边自下而上看，

故(12,17)对应的是半亩八十四步，

故选D.

二、填空题

6.(2024•甘肃・中考真题)定义一种新运算*，规定运算法则为："产〃="_〃加(〃"〃均为整数,且加工0).例：

2*3=23-2x3=2,则(-2)*2=.

【答案】8

【分析】根据定义，^(-2)*2=(-2)2-2X(-2)=8,解得即可.

本题考查了新定义计算，正确理解定义的运算法则是解题的关键.

【详解】根据定义，得(一2)*2=(-2)2-2X(-2)=8,

故答案为：8.

7.(2024.四川广元•中考真题)2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究

物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”.什么是阿秒？1阿秒是10-8秒，也就是十亿分之一秒

的十亿分之一.目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒.将43阿秒用科学记数法表示为秒.

【答案】4.3X10-17

【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为。X10-",解题的关键是熟知1W时<10.根

据题意可知，43阿秒=43x10-8秒，再根据科学记数法的表示方法表示出来即可.

【详解】解：根据题意1阿秒是10Y秒可知，

43阿秒=43=4.3*10-u秒，

故答案为：4.3xl（r".

8.（2024・甘肃.中考真题）甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化

遗产.如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2,其中扇形03c和扇形OAO有相同

的圆心。，且圆心角40=100。，若Q4=120cm,c>B=60cm,则阴影部分的面积是cn?.（结果用

乃表示）

敬重者人，孝顺父、\八

<是个人素养、文明高却、社\

、✓

、、✓✓

b

【答案】3000万

【分析】根据扇形面积公式计算即可.本题考查了扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键.

【详解】•.•圆心角NO=100。,04=120cm,OB=60cm,

22

.I7HH/H100x^-xl20100x^x60

•.阴影部分的面积是------------------------

360360

=3000^-cm2

故答案为：3000万.

9.（2024.四川泸州・中考真题）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移。（4>0）个单位，再绕

原点按逆时针方向旋转6角度，这样的图形运动叫做图形的夕（。,6）变换.如：点A（2,0）按照2（1,90。）变

换后得到点A的坐标为（-1,2）,则点B（A/3,-1）按照「（2/05。）变换后得到点B的坐标为.

【答案】卜戊,夜）

【分析】本题考查了解直角三角形,坐标与图形.根据题意，点B（A-I）向上平移2个单位,得到点C（A/3,1）,

再根据题意将点C（括」）绕原点按逆时针方向旋转105。，得到O?=OC=2,ZB'OD=450,据此求解即

4

可.

【详解】解：根据题意，点网后-1)向上平移2个单位，得到点C(&D，

OC=J+(⑹2=2,sinZCOE=^|=1,

NCOE=30。,

根据题意，将点C(省,1)绕原点按逆时针方向旋转105。，

ZB'OE=105°+30°=135°,

作石。，无轴于点。，

OB'=OC=2,ZB/OD=180°-135°=45°,

B'D=OD=02'•sin45°=应，

二点8'的坐标为卜3,3),

故答案为：(-72,72).

10.(2024.内蒙古呼伦贝尔•中考真题)对于实数定义运算“※”为a※匕=a+3b,例如5X2=5+3x2=11,

则关于x的不等式冰机<2有且只有一个正整数解时，加的取值范围是—.

【答案】0<m<|

【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，解一元一次不等式组，根据新定义和正整数解列出关于机

的不等式组是解题的关键.根据新定义列出不等式，解关于x的不等式，再由不等式的解集有且只有一个

正整数解得出关于用的不等式组求解可得.

【详解】解：根据题意可知，jc^.m-x+3m<2

解得：x<2-3m

「冰机<2有且只有一个正整数解

2-3m>l®

2-3〃zV2②

解不等式①，得：y

解不等式②，得：，心0

/.0<m<—

3

故答案为：。工机<§.

H.（2024・湖北武汉•中考真题）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉.在一次

综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼A5的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升

至距水平地面102m的。处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45。，底端B的俯角为63。，则测得黄鹤楼的高度

是m.（参考数据：tan63。»2）

【答案】51

【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键.延长84交距水平地面

102m的水平线于点O,根据tan63o*2,求出0c=AD。51m,即可求解.

【详解】解：延长氏4交距水平地面102m的水平线于点0,如图，

设AD=x,

・・•ADCA=45°

•*.DC=AD=x

.…BD102

..tan63=-----=-----«2

DCx

DC=AD51m

：.AB=BD-AD=102-51^51m

故答案为：51.

6

12.（2024•山东泰安・中考真题）某学校在4月23日世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动.小明和小

颖去学校图书室借阅书籍，小明准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》中随机选择一本，小颍准备从

《西游记》、《骆驼祥子》、《朝花夕拾》中随机选择一本，小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率

是.

【答案】|

【分析】本题主要考查列表法与树状图法、概率公式等知识，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是

解答本题的关键.

先列表可得出所有等可能的结果数以及小明和小颖恰好选中书名相同的书的结果数，再利用概率公式计算

即可.

【详解】解:将《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》、《朝花夕拾》分别记为A,B,C,D,

列表如下：

ABD

A(A,A)(.A,B)(A,D)

B(B,A)(B,B)(B,D)

C(C,A)(C,B)(C,D)

共有9种等可能的结果，其中小明和小颖恰好选中书名相同的书的结果有2种，

小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率为j.

故答案为：三.

13.（2024・湖南长沙•中考真题）为庆祝中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，

现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者

从1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字中任取一个数字，先乘以10,再加上4.6,将此时的运算结果

再乘以10,然后加上1978,最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应

的四位数是2010）,得到最终的运算结果.只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的

出生年份.若某位参与者报出的最终的运算结果是915,则这位参与者的出生年份是.

【答案】2009

【分析】本题考查二元一次方程的解，理解题意是解答的关键.设这位参与者的出生年份是无，从九个数

字中任取一个数字为根据题意列二元一次方程，整理得x=100a+1109,根据。的取值得到x的9种可

能，结合实际即可求解.

【详解】解：设这位参与者的出生年份是尤，从九个数字中任取一个数字为

根据题意，得(10a+4.6)xl0+1978—x=915,

整理，100a+46+1978-x=915

尤=100。+1109,

是从1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字中任取一个数字，

的值可能为1209,1309,1409,1509,1609,1709,1809,1909,2009,

:是为庆祝中国改革开放46周年，且参与者均为在校中学生，

•••尤只能是2009,

故答案为：2009.

14.(2024・上海.中考真题)对于一个二次函数y=a(x-w)2+%(awO)中存在一点使得

xr-m=y'-k^0,则称2K-训为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线y=-gf+++3“开口大小”

为.

【答案】4

【分析】本题考查新定义运算与二次函数综合，涉及二次函数性质、分式化简求值等知识，读懂题意，理

1_1

解新定义抛物线的“开口大小”，利用二次函数图象与性质将一般式化为顶点式得到一5=「r,按照定义

X—

3

求解即可得到答案，熟记二次函数图象与性质、理解新定义是解决问题的关键.

【详解】解：根据抛物线的“开口大小”的定义可知,-4=心-⑼2中存在一点尸使得

y'-k1

x'-m=y'-k^0,则---^-=----,

(x-m)x—m

——+3

23

ii________ii

…丁+产3中存在一点尸")，有一5一匚，解得一「2,则2y=4,

8

,抛物线>=尤2+3+3“开口大小”为4,

故答案为：4.

15.（2024.重庆・中考真题）一个各数位均不为0的四位自然数加=时，若满足a+d=6+c=9,则称这

个四位数为“友谊数”.例如：四位数1278,：1+8=2+7=9,...1278是“友谊数”.若丽是一个“友谊

数”，且=c-b=l,则这个数为；若M=时是一个“友谊数”,设产（M）=?，且也口詈必

是整数，则满足条件的M的最大值是.

【答案】34566273

【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义得至!ja+d=b+c=9,再由人一〃=。一人=1可求出。、b、c、d

的值，进而可得答案；先求出M=999a+906+99,进而得到一（加）+—+，=9“+8+3”+"6,根据

1313

川M）+刀+cd是整数,得到9°+8+3。：,+6是整数,即3*+6是整数,则3a+b+6是13的倍数，

131313

求出。48,再按照〃从大到小的范围讨论求解即可.

【详解】解：・・,两是一个“友谊数”，

a+d=b+c=9,

又丁b-a=c-b=l9

b=4,c=5,

••ci—3,d—6,

・••这个数为3456；

M=砺是一个“友谊数”，

・•・M=1000a+100〃+10。+d

=1000〃+100/7+10（9叫+9-a

=999a+90〃+99,

b（M）='=111Q+105+11,

.F（M）+ab+cd

13

11let+10Z?+11+10。+Z?+10c+d

~13

llla+10Z?+ll+10a+/7+10（9-Zj）+9-a

~13

120a+Z>+110

一13

117〃+3。+Z?+104+6

13

八c3a+b+6

=9a+8+------------

13

.../（M）+ab+cd是整数

13

.Cc3。+6+6宜L3a++61虫乙

..9a+8+---是整1数n，即an一--是整数,

•••3。+匕+6是13的倍数,

，.•。、b、c、d都是不为0的正整数，且a+d=6+c=9,

a<8,

.,.当a=8时，31<3a+&+6<38,此时不满足3。+6+6是13的倍数，不符合题意；

当a=7时，28V3a+6+6V35,此时不满足3a+b+6是13的倍数，不符合题意；

当。=6时，25W3a+b+6432,止匕时可以满足3a+b+6是13的倍数，即此时6=2,贝毗匕时d=3,c=7,

要使M最大，则一■定要满足。最大，

满足题意的M的最大值即为6273；

故答案为：3456；6273.

16.(2024・重庆・中考真题)我们规定：若一个正整数A能写成/-〃，其中机与〃都是两位数，且加与〃的

十位数字相同，个位数字之和为8,则称A为“方减数”，并把A分解成病-〃的过程，称为“方减分解”.例

如：因为602=25=23,25与23的十位数字相同，个位数字5与3的和为8,所以602是“方减数”，602分

解成602=252-23的过程就是“方减分解”.按照这个规定，最小的“方减数”是.把一个“方减数”A进

行“方减分解"，即A=m2-n，将机放在n的左边组成一个新的四位数B,若B除以19余数为1,且2m+n=k2

(左为整数)，则满足条件的正整数A为.

【答案】824564

【分析】本题考查了新定义，设7"=10。+/，贝|〃=10a+8—6(l<a<9,0<b<8)根据最小的“方减数”

可得根=10,w=18,代入，即可求解；根据8除以19余数为1,且2加+〃=公(左为整数)，得出%+］；+，

为整数，30a+b+8是完全平方数，在lWaV9,0<b<8,逐个检验计算，即可求解.

【详解】①设%=10々+人，则〃=10〃+8—Z?(l<a<9,0</?<8)

由题意得：m2—n=(106z+Z?)2—(10a+8—Z?),

,UK9,“方减数”最小，

••a=1,

贝ijm=10+/?,n=18-b,

・・.加2一〃=(io+b)2—(i8—匕)=100+20/7+62—18+匕=82+/?2+2仍，

则当b=。时,m2—n最小，为82,

10

故答案为：82；

②设〃？=10。+6,则，？=10。+8—6（l<o<9,0<Z?<8）

B=1000a+100Z?+10a+8-&=1010a+99&+8

除以19余数为1,

1010。+996+7能被19整除

B—1j3。+4Z?+7、，、,”

..=53a+5b+---为整数，

又2m+n=H（左为整数）

2（10。+人）+10。+8-沙=30a+b+8是完全平方数，

Vl<a<9,0</?<8

30a+6+8最小为49,最大为256

即7V左V16

设3a+4Z?+7=1%,f为正整数，

贝IJK3

33

当f=1时，3。+4人=12,贝!J6=3—a,贝！J30a+b+8=30。+3—“+8是完全平方数，又0</?<8,

44

无整数解，

Q-IQQ-IQ

当/=2时，3。+46=31,贝=贝|30。+6+8=30。+^^+8是完全平方数，又l4aW9,0W6V8,

44

无整数解，

当7=3时，3a+46=50,贝=贝|30。+6+8=30。+^^+8是完全平方数，

44

经检验，当。=6/=8时，3a+4&+7=3x6+4x8+7=57=19X3,30x6+8+8=196=142,「=3,左=14,

/.m=68,«=60,

4=682-60=4564

故答案为：82,4564.

17.（2024・四川乐山・中考真题）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图

象的“近轴点”.例如，点（。』）是函数>=x+l图象的“近轴点”.

（1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是（填序号）；

2

①y=-X+3；②y=_；③y=+2x_1.

X

（2）若一次函数y=mx-3m图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为.

【答案】③《租<0或0<屋］

22

【分析】本题主要考查了新定义一“近轴点”.正确理解新定义，熟练掌握一次函数，反比例函数，二次

函数图象上点的坐标特点，是解决问题的关键.

(1)①y=-x+3中，取尤=y=L5,不存在“近轴点”；

@y=~,由对称性，取x=y=土血，不存在“近轴点”；

③产一无2+2X—1=—(X—1『，取x=l时，y=0,得到(1,0)是y=-/+2x-l的“近轴点”；

(2)y=3根=加(》-3)图象恒过点(3,0),当直线过(1,-1)时，m=^,得到0<〃区；；当直线过(1,1)

时，加=-；,得到<m<0.

【详解】⑴①尸-尤+3中，

%=1.5时，y=L5,

不存在“近轴点”；

c2

②y=_,

由对称性，当尤=y时，x=y=土发,

不存在“近轴点”；

(3)y=—x2+2x—1=—(%—1)2,

x=l时，y=0,

・・・(1,0)是,=_%2+2%_i的“近轴点”；

・・・上面三个函数的图象上存在“近轴点”的是③

x=3时，丁=。，

12

.♦.图象恒过点(3,0),

当直线过。,一1)时，-1=加(1—3),

m=—,

2

0<m<—；

2

当直线过(U)时，1=根。—3),

m=—,

2

一■-<m<0；

'.m的取值范围为一1W根＜0或0＜加4」.

22

18.(2024•吉林・中考真题)吉林省以“绿水青山就是金山银山，冰天雪地也是金山银山”为指引，不断加大

冰雪旅游的宣传力度，推出各种优惠活动，“小土豆”“小砂糖橘”等成为一道靓丽的风景线，某滑雪场为吸

引游客，每天抽取一定数量的幸运游客，每名幸运游客可以从“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目中随机

抽取一个免费游玩.若三个项目被抽中的可能性相等，用画树状图或列表的方法，求幸运游客小明与小亮

恰好抽中同一个项目的概率.

【答案】|

【分析】本题考查了用树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或

两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.画出树状图，可知共有9种

等可能的结果数，小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果数有3种，再由概率公式求解即可.

【详解】解：将“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目分别记为事件A、B、C,可画树状图为：

开始

由树状图可知共有9种等可能的结果数，小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果数有3种,

31

•••幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率P=1=§.

19.（2024・四川广元・中考真题）小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角a的正

Qina

弦值与折射角P的正弦值的比值r叫做介质的“绝对折射率”,简称“折射率”.它表示光在介质中传播时,

sinp

介质对光作用的一种特征.

⑴若光从真空射入某介质，入射角为a,折射角为夕，且.二g左3。。，求该介质的折射率；

（2）现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A,B,C,。分别是长方体棱的中点,

若光线经真空从矩形A224对角线交点。处射入,其折射光线恰好从点C处射出.如图②，已知a=60。,

CD=10cm,求截面ABC。的面积.

3

【答案】（l）g;

(2)100V2cm2.

【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理等知识，

（1）根据costz=，，设b=>fix,贝!Jc=4x,利用勾股定理求出a=J（4x）2-=3x，进而可得

sina=0=^=；,问题即可得解；

c4%4

（2）根据折射率与（1）的材料相同，可得折射率为|■，根据当=2吟=：,可得sin/?=3,则有

2sinpsinp23

sinZ.OCD=sin/3=,在RtaODC中，设OD=,OC=3x,问题随之得解.

3

14

［详解［⑴,•*cosa=色,

/.如图,

22

设b=贝Uc=4x,由勾股定理得，A=7(4X)-(A/7A:)=3x，

..Q3%3

••sina=—=—=一,

c4x4

又,"二30。，

sinp=sin30°=g,

3

sincr_4_3

二・折射率为:

sin/3j_2

2

3

（2）根据折射率与（1）的材料相同，可得折射率为;,

Ver=60°,

•_s_in__a__s_i_n_6_0_°__3

,,sin尸sinJ32，

sinP-・

•・,四边形ABC。是矩形，点O是AO中点,

AAD=2OD,ID90?,

又「AOCD=13,

**•sinAOCD=sin尸=，

3

在RtZkODC中，设OD=®,OC=3x,

由勾股定理得，CD=，（3理—（氐了=如，

・•.tan4=丝=夕=《.

CD届V2

又：CD=10cm,

.OD1

••OD=55/2cm，

AO=10及cm，

截面ABC。的面积为：10或xl0=100j5cm2.

20.(2024•青海・中考真题)综合与实践

顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形.数学

兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用.

以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究.

【探究一】

原四边形对角线关系中点四边形形状

不相等、不垂直平行四边形

C

1,<|1

如图1,在四边形A3C。中，E、F、G、H分别是各边的中点.

求证：中点四边形£7^^是平行四边形.

证明：：£、F、G、X分别是A3、BC、CD、D4的中点，

:.EF、G”分别是ABC和ACD的中位线，

EF=-AC,GH=-AC(①)

22

EF=GH.

同理可得：EH=FG.

.••中点四边形EFGH是平行四边形.

结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形.

(1)请你补全上述过程中的证明依据①

【探究二】

原四边形对角线关系中点四边形形状A

人

不相等、不垂直平行四边形

16

AC=BD菱形

从作图、测量结果得出猜想I:原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形.

（2）下面我们结合图2来证明猜想I,请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程.

【探究三】

原四边形对角线关系中点四边形形状

不相等、不垂直平行四边形

AC1BD②_________

（3）从作图、测量结果得出猜想n：原四边形对角线垂直时，中点四边形是②.

（4）下面我们结合图3来证明猜想II,请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程.

【归纳总结】

（5）请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形.

中点四边形形状

原四边形对角线关系

③__________④__________

结论：原四边形对角线③.时，中点四边形是④.

【答案】（1）①中位线定理

(2)证明见解析

(3)②矩形

(4)证明见解析

(5)补图见解析；③AC13D且AC=3D；④正方形

【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性

质等知识

（1）利用三角形中位线定理即可解决问题;

(2)根据三角形中位线定理，菱形判定定理即可解决问题；

(3)根据三角形中位线定理，矩形判定定理即可解决问题；

(4)根据三角形中位线定理，矩形判定定理即可解决问题；

(5)根据三角形中位线定理，正方形判定定理即可解决问题.

【详解】(1)①证明依据是：中位线定理；

(2)证明：•:E、F、G、H分别是AB、BC、CD、ZM的中点,

•*.EF、GH分别是:ABC和.ACD的中位线，

EF=-AC,GH=-AC

22

EF=GH.

同理可得：EH=FG.

•・•AC=BD

：.EF=GH=EH=FG

・•・中点四边形石FGH是菱形.

(3)②矩形；

故答案为：矩形

(4)证明YE、F、G、H分别是AB、BC、CD、的中点，

・・・EF、G”分别是：ABC和，ACO的中位线，

EF//XC,GH//AC,

:.EF//GH.

同理可得：EH//FG.

•・•AC1BD

JZAOD=ZEFG=ZFEH=ZEHG=90°

・•・中点四边形EFGH是矩形.

(5)证明：如图4,•・・£、F、G、H分别是AB、BC、CD、ZM的中点,

18

:,EF、GH分别是11ABe和ACD的中位线，

EF=-AC,GH=-AC

22

EF=GH.

同理可得：EH=FG.

AC^BD

：.EF=GH=EH=FG

.••中点四边形EFGH是菱形.

"?AC1BD

由（4）可知ZAOD=NEFG=NFEH=NEHG=90。

，菱形EFGH是正方形.

故答案为：③AC13。且AC=3。；④正方形

图4

21.(2024・湖北武汉.中考真题)16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”,它是二级火箭的始祖.火

箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运

行.某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程.如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的

直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y=和直线y=-g尤+6.其中，当火箭运行的

水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级.

图1图2

(1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6km.

①直接写出a,b的值；

②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km,求这两个位置之间的距离.

(2)直接写出。满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km.

【答案】⑴①。=-\,8=81；②8.4km

2

(2)-----va<0

27

【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，

一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键.

(1)①将(9,3.6)代入即可求解；②将了=-宾》2+X变为>=一：(无一,]+?,即可确定顶点坐标，得出

y=2.4km,进而求得当y=2.4km时，对应的x的值，然后进行比较再计算即可；

(2)若火箭落地点与发射点的水平距离为15km,求得。=-9，即可求解.

【详解】(1)解：①•••火箭第二级的引发点的高度为3.6km

抛物线y=ax2+x和直线y=-^x+b均经过点(9,3.6)

3.6=81a+9,3.6=——x9+b

2

解得人=8.i.

②由①知，y=——x+8.1,y=一记f+x

.11(15?15

••y=-----x2+x=---x-------H--------

1515<2J4

最大值y=?km

4

当y=+L35=2.4km时，

贝。---X?+x=2.4

解得%=12,x2=3

又：x=9时，y=3.6>2.4

二当y=2.4km时，

贝I|-L+8.1=2.4

2

解得x=11.4

20

11.4-3=8.4(km)

这两个位置之间的距离8.4km.

(2)解：当水平距离超过15km时,

火箭第二级的引发点为(9,81a+9),

将(9,81a+9),(15,0)代入,=-白+6,得

81a+9=--x9+&,O=--xl5+Z＞

22

2

解得6=7.5,a=---

27

2

••---＜。＜0.

27

22.(2024•内蒙古通辽•中考真题)【实际情境】

手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具.同学们认真观察后，组装

了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞.

图I图2图3

【模型建立】

(1)如图1,从花折伞中抽象出“伞形图”.AM=AN,DM=DN.求证：ZAMD=ZAND.

【模型应用】

(2)如图2,AMC中，NM4C的平分线AD交MC于点D.请你从以下两个条件：

①/4WD=2/C；②=中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明

过程.(注：只需选择一种情况作答)

【拓展提升】

(3)如图3,AC为。的直径，AB=BC，NB4C的平分线AD交3C于点E,交G。于点。，连接CD.求

证：AE=2CD.

【答案】(1)见解析；(2)选择②为条件，①为结论或选择①为条件，②为结论；证明见解析；(3)见解

析

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，直角三角形

斜边上的中线性质，三角形的外角性质等：

(1)利用SSS证明△AZMlgAADN,即可；

(2)选择②为条件,①为结论:在AC取点N,使⑷V=AM,连接©V,证明AADM咨AADN,可得DM=DN,

ZAMD=ZAND,再由AC=AM+MD,可得DN=CN,从而得到/C=NCDN,即可；选择①为条件，

②为结论:在AC取点N,使4V=AM,连接。N,证明AWAf0AWN,可得=ZAMD=ZAND,

再由，4WD=2/C,可得/C=/CDN,从而得到DV=CN,即可；

(3)连接3。，取AE的中点E连接3月，根据圆周角定理可得比＞=8,从而得到/3QD=NCBD,再

由AC为O的直径，可得=尸=2AF,从而得到产=NS4F,然后根据AB=BC，可得AB=3C,

可证明△的广二△C3D,从而得到BP=BD=8,即可.

【详解】解：(1)在△A2W和△AZW中，

VAMAN,DM=DN,AD=AD,

：.^ADM^ADN(SSS),

ZAMD=ZAND；

(2)解：选择②为条件，①为结论

如图，在AC取点N,使AN=AM,连接。N,

,/4)平分NM4C,

：.ZDAM=ZDAN,

在AADM和AADN中，

'：AM=AN,ZDAM=ZDAN,AD=AD,

：.ADM^ADN(SAS),

DM=DN,ZAMD^ZAND,

22

VAC=AM+MD,AC=AN+NC,

：.DM=CN,

:・DN=CN,

：.4C=/CDN,

・•・ZAMD=ZAND=ZCDN+NC=2ZC；

选择①为条件，②为结论

如图，在AC取点N,使AN=A〃，连接。N,

・・・AD平分/M4C,

：.ZDAM=ZDANf

在ZVIDM和ZVIDN中，

*：AM=AN,/DAM=/DAN,AD=AD,

：.ADM^AON(SAS),

ADM=DN,ZAMD=ZANDf

丁NAMD=2NC,

：.ZAND=2ZC=NCDN+NC,

・・・ZCDN=ZC,

：.DN=CN,

：.DM=CN,

•「AC=AN+NCf

：.AC=AM+MD^

(3)如图，连接BO,取的中点尸，连接血,

B

•**DC=BD，

：.BD=CD,

:・/BCD=/CBD,

•「AC为。的直径，

ZABC=90°,

:.AE=2BF=2AF,

：.ZABF=ZBAF,

•：ZBAF=ZBCD,

：.ZABF=ZCBD,

,•*AB=BC，

：.AB=BC,

：.AABF/ACBD,

:.BF=BD=CD,

：.AE=2CD.

23.（2024.江苏盐城.中考真题）请根据以下素材，完成探究任务.

制定加工方案

♦某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式.

共可再乐♦因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”

生产背1服装1件.

景♦要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等.

龙旦

目乐每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为：

2①“风”服装：24元/件；

24

②“正”服装：48元/件;

③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每

件获利将减少2元.

现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下：

服装种类加工人数（人）每人每天加工量（件）平均每件获利（元）

信息整理风