浙江省衢州市五校联盟高三4月联考试题新高考数学试题试卷

浙江省衢州市五校联盟高三4月联考试题新高考数学试题试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知i是虚数单位，若z=l+ai,z1=2，则实数。=（）

A.—五或叵B.-1或1C.1D.V2

2.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2,a,b,且2a+>=g（a>0,>>0）,则

此三棱锥外接球表面积的最小值为（）

A.—71B.-71C.4万D.57r

44

3.在三棱锥P—A3C中，AB±BP,AC±PC,AB±AC,PB=PC=2收,点P到底面ABC的距离为2,

则三棱锥P-ABC外接球的表面积为（）

A.3万B.义工C.12万D.24〃

2

4.已知数列｛q｝满足：％=L4+1则％=（）

[2a“+l,a”为偶数

A.16B.25C.28D.33

5.小张家订了一份报纸，送报人可能在早上6:30-7:30之间把报送到小张家，小张离开家去工作的时间在早上

7.00-8:00之间.用A表示事件：“小张在离开家前能得到报纸”，设送报人到达的时间为x,小张离开家的时间为V,

（x，y）看成平面中的点，则用几何概型的公式得到事件A的概率P（A）等于（）

6.已知耳，凡是双曲线。:±-工=1(。>0,6>0)的左、右焦点，A,3是C的左、右顶点，点尸在过耳且斜率为正的

。b4

直线上，为等腰三角形，NAB尸=120。，则C的渐近线方程为()

A.y=±gxB.y=±2xC.y=土与XD.y=+y/3x

7.在复平面内，出复数(i为虚数单位)的共朝复数对应的点位于()

1-z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

8.已知等差数列｛%｝的前几项和为S",且。2=-2,网=10,则Sg=()

A.45B.42C.25D.36

9.一个四棱锥的三视图如图所示(其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图)，则这个四棱锥中最最长棱的长度是

().

(俯视用)

A.2网B.4C.2石D.272

10.从抛物线上一点p(P点在x轴上方)引抛物线准线的垂线，垂足为"，且|PM|=5,设抛物线的焦点

为尸，则直线的斜率为()

44

A.-2B.2C.

33

11.复数z=(6—l)+(a—l)*aeR)为纯虚数，则z=()

A.iB.-2iC.2iD.-i

12.已知幕函数/(x)=K的图象过点(3,5),且a=，b=W，c=log^,则a,b,c的大小关系为(

a)

A.c<a<bB.a<c<bC.a<b<cD.c<b<a

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若奇函数/(%)满足/(x+2)=-/(x),g(x)为R上的单调函数,对任意实数xeR都有g[g(x)-2'+21=1,

当xe[O,l]时,/(x)=g(x),J!!|/(log212)=.

14.已知抛物线C:V=标的焦点为R,直线/与抛物线C相切于M点、，N是I上一点(不与M重合)，若以线段MN

为直径的圆恰好经过F,则点N到抛物线顶点。的距离|0N|的最小值是.

15.已知函数；，且Vp＜7"，沏＞加，使得/■(p)+/(q)=O,则实数的取值范围是.

16.如图，在矩形ABC。中，AD=2AB=4,E是AD的中点，将八45E，△口＞£分别沿BE,CE折起，使得

平面ABE_L平面BCE,平面CDE_L平面BCE,则所得几何体ABCDE的外接球的体积为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知等差数列｛?｝满足=7,+〃7=26.

(I)求等差数列｛凡｝的通项公式；

(2)设c,求数列｛g｝的前几项和7；.

anan+l

18.(12分)已知动圆过定点/(0,1),且与直线/：y=-1相切，动圆圆心的轨迹为C,过歹作斜率为左/N0)的直线

机与C交于两点A,B,过A,3分别作c的切线，两切线的交点为「，直线PR与C交于两点M,N.

(1)证明：点P始终在直线/上且LAB；

(2)求四边形AMBN的面积的最小值.

19.(12分)在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单

位.已知曲线。的极坐标方程为〃=2cos仇直线/的参数方程为一一.(，为参数，a为直线的倾斜角).

y=tsma

⑴写出直线/的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

⑵若直线/与曲线C有唯一的公共点，求角a的大小.

20.(12分)设厂为抛物线C:/=4x的焦点，P,。为抛物线C上的两个动点，。为坐标原点.

(I)若点/在线段PQ上，求|PQ|的最小值；

(II)当OPLPQ时，求点。纵坐标的取值范围.

21.（12分）已知在多面体ABCDEF中，平面CDEE，平面ABC。，且四边形EC£>歹为正方形，且。C〃AB,

AB=3DC=6,AD=BC=5,点P,Q分别是助，AD的中点.

（1）求证：P。//平面EEC。；

（2）求平面与平面PC。所成的锐二面角的余弦值.

22.（10分）2019年12月以来，湖北省武汉市持续开展流感及相关疾病监测，发现多起病毒性肺炎病例，均诊断为病

毒性肺炎/肺部感染，后被命名为新型冠状病毒肺炎（Coro〃aWr“sZ>isease2019,COVID—19）,简称“新冠肺炎”.下图

是2020年1月15日至1月24日累计确诊人数随时间变化的散点图.

A累计■诊人数随时间变化敏点阴

IHUH1H1THIH1«Hin»HUIllHiHnllI，114H»IM

为了预测在未采取强力措施下，后期的累计确诊人数，建立了累计确诊人数y与时间变量f的两个回归模型，根据1

月15日至1月24日的数据（时间变量f的值依次1,2,10）建立模型§=°+力和9=a+a1.5'.

⑴根据散点图判断，§=c+力与》=a+力15哪一个适宜作为累计确诊人数y与时间变量♦的回归方程类型？（给

出判断即可，不必说明理由）

（2根据（1）的判断结果及附表中数据，建立y关于x的回归方程；

（3）以下是1月25日至1月29日累计确诊人数的真实数据，根据（2）的结果回答下列问题:

时间1月25日1月26日1月27日1月28日1月29日

累计确诊人数的真实数据19752744451559747111

（i）当1月25日至1月27日这3天的误差（模型预测数据与真实数据差值的绝对值与真实数据的比值）都小于0.1

则认为模型可靠，请判断（2）的回归方程是否可靠？

（ii）2020年1月24日在人民政府的强力领导下，全国人民共同采取了强力的预防“新冠肺炎”的措施，若采取措施5

天后，真实数据明显低于预测数据，则认为防护措施有效，请判断预防措施是否有效？

附：对于一组数据（（%匕），（%,匕），……，（/，匕），其回归直线u=a+的斜率和截距的最小二乘估计分别为

"乂匕一V）

三1

a=»一伙小

—1io

参考数据：其中1-5\0=右2。，•

,=i

10101010

ty3E城之％1.5111.5121.5131.5141.515

J=11=1i=l1=1

5.539019385764031525154700100150225338507

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

由题意得，zZ=（l+力乂1—切）=1+/，然后求解即可

【详解】

Vz=1+ai,zz=（l+az）（l—5）=l+a~.又zz=2，*,•1+a2=2>a=+1.

【点睛】

本题考查复数的运算，属于基础题

2、B

【解析】

根据三视图得到几何体为一三棱锥，并以该三棱锥构造长方体，于是得到三棱锥的外接球即为长方体的外接球，进而

得到外接球的半径，求得外接球的面积后可求出最小值.

【详解】

由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体ABC。-A4CA的四个顶点，即为三棱锥A-Cq2,且

长方体ABC。—A4C。的长、宽、高分别为2,a,b,

...此三棱锥的外接球即为长方体ABCD-A4G。的外接球，

且球半径为R=也2+/+/="+/+♦,

22

•••三棱锥外接球表面积为4〃"+〃+”=»（4+/+/）=5»,—1J+生£,

121

...当且仅当a=l,6=—时，三棱锥外接球的表面积取得最小值为二》.

24

故选B.

【点睛】

（1）解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆

面起衬托作用.

（2）长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线，对于一些比较特殊的三棱锥，在研究其外接球的问题时可考虑通

过构造长方体，通过长方体的外球球来研究三棱锥的外接球的问题.

3、C

【解析】

首先根据垂直关系可确定OP=Q4=O3=OC,由此可知。为三棱锥外接球的球心，在AB钻中，可以算出AP的

一个表达式，在AOAG中，可以计算出A0的一个表达式，根据长度关系可构造等式求得半径，进而求出球的表面积.

【详解】

取AP中点。，由ABLBP,AC_LPC可知：OP=OA=OB=OC,

:.O为三棱锥P-ABC外接球球心，

过P作PH，平面ABC,交平面ABC于连接AH交于G,连接。G,HB,HC,

PB=PC,:.HB=HC,..AB=AC,..G为8C的中点

由球的性质可知：。3，平面715。，，06%E，且OG=^P"=1.

2

设AB=x,

QPB=2V2>AO=^PA=^Vx2+8,

AG=，BC=史x，=在AOAG中，AG2+OG2=OA2,

22

二三棱锥P—ABC的外接球的半径为：AO=/x2+(2立了=g,4+0何=6，

•••三棱锥P-ABC外接球的表面积为S=4兀改=12兀.

故选：C.

【点睛】

本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，求解几何体外接球相关问题的关键是能够利用球的性质确定外接球球心

的位置.

4、C

【解析】

依次递推求出4得解.

【详解】

n=l时，％=1+3=4,

n=2时，/=2X4+1=9,

n=3时，%=9+3=12,

n=4时，々5=2x12+1=25,

n=5时，a6=25+3=28.

故选：C

【点睛】

本题主要考查递推公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

5、D

【解析】

这是几何概型，画出图形，利用面积比即可求解.

【详解】

解：事件A发生，需满足即事件A应位于五边形BCD防内，作图如下：―A

6:307

1----X—X—

故选:D

【点睛】

考查几何概型，是基础题.

6、D

【解析】

根据△上43为等腰三角形，=120°可求出点尸的坐标，又由P耳的斜率为"可得出。关系，即可求出渐

近线斜率得解.

【详解】

如图，

因为△9为等腰三角形，ZABP=120°,

所以|P3|=|AB|=2〃，N尸5M=60。,

:.xp=|PB\cos600+a=2a,yp=|PB|sin60°=,

7y/3d—0\/3

XkpF-------——，

「A2Q+C4

:.2a=c

3a2=b1，

解得2=后，

a

所以双曲线的渐近线方程为y=土瓜,

故选：D

【点睛】

本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于中档题.

7、D

【解析】

将复数化简得z=l+2i,z=l-2z•，即可得到对应的点为(1,-2)，即可得出结果.

【详解】

z==:：+??+?=1+2/=1-2/,对应的点位于第四象限.

1-1(1一。(1+2)

故选:D.

【点睛】

本题考查复数的四则运算,考查共期复数和复数与平面内点的对应，难度容易.

8、D

【解析】

由等差数列的性质可知4+%=«2+/，进而代入等差数列的前〃项和的公式即可•

【详解】

由题,S9=%+为）=9a+⑷=9%（-2+⑼=36.

222

故选:D

【点睛】

本题考查等差数列的性质,考查等差数列的前〃项和.

9、A

【解析】

作出其直观图，然后结合数据根据勾股定定理计算每一条棱长即可.

【详解】

根据三视图作出该四棱锥的直观图，如图所示，其中底面是直角梯形，且AO=A3=2,BC=4,

上4,平面ABC。，且PA=2,

•*-PB=A/22+22=2A/2PD=5+于=2贬,CD=2y/2>PC=y/p^+AC2=74+20=276»

.•.这个四棱锥中最长棱的长度是.

故选A.

【点睛】

本题考查了四棱锥的三视图的有关计算，正确还原直观图是解题关键，属于基础题.

10、A

【解析】

根据抛物线的性质求出点P坐标和焦点产坐标，进而求出点"的坐标，代入斜率公式即可求解.

【详解】

设点P的坐标为（毛,%）,%>0,

由题意知，焦点b(1,0),准线方程/:x=—1,

所以|PM|=%+1=5,解得/=4,

把点P(4,%)代入抛物线方程可得，

%=±4,因为%＞。，所以%=4,

所以点M坐标为(—1,4),

代入斜率公式可得，kMF=^-=-2.

故选：A

【点睛】

本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力；属于基础题.

11,B

【解析】

复数z=(6-l)+(a—为纯虚数，则实部为0,虚部不为0,求出即得z.

【详解】

Vz=(a2_i)+(a_1)[aeR)为纯虚数，

/一1=0

**•\，解得a=-1.

。一1w0

z=—2z.

故选：B.

【点睛】

本题考查复数的分类，属于基础题.

12、A

【解析】

根据题意求得参数a,根据对数的运算性质，以及对数函数的单调性即可判断.

【详解】

依题意，得3a=5，故a=log35e(l,2),

门、啕

5_______。=电鸣5；＜0,

故0<〃=卜)<1,b=^log35>1,

则cvavZ?.

故选：A.

【点睛】

本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，考查推理论证能力，属基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1

13、——

3

【解析】

根据“无+2)=—/(£)可得，函数/(%)是以4为周期的函数，令8(力—2'+2=左，可求g(x)=2、—1,从而可得

f(x)=g(x)=r-1,/(log212)=-/(2-log23)代入解析式即可求解.

【详解】

令g(x)—2'+2=左，则g(x)=A+2，—2,

由g[g(x)-2，+2]=l,则=

所以g(Z)=k+2J2=l,解得左=1,

所以g(x)=2j

由尤e[0,l]时，f(x)=g(x),

所以xe[(U]时，f(x)=2x-l；

由/(x+2)=-/(^)，所以/(x+4)=—/(1+2)=/(x),

所以函数/(%)是以4为周期的函数，

/(log212)=/(log23+log24)=/(log23+2)=/(log23-2),

又函数/(x)为奇函数，

故答案为：-彳

【点睛】

本题主要考查了换元法求函数解析式、函数的奇偶性、周期性的应用，属于中档题.

14、2

【解析】

根据抛物线C:/=8x,不妨设〃m,,取y=207,通过求导得勺=

1\y-2,yl2m=x-m\,再根据以线段MN为直径的圆恰好经过R，则MFJ.A下，得到

72-m

­二HX2）,两式联立，求得点N的轨迹，再求解最值.

【详解】

因为抛物线C:y2=8x,不妨设〃m,，取y=2A/2X,

所以/=亍，即4

所以/:y-2而=[=(x—m

因为以线段MN为直径的圆恰好经过R,

所以MFLNV,

12—777

所以幻

々MF2y[2ni

所以，版：y=松（“一2），

由，解得x=—2,

所以点N在直线x=—2上,

所以当N（—2,0）时，|ON|最小，最小值为2.

故答案为：2

【点睛】

本题主要考查直线与抛物线的位置关系直线的交轨问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

15、（-co,0]

【解析】

根据条件转化为函数y=-/（可在（-8,m）上的值域是函数y=/（可在[m,转）上的值域的子集;分别求值域即可得

到结论.

【详解】

解：依题意，f(q)=—f(p)，

即函数y=-/⑴在(TXV")上的值域是函数y=/(力在［私+8)上的值域的子集.

因为丁=/(%)在［私”)上的值域为［-4,+8)(m4一2)或［疗+4机,+oo］(m>-2),

y=-/(x)在(一8,上的值域为(一加,+8),

m<-2fm>-2

故4或24，

—m>—4［—m>m+4m

解得加KO

故答案为：(7,0］.

【点睛】

本题考查了分段函数的值域求参数的取值范围，属于中档题.

32

16、—71

3

【解析】

根据题意，画出空间几何体，设BE,EC,3c的中点分别为"，N,O,并连接

AM,CM,AO,DN,NO,DO,OE,利用面面垂直的性质及所给线段关系，可知几何体ABCDE的外接球的球

心为。，即可求得其外接球的体积.

【详解】

由题可得ZkABE,△CDE,△BEC均为等腰直角三角形，如图所示，

设BE,EC,3C的中点分别为以，N,O,

连接AM,CM,AO,DN,NO,DO,OE,

则ONICE.

因为平面ABE_L平面BCE,平面CDE_L平面BCE,

所以OM_L平面ASE,ON_L平面DEC,

易得OA=OB=OC=OD=OE=2,

则几何体ABCDE的外接球的球心为。，半径R=2,

432

所以几何体ABCDE的外接球的体积为7=—冗试=一冗.

33

32

故答案为：—71.

【点睛】

本题考查了空间几何体的综合应用，折叠后空间几何体的线面位置关系应用，空间几何体外接球的性质及体积求法,

属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

n

17、(1)4=2H+1；

6n+9

【解析】

试题分析：(1)设等差数列｛4｝满的首项为%,公差为d,代入两等式可解q,d。

⑵由(!)4=2"+1,代入得'所以通过裂项求和可求得小

q+2d=7q=3

试题解析：(1)设等差数列的公差为d,则由题意可得解得

2a1+10J=26d—2

所以%=3+2(〃-1)=2〃+1.

11

(2)因为cn=------=(,

4一+1(2〃+1)(2〃+3)

所以。—]•

所以小果111---q

-------1------------\~

5572n+l2n+3)2(32n+3)6n+9

18、(1)见解析(2)最小值为1.

【解析】

(1)根据抛物线的定义，判断出C的轨迹为抛物线，并由此求得轨迹C的方程.设出A,3两点的坐标，利用导数求得

切线PAM的方程，由此求得P点的坐标.写出直线机的方程，联立直线心的方程和曲线C的方程，根据韦达定理求

得P点的坐标，并由此判断出P始终在直线/上，且。尸，A5.

(2)设直线的倾斜角为a,求得|A目的表达式，求得的表达式，由此求得四边形AMBN的面积的表达式

进而求得四边形AMBN的面积的最小值.

【详解】

⑴..•动圆过定点厂(0,1),且与直线/：y=-l相切，.•.动圆圆心到定点厂(0,1)和定直线y=-l的距离相等，动圆圆

心的轨迹C是以尸(0,1)为焦点的抛物线，.•.轨迹C的方程为：好=4〉，

设8(%,多,"=4%.•.直线B4的方程为：丫-亨=卜-西)，即：分=2再x-X；①,

同理，直线P5的方程为：4y=2%%-月②，

由①②可得：P(三逗,中)，

24

直线加方程为：y=kx+l,联立+1可得：f_4触—4=0,:.P(2k,—1),

[x=4y

左弘x左=—工义左=—1,...点P始终在直线/上且P尸，AB；

k

(2)设直线A3的倾斜角为a,由(1)可得：|AB|=+4(1+k2)=4(1+tan2a)=,

COScc

44

:.\MN\=--------------

cos?(a+90)sin2a

io32

四边形AMBN的面积为：-x\AB\x\MN\=-------=..>32,当且仅当々=45或135，即人=±1时

2sinacosasin_2a

取等号，.•.四边形AMBN的面积的最小值为1.

【点睛】

本小题主要考查动点轨迹方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线中四边形面积的最值的计算，考查

运算求解能力，属于中档题.

7TTF

19、(1)当a=—时，直线/方程为》=-1；当aw—时，直线/方程为

22

TT57r

j=(x+l)tana；X2+J2=2X(2)一或—.

-66

【解析】

(1)对直线/的倾斜角分类讨论，消去参数，即可求出其普通方程；由夕2=f+/,Pcos8=x,即可求出曲线C的

直角坐标方程;

（2）将直线/的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，根据条件/=0,即可求解.

【详解】

⑴当a=—时，直线，的普通方程为”=一1；

2

71

当。。一时，消去参数/得

2

直线I的普通方程为y=（x+l）tana.

由"=2cos0,得p2=2pcos0,

22

所以x+y=2xf即为曲线C的直角坐标方程.

⑵把x=—1+^cosa,y=£sina代入x2+y2=2x,

整理得Z2—4rcosa+3=0.

3

由J=16cos2a—12=0,得cos2a=—,

4

所以cosa=^-或cosa=--,

22

故直线/的倾斜角a为丁或苧.

【点睛】

本题考查参数方程化普通方程，极坐标方程化直角坐标方程，考查直线与曲线的关系，属于中档题.

20.（I）4（II）（-^,-8][8,”）

【解析】

（由抛物线的性质，当，轴时，最小;（）设点「（%,%）,y）,分别代入抛物线方程和OPPQ=0

DPQx|PQ|22（X2,2

得到三个方程，消去占,吃,得到关于%的一元二次方程，利用判别式即可求出乃的范围.

【详解】

解：（1）由抛物线的标准方程，P=2,根据抛物线的性质，当轴时，|尸0最小，最小值为2p,即为4.

（2）由题意，设点P（%，X）,。（乙,%），其中%/为・

因为OP_LPQ,0p=(xi，yj,PQ=(x2-xl,y2-yl),

所以OPPQ=玉(/_/)+X(%—X)=°・③

由①②③，得y；+y2y1+16=0,

由且…，得△=>”64»0,

解不等式，得点。纵坐标为的范围为(­,-8][8,+8).

【点睛】

本题主要考查抛物线的方程和性质和二次方程的解的问题，考查运算能力，此类问题能较好的考查考生的逻辑思维能

力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等，易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解.

21、(1)证明见解析；⑵琶.

【解析】

(1)构造直线PQ所在平面由面面平行推证线面平行；

(2)以。为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，再由法向量之间的夹角，求得二面角的

余弦值.

【详解】

(1)过点PH_LBC交BC于H点,连接如下图所示:

因为平面CD尸平面ABC。，且交线为CD,

又四边形CDEE为正方形，故可得CELCD,

故可得CEJ_平面ABC。，又CBu平面ABC。，

故可得CELCB.

在三角形C3E中，因为P为鹿中点，PH±CB,CE±CB,

故可得PH〃CE,"为CB中点；

又因为四边形ABC。为等腰梯形，”,。是的中点，

故可得HQ//CD；

又PHcHQ=H,CDcCE=C,

且“Qu平面尸CD,CEu平面DFEC,

故面〃面EEDC,

又因为PQu平面P〃Q,

故PQ//面庄C£>.即证.

(2)连接AE,AC,作LAB交AB于