上海市杨浦区2024年中考数学一模试卷（附答案）

中考数学一模试卷

一、单选题（共6题；共12分）

1.关于抛物线V=A2-I,下列说法中，正确的是

A.经过坐标原点B.顶点是坐标原点C.有最局点D.对称轴是直线X=1

2.在△一二。中，如果S111Jeg,那么这个三角形一定是（）

A.等腰三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形

3.如果小丽在楼上点A处看到楼下点B处小明的俯角是35。，那么点B处小明看点A处小丽的仰角是（）

A.35°B.45°C.55°D.65°

4.在△一仍C中，点D、E分别在边.切、上，下列条件中，能判定DE7Z3C的是（）

“3DE.AD.IEcDB.AEc.AD.AE

nC=

A,Aff-BC&DB~ECECADD-AC=AB

5.下列命题中，正确的是（）

A.如果至为单位向量，那么才=*B.如果王、了都是单位向量，那么才=看

C.如果刁=一方,那么D.如果田=同，那么7t=b

6.在梯形一MCD中，AD/BC,对角线4C与BQffl交于点。，下列说法中，错误的是（）

RS&1OB_QD_OASfJBD.山

A.S)Q8=SgocD•r菽=配

B・臬嬴=9SM醛OC

二、填空题（共12题；共12分）

7.计算：X^+2fe）-2（7?-T）=.

8.已知抛物线v=（l-0）短+1的开口向上，那么a的取值范围是.

9.如果小明沿着坡度为1：2»4的山坡向上走了130米，那么他的高度上升了米.

10.已知线段.Iff的长为4厘米，点P是线段AB的黄金分割点（,AP<EP），那么线段.IP的长是

厘米.

11.抛物线y=x2-4x+3与x轴交于A、B,与y轴交于C,则△ABC的面积=.

12.已知抛物线把该抛物线向上或向下平移，如果平移后的抛物线经过点42,2），那么平移后

的抛物线的表达式是.

13.一位运动员投掷铅球，如果铅球运行时离地面高度为y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为

175

y=一古12+;又+?，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为m.

14.如图，已知在平行四边形一铝。>中，点E在边上，音=彳，联结DE交对角线4C于点O,

那么衰的值为-

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15.如图，已知在△.打。中，』」6二90。，点G是△一切。的重心，CG=2,BC=4,那么

cosZGCB-.

16.如图，已知在△,仍C中，ZC=90°,45=10,cotB=1,正方形DEAS的顶点G、F分

别在边HC、8C上，点D、E在斜边.打上，那么正方形。EFG的边长为.

17.新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.如图，已知在对余四边形中,

4B=10,8c=12,CD=5,tanB=三，那么边9的长为.

18.如图，已知在△ABC中，ZB=455,ZC=60?,将△ABC绕点A旋转，点B、C分别落在点％、C1处，如

果BB//AC,联结QBI交边AB于点D,那么第的值为.

0

19.计算:taiiFO-2汕3(F

4c。，245a+cot30‘

20.已知一个二次函数的图像经过点4一10)、5(0,3)、dz3).

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（1）求这个函数的解析式及对称轴;

r<V<0y

（2）如果点\）、0（.v3匕拄这个二次函数图像上，且l-2>那么>：________2-（填

或者">"）

21.如图，已知在△，仍C•中，点D、E分别在边JC±,DE，工8a点M为边上一点，

BM=|BC.联结HAf交DE于点N.

（1）求X市的值；

（2）设方二中AAf=~bf如果今卷=$,请用向量才、石表示向量后点

22.如图，为了测量河宽，在河的一边沿岸选取B、C两点，对岸岸边有一块石头A,在中，测得

Z5=64°,ZC=45°,国7=50米，求河宽（即点A到边5c的距离）（结果精确到0.1米）.

（参考数据：^2xMl-sm64°=0.90,co§64°=0^44,tan640=2.05）

23.已知：如图，在梯形.138中，ADiBC,对角线BD、相交于点E,过点A作JF/ZDC,交

对角线BD于点F.

（2）如果£ADB=£ACD,求证：线段8是线段DF、5E的比例中项.

24.已知在平面直角坐标系X。〉中，抛物线），=-G—力?）'+4与y轴交于点B，与X轴交于点C、D（点

C在点D左侧），顶点A在第一象限，异于顶点A的点尸（L”胜该抛物线上.

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(1)如果点p与点c重合，求线段WP的长；

(2)如果抛物线经过原点，点Q是抛物线上一点，tanN。P。=3,求点Q的坐标；

(3)如果直线尸方与x轴的负半轴相交，求m的取值范围.

25.如图，已知在旧△ABC中，ZJC5=90°,4c=3C=4,点D为边5c上一动点(与点B、

C不重合)，点E为边.铝上一点，£ED5=L.ADC,过点E作EFLAD，垂足为点G,交射线

XC于点F.

(1)如果点D为边8c的中点，求仍的正切值；

(2)当点F在边上时，设CD=X,CF=y,求y关于X的函数解析式及定义域;

(3)联结班如果△CDF与△，捱?£：相似，求线段8的长.

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答案解析部分

一、单选题

1.【解析】【解答】解：r=x2-

rI,

丁二次项前面的系数大于0,・•・抛物线开口向上，有最低点，

・「当x=0时，y=0,，抛物线经过坐标原点，

二.抛物线的对称轴为直线x=；,顶点坐标为（白，-1）,

综上所述，B、C、D选项均不符合题意，只有A选项符合题意.

故答案为：A.

【分析】本题根据二次函数的性质直接判断即可得出符合题意结果.

2.【解析】【解答】:sinJ=y,cotB=g，

ZA=30°,ZB=60°,

ZA+ZB=90°,

•••这个三角形一定是直角三角形，

故答案为：D.

【分析】根据特殊的三角函数值可知，NA=30。，NB=60。，即可判断三角形的形状.

3.【解析】【解答】解：根据两点之间的仰角与俯角构成的两条水平线夹角的内错角相等，可知，点B处

小明看点A处小丽的仰角是35°,

故答案为：A.

【分析】根据两点之间的仰角与俯角构成的两条水平线夹角的内错角相等，即可得出答案.

4.【解析】【解答】A、誉=器,可证明DEIIBC,故本选项符合题意；

B、4^=甯盘，不可证明DEIIBC,故本选项不符合题意；

UJ5zLG

npJF

C、反^二；万，不可证明DEIIBC,故本选项不符合题意；

D、喋=喘不可证明DEIIBC,故本选项不符合题意.

故答案为：A.

【分析】根据对应线段成比例，两直线平行，可得出答案.

5.【解析】【解答】A、如果N为单位向量，则有恸=1，但E不等于1,所以不子成，故不符合题意；

B、长度等于1的向量是单位向量，故不符合题意；

c、如果G=-不那么式6故符合题意;

D、恸=同表示这两个向量长度相等，而才=可表示的是长度相等，方向也相同的两个向量，故不符合

题意;

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故答案为：C.

【分析】根据向量的定义和要素可直接进行排除选项.

6.【解析】【解答】解：如图所示：

,/ADIIBC,

「.△AOD-△COB,So铝c=SNDBC，/r'初=，故D不符合题意,

IBC6c

.OAOD

OC=05?

22="，故c符合题意；

%B0COC~

5必耽=+%0&C，%DBC=S&DOC+S408C，

'''S&」OB=SgOC，A不符合题意；

最空丝=翱，即:上曳=维，故B不符合题意；

%Z0C"%BOCOB

故答案为：C.

【分析】根据相似三角形的性质及等积法可直接进行排除选项.

二、填空题

7.【解析】【解答】解：又3+2K）-2（下一工）=3才+6万一万+2方=1+8万;

故答案为：7?+8ft.

【分析】根据向量的线性运算可直接进行求解.

8.【解析】【解答】解：由抛物线了二（1一0）短+1的开口向上，可得：

1-（7>0,解得：（l<1;

故答案为：（1<1.

【分析】根据二次函数的图像与性质可直接进行求解.

9.【解析】【解答】解：设高度上升了h,则水平前进了2.4h,

由勾股定理得：护+（2.加=130,解得h=50.

故答案为50.

【分析】设高度上升了h,则水平前进了2.4h,然后根据勾股定理解答即可.

10.【解析】【解答】解：丁点P是线段AB的黄金分割点（APVBP），

j.APBPJ5-1

B尸一AB一2

可知BP==2y5-2（厘米），

6/11

=5尸=6-26(厘米)

故答案为：6—26.

【分析】根据黄金比值可知dP-BP_邑，计算得出结果即可.

BP-.4B~2

11.【解析】【解答】解：y=0时，0=X2-4X+3,

解得X]=3,x2=l

线段AB的长为2,

■■■与y轴交点C(0,3),

以AB为底的△ABC的高为3,

'''SAABC=上2“3=3,

故答案为：3.

【分析】先根据题意求出AB的长。再得到C点坐标，故可求解.

12.【解析】【解答】解：设所求的函数解析式为y=X2+h

将点A坐标代入得：2=22+h,解得h=-2

所以平移后的抛物线的表达式是y=X2-2.

故答案为：y=x2-2.

【分析】设所求的函数解析式为y=x2+h,然后将点A坐标代入求得k即可.

25251

Z/\

+-X+-(-X-(X-1

-----X-196

13.【解析】【解答】由题意可得：v=-33KX233372+

故铅球运动过程中最高点离地面的距离为：ym.

故答案为竽.

【分析】将二次函数解析式配方可得y=-(x-g)2+竽，再根据顶点坐标求解即可。

14.【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，

ZOAE=ZDCO,ZOEA=ZODC,

△AOE-ACOD,

.AO.IE.IE

OC=CD=AB'

JF1

v嵩二金EB=2AE，

..4EAE.IE1

.与=.1E+EB==3'

.AO1

OC=y

故答案为4.

【分析】由题意可以得到△ACE-△COD,再根据三角形相似的性质和已知条件可以求得AO：OC的值.

15.【解析】【解答】解：如图，延长CG与AB交于点D,过D作DE_LCB于点E,

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A

CEB

-：G是小ABC的重心，，CG=2GD,

CG=2,GD=1,CD=2+1=3,

ZACB=90°,AC±CB,/.ACIIDE,

VD是AB中点，，E是CB中点，

CE=—1,cosZGCB=—2,

2c62CD3

2

故答案为y.

【分析】根据重心的性质和余弦函数的定义可以得到解答.

16.【解析】【解答】作CMJ_AB于M,交GF于N,如图所示:

...设BC=k,则AC=2k,AB?=AC2+BC2,即：102=(2k)2+k2,解得：k=2

，BC=2柠AC=4

CM=ACEC,=4后.二后=4,

AB-10-

正方形DEFG内接于△ABC,

/.GF=EF=MN,GFIIAB,

/.△CGF~△CAB,

.CNGFan4-EFEF

CM-AB4-10

解得：EF=手20；

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故答案为：乎.

【分析】作CMJ_AB于M,交GF于N,由勾股定理可得出AB,由面积法求出CM,证明△CGF-△CAB,

再根据对应边成比例，即可得出答案.

17.【解析】【解答】解：如图，连接AC,作.小_L3c交BC于E点，

.,tanB=4,AB=10,

3

==-

4设AE=3x,BE=4x,

」•+BE2=，则（+（4x）'=25短=100，

解得x=2,则AE=6,BE=8,

又'：BC=12,.'.CE=BC-BE=4,

-AC={AEtCE。=而,

作CF±一立>交AD于F点，

-JZ5+ZD=90°,ZD+ZDCF=90°,

B=£DCF,tan8=4=tanZ£）CF=

又'：CD=5,二同理可得DF=3,CF=4,

■■.-LF=>IAC2-CF2=6>

J.AD=AF+DF=9.

故答案为：9.

【分析】连接AC,作■交BC于E点，由tail8=W，.岱=10,可得AE=6,BE=8,并求出AC

的长，作CF_L4D交AD于F点，可证Z5=/.DCF,最后求得AF和DF的长，可解出最终结果.

.【解析】【解答】解：由题意知.状

18=.L?1，ACIIBB1,ZB=45°,zC=60°,

zCAB=乙ABB［=N一切百=75。

•N一犯g=ZABC=45°

Z氏5。=30°,则NBD5『75。

在仆BD5］中,过点B作BMJ_岛。于M,设881=工=5］。

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在RtABMB1中，Z51=30°

BM=ly,„,,B

215阳=勺工

E

DM=x——x

则BD=\/BM2+DM2xx

【分析】由旋转得出NBD5『75。,在45D5仲,过点B作BMJ.5W于M,设531=X=5Q,由勾股

定理计算出BD的长，由此解答即可.

三、解答题

19.【解析】【分析】把各三角函数的值代入式中计算即可.

20.【解析】【解答］解：（2）.<7<0,二抛物线开口向下，

;对称轴为直线x=l,；x<l时，y随x的增大而增大，

又­.'本题修<不<0,

故答案为：<.

【分析】（1）直接用待定系数法代入三点求出函数解析式，运用对称轴公式可求出对称轴；

（2）通过判断二次函数增减性可得出结果.

21.【解析】【分析】（1）由平行线的性质得到△ADNJ△ABM,AANE-&AMC,可得给二点，

UMMC

即孝第=穹3,根据BM=可求出等2的值；

需2<2

据

得

2-可.AD-=

=35所以DN=G（5,+HAf），根据玲京=i>

AD+DB

即可得出答案.

22.【解析】【分析】过A作AD_LBC于